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无穷级数 第十一章习题课 常数项级数 函数项级数 一般项级数 正项级数 幂级数 三角级数 收敛半径R 泰勒展开式 函数 数 任意项级数 傅氏展开式 傅氏级数 泰勒级数 满足狄氏条件 主要内容 数或函数 一基本要求 1 理解级数收敛 发散的概念 了解级数的基本性质 熟悉级数收敛的必要条件 2 掌握正项级数收敛的比较判别法 熟练掌握正项级数收敛的比值判别法 3 掌握交错级数收敛的莱布尼兹判别法 理解绝对收敛和条件收敛的概念 4 掌握幂级数的收敛半径 收敛区间和收敛域的求法 了解幂级数的主要性质 5 会求较简单函数的幂级数展开式及和函数 6 理解傅里叶级数的收敛定理 7 掌握函数展开成傅里叶级数的方法 一 常数项级数 二要点提示 常用来判定级数是发散的 切不可用来判定 由此可得 若则级数必发散 若收敛 则 级数是收敛的 例如调和级数就是发散的 1 级数收敛的必要条件 2 正项级数的审敛法 p 级数 调和级数 等比级数 使用比较判别法时 必须熟记一些敛散性 已知的正项级数作为 参照 级数 如 判定一个正项级数的敛散性 常按下列顺序 4 级数收敛的定义 3 用比较判别法 2 用比值或根值判别法 若失效 1 则发散 同时考虑到级数的基本性质 部分和数列极限是否存在 3 任意项级数 莱布尼兹判别法的条件是交错级数收敛的充分条件而不是必要条件 当不满足条件时 不能判定级数必发散 2 若用正项级数的比值判别法判定发散 绝对收敛的级数必收敛 注意 对于任意项级数 若收敛 则称绝对收敛 1 可先考查任意项级数是否绝对收敛 若发散而收敛 则称条件收敛 则级数也发散 1 收敛半径和收敛区间 二 幂级数 收敛域 或 或 或 收敛区间为 对于缺项的幂级数可按下式 从而得收敛区间为 求出的范围 2 幂级数的重要性质 1 在收敛区间内和函数连续 2 可逐项求导 3 可逐项积分 逐项求导或逐项积分后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径 但在收敛域可能改变 3 幂级数在其收敛区间内的和函数的求法 在熟记几个常用的幂级数的和函数的基础上 对照已知级数的特点 可通过恒等变形 变量代换及逐项求导或积分的方法来求和函数 4 函数展开成幂级数 这通常是较困难的 1 直接展开法 展开 但必须证明余项的极限 2 间接展开法 利用已知函数的展开式 通过恒等变形 变量代换 级数的代数运算及逐项求导或积分 把函数展开成幂级数 注意两点 1 熟记几个常用初等函数的马克劳林展出式 2 根据已知展开式写出所求展开式相应的收敛区间 逐项求导或积分后 原级数的收敛半径不变 但收敛域可能会变 几个常用初等函数的马克劳林展开 1 试判断下列命题是否正确 三思考与分析 则同敛散 2 设是正项级数 c为大于零的常数 1 若则必定收敛 答 均不正确 2 反例 考虑 1 则发散 正项级数比较判别法的极限形式 则同敛散 设为正项级数 若 有证明 也收敛 若均收敛 且对一切自然数 2 下列运算是否正确 证明 均收敛 由比较判别法知收敛 答 不正确 因为证明中使用了比较判别法 而比较判别法只适用于正项级数 题目中并未指出级数是正项级数 正确方法如下 由正项级数的比较判别法 3 若级数和都收敛 则 根据正项级数的比较判别法可知 由题意知 和收敛 绝对收敛 故也收敛 4 当下列条件 成立时 当 c 成立时 由莱布尼兹定理可得 收敛 当 d 成立时 绝对收敛 因此必定收敛 判定下列级数的敛散性 若收敛 是绝对收敛还是条件收敛 练习题 解级数为 由于一般项 所以发散 所以级数收敛 由正项级数的比值判别法 解原级数为 由比值法 所以原级数绝对收敛 是收敛的等比级数 解原级数可看作 由级数的基本性质 原级数发散 由莱布尼兹定理知 从而条件收敛 交错级数收敛 二 幂级数 解由于 求的收敛区间 收敛区间为 故收敛半径为 1 下列运算是否正确 上述运算是错误的 原级数是仅含奇次幂的级数 即为缺项情形 应该用比值判别法来求收敛半径 故原级数的收敛区间为 当即时 原级数收敛 正确方法为 解 则原级数变为 1 令 2 求 的收敛域 故原级数的收敛区间为或 即 原级数化为 解所给级数不是幂级数 原级数的收敛域为 因此 收敛域为 不难知收敛区间为 引入变换 3 求的和函数及的和 解收敛区间为 法1 拆成两个级数之和 再分别求和 法2 记 则级数在收敛区间内可逐项积分 由 求 令 则 解 4 求幂级数 的和函数 的收敛域为 的收敛域为 的收敛域为 设 故 5 求幂级数展开式 1 将展开成x的幂级数 2 将展开成x 1的幂级数 3 将展开成x的幂级数 解 1 故收敛区间为 其中 故收敛区间为 由逐项积分的性质可得 6 写出函数 的傅里叶级数的和函数 作周期延拓 由狄利克雷充分条件 解 和函数 四 自测题1 选择题 1 若收敛 则 则该级数 a 条件收敛 b 绝对收敛 c 发散 d 可能收敛可能发散 a 1 b 0 c 不存在 d 不能确定 2 对任意级数若且 3 若正项级数及都收敛 则 收敛 部分和数列有界 4 当下列条件 成立时 收敛 5 若在处收敛 则在处 二 判定下列级数的敛散性 a 发散 b 条件收敛 c 绝对收敛 d 不能确定 三 判定下列级数的敛散性 若收敛是绝对收敛 还是条件收敛 四 求下列幂级数的收敛区间 七 证明 若和绝对收敛 则 五 求的和函数 并求的和 2 展开为的幂级数 1 展开为x的幂级数 六 将函数展开为幂级数 也绝对收敛 一 1 a 2 d 3 a b c 4 a d 5 c 自测题参考答案 由正项级数的比较判别法可得 b c 由正项级数的比较判别法可得 a 类似地 就是在内收敛 故在处收敛 二 1 发散 2 发散 比较 3 收敛 4 发散 必要条件 处绝对收敛 为什么 考虑 5 由幂级数收敛域的特点 在处收敛 由莱布尼兹判别法 交错级数收敛 从而原级数条件收敛 由比较判别法极限形式知原级数非绝对收敛 三 1 条件收敛 2 绝对收敛 3