数学人教版九年级上册24.1.2垂直于弦的直径.doc

教学设计 宁晋县第二中学附中基本信息名称数学垂径定理执教者巨金英课时1课时所属教材目录人教版第二十四章圆24.1.2垂直于弦的直径教材分析本节是圆这一章的重要内容，也是本章的基础。它揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据；由垂径定理的得出，使学生的认识从感性到理性，从具体到抽象，有助于培养学生思维的严谨性。同时，通过本节课的教学，对学生渗透类比、转化、数形结合、方程、建模等数学思想和方法，培养学生实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和识图能力。所以它在教材中处于非常重要的位置。学情分析于教材特点及我所教班级学生的知识基础，根据教学目标和学生的认知水平，我选用引导发现法和直观演示法。让学生在课堂上多活动、多观察、多合作、多交流，主动参与到整个教学活动中来，组织学生参与“实验-观察-猜想-证明”的活动，最后得出定理，这符合新课程理念下的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学”的观点，也符合教师的主导作用与学生的主体地位相统一的原则。同时，在教学中，我充分利用教具，提高教学效果，在实验、演示、操作、观察、练习等师生的共同活动中启发学生，让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力，这符合新课程理念下的直观性与可接受性原则。教学目标知识与能力目标1.研究圆的对称性，掌握垂径定理内容及其推论. 2.学会运用垂径定理内容解决实际问题.过程与方法目标经历探究.发现圆的对称性，证明掌握垂径定理及其推论的过程，锻炼学生的思维品质，学习证明方法.情感态度与价值观目标在学生通过观察、操作、变换、探究出图形的性质后，还要求学生对发现的性质进行证明，培养学生的创新意识和运用数学的意识。教学重难点重点垂径定理及其推论的发现、记忆与证明 难点垂径定理及其推论的运用教学策略与 设计说明新课标下的数学活动必须建立在学生已有的认知发展水平及知识经验基础之上。新数学课程理念下的数学教学不仅是知识的教学，技能的训练，更应重视能力的培养及情感的教育。(1)对于圆的轴对称性及垂径定理的发现、证明，采用师生共同演示的方法。(2)补充例题1和变式讲完后总结出辅助线作法的七字口诀“半径半弦弦心距”，得直角三角形中三边的关系式.(3)课本第80页练习题1，要求学生课堂完成。通过本节课的教学，我应引导学生学会观察、归纳的学习方法。培养学生的想象力，充分调动学生自己动手、动脑，引导他们自己分析、讨论、得出结论。鼓励他们合作交流、发扬集体主义精神。教学过程教学环节（注明每个环节预设的时间）教师活动学生活动设计意图一、温故知新（一）、情境导入赵州桥是我国古代桥梁史的骄傲，我们能求出主桥拱的半径吗？ （多媒体展示赵州桥）(2分钟)（二）实践探究提出: 把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？（2分钟）二、讲授新课（三）猜想，证明，形成垂径定理出示问题 :如图，AB是O的一条弦，做直径CD，使CDAB，垂足为E （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？教师循序渐进地将一个个的问题抛出（多媒体）。，引导学生一步步地进行思考和总结，师生一起总结垂径定理并板书。教师更正并用多媒体展示。（多媒体动画展示沿CD对折）。（5分钟）（四）分析垂径定理的条件和结论1.师:引导学生说出定理的几何语言表达形式 找同学分清题设结论，后结合图形说出已知求证，是更正 （用对媒体展示）（2分钟）2.动手做：在圆形纸片上：（1）作两条互相垂直的弦（非直径）AB、CD，（2）作两条互相平分的弦AB 、CD。将两张圆形纸片分别沿一条弦对折。 细观察：弦两边的部分能否互相重合？通过以上活动，使学生进一步认识到垂径定理成立的两个条件是：（1）CD是直径；（2）CDAB于E，两者缺一不可。（2分钟）3垂径定理的推论 如上图，若直径CD平分弦AB则 直径CD是否垂直且平分弦所对的两条弧？如何证明？ 你能用一句话总结这个结论吗？（即推论：平分弦的直径也垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧） 如果弦AB是直径，以上结论还成立吗？教师提出问题，引导学生进行思考和讨论。教师规范并板书。教师提醒学生此中的弦一定不能是直径。（3分钟）三、实践与创新 （导语）刚才我们对垂径定理有了进一步的认识，下面我们来看垂径定理在具体问题中的应用。 问题1： 如图已知在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径。探究：现在我把OE延长交O于C，那么就出现OE、AE、CE、OA四条线段，我们如果分别用d、1/a 、h、r表示这四条线段，那么这四条线之间有什么关系呢？在学生得出结：h+d=r，r2=( a/2) 2 +d 后，教师应强调结论的通用性。总结：对这道练习题，我们改变了题中的条件和结论，也就是从一个问题演变出了一些题，这种“一题多变”与我们以前介绍过的一题多解的方法一样，都是很重要的学习方法。在今后的学习重要注意有意识的应用它。（9分钟）（五）、 实际应用师 :如图，是赵州桥的几何示意图，若其中AB是桥的跨度为37.4米，拱高为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1米）（返回首页多媒体）并板书提示: 在实际应用中教师可通过问题设置,引 导学生联系弦、半 径、弦心距或者拱高等因素，从而构成直 角三角形，利用勾股定理解决问题。这也是解决计算问题的主要方法，教师一定要重点重申。师生一起完成解题过程，多媒体展示正确的解题过程。（10分钟）达标检测：（12分钟） 1. 问题：（多媒体）已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于CD于两点。求证：AC=BD探究：（1）把弦AB向上或向下平移，在移动的过程中，AC、BD的长短改变了吗？它们之间的关系改变了吗？ （2）把弦AB旋转，在旋转的过程中，AC、BD的关系改变了吗？ （3）如果弦AB在旋转的过程中又同时平移，那么，AC、BD之间的关系会改变吗？2.问题：已知：如图1，AB为O 的直径，CD为O的一条弦，从A、B分别向CD（或其延长线作垂线，垂足为E、F. 求证：CE=DF. 思考题：把练习题中的直径AB旋转到与CD相交时，如图2，还有题中的结论吗？若有，请证明。观看并思考由学生动手操作，并观察结果，得到初步结论。师巡视指导 ，并提问，并加以概括总结学生小组讨论，发现垂径定理的证明方法，并由学生代表发言。学生尝试将文字转变为符号语言，用几何符号表达定理的逻辑关系。学生尝试得出垂径定理推论，学生思考后回答学生独立完成探究，总结回顾反思实践与创新：每组同学就问题1 的特征出三个练习题，要求：（1）改变题中的条件；（2）改变题中的结论；（3）改变题中的条件和结论。每个同学先独立思考，然后小组交流。独立完成并展示学生以小组合作形式探究思路，找学生说一说做题的思路。独立完成从赵州桥实例入手建立与本节课有关问题，激发学生的学习兴趣，引发学生的深入思考。让学生经历有特殊到一般的特殊过程，引导学生通过实验-观察-分析-猜想，主动地探索圆是轴对称图形。在学生经历实验-观察-分析-猜想-证明，学生的思维被逐渐打开，这样进一步引导学生证明并归纳垂径定理。归纳定理时采用文字语言和符号语言两种形式，强化基本图形的理解，形式的转化也是学生具备的能力。目的是既重视证明的表述，又加深对它的发现和理解。让学生经历动手操作过程，对比两种不同条件下，弦两边的部分能否互相重合？通过以上活动引导学生通过实验-观察-分析-猜想，主动地探索垂径定理的成立的两个条件是：（1）CD是直径；（2）CDAB于E，两者缺一不可。加深对垂径定理的理解。对垂径定理的延伸，让学生用类比的方法解决垂径定理的推论，提高学生触类旁通的能力，总结语言概括能力。渗透从特殊到一般解题思想方法，是学生体会到由浅到深、由表及里的学习过程。符合学生的认知规律。通过题组训练使学生对垂径定理有了更进一步的认识，并掌握有关计算、证明有关方面的简单应用，教师教学时应突出做圆心到弦的垂线段，是应用垂径定理时常用的添加辅助线的方法。首尾呼应，解决开始提出实际问题，使这节课很完美，提高学生解决实际问题的能力。根据学生不同的证法，从中选出较为简捷的方法让学生独立思考，小组交流，得出以下结论：AE=BE，CE=BE，AD=BC。课堂小结2分钟1、垂径定理的内容及推论是什么？2、这堂课学习你们的收获有哪些？3. 回顾与反思：问题中所作的辅助线有什么特征？引导学生总结出，解决有关弦的问题时常用的添加辅助线的方法作垂直于弦的直径。布置作业1分钟必做题：教材82页第1题 ，选做题：88页第11题 板书设计 垂径定理：2垂径定理的推论：3. 是赵州桥的几何示意图，若其中AB是桥的跨度为37.4米，拱高为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1米）教学反思1、 本节课是在上节课学习了圆的概念及弧、弦等概念的基础上的一节课。在上节课结束时留给学生这样一个问题“你还想进一步研究什么?”通过学习，学生很容易联系到上节课学习了圆、弧、弦、直径、半径等有关知识。那么圆内这些元素还具有哪些性质呢?学生自然地从上节课过渡到这节课的学习，同时培养了学生勤于动脑，勤于思考的好习惯，激发了学生学习的兴趣与热情。 本节课主要有两方面的内容：一是圆的轴对称性，二是垂径定理及其推论。开始以赵州桥的问题引入课题，带着问题进行学习。圆的轴对称性主要是通过动手操作得出结论，圆是轴对称图形，根据轴对称性进一步研究圆中相等的弦、弧得出垂径定理及其推论。利用此定理再去解决赵州桥问题，每一个环节都是环环相扣，不是孤立存在的。教学目标 经历探索圆的轴对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。理解并应用垂径定理进行有关的计算。重点难点 掌握垂径定理及其推论，学会运用垂径定理等结论解决一些有关证明、计算和作图问题。还是有很多不尽人意的地方。2、 多媒体动画可以展示圆对折体现圆的轴对称性。使问题直观化，学生容易理解。在教学过程中，利用本节课的资源对学生进行人文教育；如学习造桥者的创造精神，为他人的高尚情操；在知识发生发展与应用过程中注重数学思想方法的渗透，如本节课的从特殊到一般的规律的归纳，师交给学生解决问题的办法，引导学生学会学习。一题多变”是一种好的学习方法，同学们在以后的学习中要有意识的应用，在一个题目解完以后，要多思多总结，养成“一题多解”“一题多变”的思考习惯，经常这样训练自己，就可以由被动的做习题变为主动的提问题，从而真正做到举一反三、灵活运用。3、 通过讲课，还得注意教学设计的实用性,把握好时间，所以我结合课件认真修改了一下设计中时间预设。50分钟，把时间放到定理的探讨，和运用上，有所取舍。利用课件，注意板书突出重点，把定理和推论及赵州桥问题内容板书，突出重点，解决课件不能把赵州桥问题中数据为下一个幻灯片保留利用的缺点。4、 学生配合不好，回答问题不积极。这样我急中生智，对分的小组编号，对回答问题给与评价，最后评比优胜组，并给与奖励。顿时气氛活跃了起来。5、 如果让我重新上这节课，我会采用五步三查法，把教学内容写成导学案，分成独学（师一查）-对学群学（二查）-小组展示（师三查）-大展示（讲评）-达标检测来完成，把自主权换给学生。6、 需要更关注学生，通过本节课教学，充分认识到，把尊重学生，关注学生的发展动态，始终放在第一位，教学中，对例题的内容，解答过程以及用圆探究垂径定理过程能用课件展示，节省时间，直观，引起学生兴趣，师能更多关注学生。，给学生多次展示自己的机会，在以后的教学中，注重学生间的合作交流，锻炼学生的胆量，培养学生的语言表达能力及逻辑推理能力，并给与适当的鼓励和表扬，使学生有成功感，增强学生学好数学的信心。7.数学来源于生活，有服务于生活。在实际问题中，数、形随处可见。无处不在。好的实际问题容易引起学生的兴趣，激发学生探究和发现问题的欲望，使学生感到数学课很熟悉，学生在解决实际问题过程中，主要困难有两点，一是学生一见到实际问题畏惧，根本不读题，二是