78章《控制工程基础习题详解》高等教育出版社 20106.pdf

第七章 系统的设计与校正 127 第七章 系统的设计与校正 内容提要 一 校正的基本方式 1 串联校正 2 反馈校正 3 复合校正 二 线性系统的基本控制规律 1 比例控制 teKtm p 2 微分控制 de t m t dt 3 积分控制 0 t i m tKe t dt 三 常用校正装置 一 无源校正装置 1 无相移校正装置 比例控制器 KsGc 1 K 2 相位超前校正装置 11 1 1 Ts G s Ts 3 滞后校正装置 1 1 1 c TS G s TS 二 有源校正装置 常用的有源校正装置由运算放大器和阻容元件构成 根据连接方式的不同 可分为 P 控 制器 PI 控制器 PD 控制器和 PID 控制器等 c u t 1 Z 2 Z r u t 图 7 1 比例控制器 第七章 系统的设计与校正 128 四 串联校正 1 增益校正 2 相位超前校正 3 相位滞后校正 4 相位滞后 超前校正 五 PID 校正器的设计 1 二阶系统最优模型 2 高阶系统最优模型 第七章 系统的设计与校正 129 7 1 在系统校正中 常用的性能指标有哪些 答 时域性能指标和频域性能指标 7 2 试分别求出题图 7 2 a 和 b 超前网络和滞后网络的传递函数 并绘制伯德图 解 a 由题图 7 2 a 可得系统的微分方程为 1 rc c uidtu c u i R 对上述微分方程在零初始条件下进行拉普拉斯变换 然后消去中间变量 得系统的传递函数 为 1 CRs G s CRs 绘出系统的伯德图如题图 7 2 c 所示 b 由题图 7 2 b 可得系统的微分方程为 题图 7 2 r u c u C R a c u r u C R b 0 L RC T 1 decdB20 0 90 题图7 2 c 超前网络的伯德图 0 L RC T 1 decdB20 0 90 题图7 2 d 滞后网络的伯德图 第七章 系统的设计与校正 130 1 rc ct uRiu uid c 对上述微分方程在零初始条件下进行拉普拉斯变换 然后消去中间变量 得系统的传递函数 为 1 1 G s CRs 绘出系统的伯德图如题图 7 2 d 所示 7 3 某单位负反馈控制系统的开环传递函数为 64 6 2 0 sss sG 1 计算校正前系统的剪切频率和相位裕度 2 串联传递函数为 12 0 1 s s sGc 的超前校正装置 求校正后系统的剪切频率和相位裕度 3 串联传递函数为 1100 110 s s sGc 的滞后校正装置 求校正后系统的剪切频率和相位裕度 4 讨论串联超前 串联滞后校正的不同作用 解 1 绘出校正前系统的对数幅频渐近特性曲线 如题图 7 3 a 中曲线 L所示 由图 7 3 a 得出待校正系统的剪切频率为srad c 1 1 算出待校正系统的相位裕度为 3 51 6 4 arctan90180 1 2 1 1 1 c c c 2 给系统串联传递函数为 12 0 1 s s sGc的超前校正装置后 系统的传递函数为 12 0 1 64 6 2 0 s s sss sGsGsG c 在题图 7 3 a 中 曲线 1 c L为校正装置的对数幅频渐近线 曲线 L 为校正后系统的对 数幅频渐近线 由题图 7 3 a 可知 校正后系统的剪切频率仍为srad c 1 1 但是由于 串入了一个超前装置 使得系统相频特性曲线发生变化 在剪切频率处的相位相对未校正前 的相位有所增加 从而相位裕度增大 即 1 1 11 2 1 1 4 18090 arctanarctanarctan0 2 85 6 c c cc c ooo 通过上述分析 可以看到 校正后系统的相位裕度由原来的 3 51增大到 85 但是剪切频 第七章 系统的设计与校正 131 率没变 MATLAB 参考程序 graph731 m w 0 1 1 100 G0 tf 6 1 4 6 0 Gc1 tf 1 1 0 2 1 G series G0 Gc1 x0 y0 bd asymp G0 w xc1 y1c bd asymp Gc1 w x y bd asymp G w figure 1 semilogx x0 y0 r hold semilogx xc1 yc1 b semilogx x y k grid hold off 3 给系统串联传递函数为 1100 110 s s sGc 的滞后校正装置后 系统的传递函数为 1100 110 64 6 2 0 s s sss sGsGsG c 在题图 7 3 b 中 曲线 2 c L为校正装置的对数幅频渐近线 曲线 L 为校正后系统的对 数幅频渐近线 由题图 7 3 b 可知 校正后系统的剪切频率为srad c 1 0 2 由于串入 了一个滞后装置 使得系统的相频特性有所下降 从而相位裕度减小 即 题图7 3 a 校正前后系统的对数幅频渐进特性曲线 srad 0 L 1 c L L 第七章 系统的设计与校正 132 2 2 22 2 2 0 1 4 18090 arctanarctan10arctan100 46 83 6 c c cc c ooo 通过上述分析 可以看到 校正后系统的相位裕度由原来的 3 51减小到 83 46 4 相位超前校正既能提高系统的响应速度 保证系统的其他特性不变 相位滞后校正减小了稳态误差而又不影响稳定性和响应的快速性 MATLAB 参考程序 graph732 m w 0 001 1 100 G0 tf 6 1 4 6 0 Gc2 tf 10 1 100 1 G series G0 Gc2 x0 y0 bd asymp G0 w xc2 yc2 bd asymp Gc2 w x y bd asymp G w figure 1 semilogx x0 y0 r hold semilogx xc2 yc2 b semilogx x y k grid hold off 7 4 如题图 7 4 所示 最小相位系统开环对数幅频渐近特性为 L 串联校正装置对数幅 频渐近特性为 c L 题图7 3 b 校正前后系统的对数幅频渐进特性曲线 srad 2 c L 0 L L 第七章 系统的设计与校正 133 1 求未校正系统开环传递函数 0 Gs及串联校正装置 sGc 2 在图中画出校正后系统的开环对数幅频渐近特性 L 并求校正后系统的相位裕度 3 简要说明这种校正装置的特点 解 1 求 0 sG和 sGc 确定系统积分环节或微分环节的个数 因为对数幅频特性的低频段渐近线的斜率为 decdB20 故有1 v 确定系统传递函数结构形式 在10 处 斜率变化decdB20 对应惯性环节 在 100 处 斜率变化decdB20 对应惯性环节 因此系统应具有下述传递函数 101 0 11 0 0 sss K sG 由给定条件确定传递函数参数 由于低频渐近线通过点 20 10 故 20lg20 10 K 解得100 K 于是 系统的传递函数为 101 0 11 0 100 0 sss sG 绘制出待校正系统的对数幅频渐近特性线 如题图7 4 a 中曲线 0 L所示 同样可求得串联校正装置的传递函数为 12 5 1 50 c s G s s L dB 题图7 4 20dBdec 20dBdec 60dBdec L 20 40 60 80 20 40 60 rad s c L L 0 11 101000 02 0 01 第七章 系统的设计与校正 134 其对应的对数幅频渐近特性线 如题图7 4 a 中曲线 c L所示 2 校正后系统的开环传递函数为 10012 5 1 0 1 1 0 01 1 50 s G s ssss 题图7 4 a 中曲线 L为对应的对数幅频渐近特性曲线 点划线 由题图7 4 a 中可测得校正后系统的剪切频率为srad c 5 从而求得校正后的相位 裕度为 01 56 50arctan5 2arctan01 0arctan1 0 arctan90180 5 c cccc 3 此为滞后校正 采用原系统 0 L的decdB20 做校正后系统的中频段 使相位裕 度增加 动态性能之平稳性变好 截止频率降低 快速性变差 抗干扰性能增强 MATLAB 参考程序 graph74 m w 0 01 1 1000 G0 tf 100 conv 1 0 conv 0 1 1 0 01 1 Gc tf 2 5 1 50 1 G series G0 Gc srad 0 L c L L 题图7 4 a 校正前后系统的对数幅频渐近线 MATLAB 第七章 系统的设计与校正 135 x0 y0 bd asymp G0 w xc yc bd asymp Gc w x y bd asymp G w figure 1 semilogx x0 y0 r hold semilogx xc yc b semilogx x y k grid hold off 7 5 单位负反馈系统开环传递函数为 0 500 5 K Gs s s 采用超前校正 使校正后系统速度误差系数sKv 100 相位裕度 45 解 1 将系统的开环传递函数化为时间常数的标准式 0 100 0 21 K G s ss 由题意 有 100100 v KK 取1K 则待校正系统的开环传递函数为 0 100 0 21 G s ss 2 绘制出待校正系统的对数幅频特性渐近曲线 如题图7 5 a 中曲线 0 L所示 由题 图7 5 a 得待校正系统的剪切频率为srad c 4 22 算出待校正系统的相位裕度为 6 122 0arctan90180 c 根据题目要求 有 4 4086 1245 m 3 假设超前校正装置的传递函数为 1 1 1 1 c Ts G sKK Ts a 确定超前装置的参数 和T 第七章 系统的设计与校正 136 由于 4 40 1 1 arcsin m 则 7 4 b dB7 67 4lg10lg10 在题图7 5 a 中曲线 0 L上dB7 6 处的 取为新的剪切频率 即 c 由题图7 5 a 可 求出 srad mc 9 32 根据 m T 1 可求得 014 0 T c 超前校正装置的传递函数为 s ss sGc 014 01 066 01 014 01 014 07 41 d 校正后系统的传递函数为 s s ss sG 014 01 066 01 12 0 100 srad 0 L c L L 题图7 5 a 校正前后系统的对数幅频特性渐近线 第七章 系统的设计与校正 137 题图7 5 a 中 c L为校正环节的对数幅频特性渐近线 L为校正后系统的的对数幅频 特性渐近线 4 MATLAB 验证 待校正系统的开环伯德图如题图7 5 b 所示 单位阶跃响应如题图 7 5 d 所示 系统稳定 测得 sradc1 22 8 12 3 70 p M stp14 0 2 25 sts 校正后系统的开环伯德图如题图7 5 c 所示 单位阶跃响应如题图7 5 e 所示 系统稳定 测得 题图7 5 e 校正后系统的时间响应 题图7 5 c 校正后系统的伯德图 题图7 5 b 待校正系统的伯德图 题图7 5 d 待校正系统的时间响应 第七章 系统的设计与校正 138 sradc7 32 2 49 23 p M stp086 0 2 17 0 sts 通过比较可知 校正后系统的超调量下降 稳定裕度提高 响应的快速性明显提高 系统的 动态性能得到较好改善 MATLAB 参考程序 graph75 m w 0 1 1 1000 G0 tf 100 conv 1 0 0 2 1 Gc tf 0 066 1 0 014 1 G series G0 Gc h tf 1 1 G0h feedback G0 h Gh feedback G h x0 y0 bd asymp G0 w xc yc bd asymp Gc w x y bd asymp G w figure 1 semilogx x0 y0 r hold semilogx xc yc b semilogx x y k grid hold off figure 2 margin G0 grid figure 3 margin G grid figure 4 step G0h grid figure 5 step Gh grid 7 6 单位负反馈最小相位系统开环相频特性表达式为 arctan 2 arctan90 1 求相位裕度为30 时系统的开环传递函数 2 在不改变截止频率 c 的前提下 试选取参数 c K与T 使系统在加入串联校正环节 1 1 s TsK sC c c 后 系统的相位裕度提高到60 解 1 根据开环相频特性的表达式 可确定系统有一个积分环节 两个时间常数不同的惯性 环节 即系统的开环传递函数具有如下形式 第七章 系统的设计与校正 139 1 1 2 s s s K sG 根据题目要求 30 180 0 c 所以有 18090arctanarctan30 2 c c ooo 解得 79 0 c 由于21 oo oo 满足性能指标要求 系统校正前的剪切频率为sradc83 2 相位裕度为 10 03 o 闭环系统不稳 定 采用滞后校正后的剪切频率为 0 644 c rad s 相位裕度为 43 35 o 闭环系统 稳定 表明滞后校正是通过减小系统的剪切频率来提高系统的相位裕度 题图7 7 a 校正前后系统的对数幅频渐进特性曲线 srad 0 L c L L 第七章 系统的设计与校正 143 5 MATLAB 验证 待校正系统的开环伯德图如题图7 7 b 所示 单位阶跃响应如题 图7 7 d 所示 所以系统不稳定 测得 sradc57 2 02 6 24 2 5 2 sraddBh g 校正系统的开环伯德图如题图7 7 c 所示 单位阶跃响应如题图7 7 e 所示 所 以系统稳定 测得 sradc56 0 9 46 14 2 6 18 sraddBh g 28 p M stp5 2 25 sts MATLAB 参考程序 graph77 m w 0 001 1 100 G0 tf 8 conv 1 0 conv 1 1 0 2 1 题图7 7 b 待校正系统的伯德图 题图7 7 c 校正后系统的伯德图 题图7 7 d 待校正系统的单位阶跃响应 题图7 7 e 校正后系统的单位阶跃响应 第七章 系统的设计与校正 144 Gc tf 12 5 1 156 25 1 G series G0 Gc h tf 1 1 G0h feedback G0 h Gh feedback G h x0 y0 bd asymp G0 w xc yc bd asymp Gc w x y bd asymp G w figure 1 semilogx x0 y0 r hold semilogx xc yc b semilogx x y k grid hold off figure 2 margin G0 grid figure 3 margin G grid figure 4 step G0h grid figure 5 step Gh grid 7 8 最小相位系统的开环对数幅频特性渐近线如题图7 8所示 其中虚线表示校正前系统的 数幅频特性渐近线 ABCDEF 实线表示校正后系统的数幅频特性渐近线 ABDEF 1 确定系统所采用的是何种串联校正 并写出校正装置的传递函数 sGc 2 确定校正后系统临界稳定的开环增益值 3 当开环增益1 K时 求校正后系统的相位裕度 和幅值裕度h 0 1 1 10100 L dB decdB20 decdB40 decdB60 decdB0 A B C D E F 题图7 8 最小相位系统的开环对数幅频特性渐近线 第七章 系统的设计与校正 145 解 1 根据校正前系统的数幅频特性渐近线 ABCDEF 可写出系统校正前的传递函数 为 101 0 1 1 1 110 2 0 ss s s K sG 根据校正系统的数幅频特性渐近线 ABDEF 可写出系统校正后的传递函数为 101 0 1 11 0 1 sss K sG 由于采用的是串联校正 因此根据 0 sGsGsG c 可确定串联环节的传递函数为 110 11 0 1 2 ss s sGc 即该系统采用的是串联滞后 超前校正装置 2 根据校正后系统的传递函数可得系统闭环特征方程为 0 101 0 11 0 KssssD 011 0001 0 23 KssssD 列出劳斯表如下 Ks K s Ks s 0 1 2 3 11 0 001 011 0 11 0 1001 0 根据劳斯判据 有 0 0 11 0 001 011 0 K K 即 0110 K 3 当开环增益1 K时 系统的开环传递函数为 101 0 11 0 1 sss sG 由此可知 剪切频率为积分环节与横轴的交点频率 即srad c 1 则 72 83 01 0arctan1 0 arctan90180 1 c cc 第七章 系统的设计与校正 146 根据 18001 0arctan1 0arctan90 gg 解得 srad g 6 31 将srad g 6 31 代入 1 g g K G j 可得 109 8 g K 或40 8 g KdB MATLAB验证 当开环增益1 K时 绘制出系统的对数幅频特性渐近线如题图7 8 a 所示 其中 0 L为校正前系统的的对数幅频特性渐近线 c L为校正环节的对数幅频 特性渐近线 L为校正后系统的的对数幅频特性渐近线 MATLAB 参考程序 graph78 m w 0 05 1 300 G0 tf 10 1 conv 1 2 1 0 0 01 1 Gc tf conv 1 1 1 1 conv 0 1 1 10 1 G series G0 Gc x0 y0 bd asymp G0 w xc yc bd asymp Gc w x y bd asymp G w figure 1 semilogx x0 y0 r hold srad c L 0 L L 题图7 8 a 校正前后系统的对数幅频渐近特性线 第七章 系统的设计与校正 147 semilogx xc yc b semilogx x y k grid hold off 7 9 题图7 9是一采用PD串联校正的控制系统 1 当1K10K Dp 时 求系统的相角裕度 2 若要求该系统的剪切频率为srad c 5 相位裕度 50 求 p K和 D K的值 解 系统的开环传递函数为 1 KK Dp ss s sG 1 当1K10K Dp 时 系统的开环传递函数为 1 1 01 01 1 01 ss s ss s sG 绘制出系统的对数幅频特性渐近线如题图7 9 a 中曲线 1 L 所示 由题图7 9 a 可知 剪切频率为3 16 c rad s 则相位裕度为 3 16 18090 arctan0 1arctan 35 1 c cc ooo 2 D p pDp K K 1 KKK 1 1 s s G s s ss s 根据渐近线的特性 有 p 2 K 1 c s D K p K 1 1 ss sC sR 题图7 9 系统结构图 第七章 系统的设计与校正 148 解得 p K25 相位裕度 D 5 K 18090 arctanarctan 50 25 c cc ooo 解得 D K4 对应的对数幅频特性渐近线如题图7 9 a 中曲线 2 L 所示 相应的伯德图如题图7 9 b 所示 测得 5 8 c rad s 52 6 o 题图7 9 a 系统的对数幅频渐进特性曲线 rad s 1 L 2 L 第七章 系统的设计与校正 149 MATLAB 参考程序 graph79 m w 0 1 1 100 G1 tf 1 10 1 1 0 G2 tf 4 25 1 1 0 x1 y1 bd asymp G1 w x2 y2 bd asymp G2 w figure 1 semilogx x1 y1 r hold semilogx x2 y2 b grid hold off figure 2 margin G2 grid hold off 7 10 用线性集成电路运算放大器作为电压放大器的转速负反馈闭环控制有静差直流调速系 统如图7 10所示 主电路是由晶闸管可控整流器供电的V M 晶闸管 电动机 系统 已知 数据如下 电动机 额定数据为10kW 220V 55A 1000r min 电枢电阻Ra 0 5 晶闸管触发整流装置 三相桥式可控整流电路 整流变压器Y Y联接 二次线电压 U21 230V 电压放大系数Ks 44 题图7 9 b 系统的伯德图 第七章 系统的设计与校正 150 V M系统电枢回路总电阻R 1 0 测速发电机 永磁式 额定数据为23 1W 110 V 0 21A 1900r min 直流稳压电源 15V 若生产机械要求调速范围D 10 静差率s 5 试计算调速系统的稳态参数 暂不考 虑电动机的启动问题 解 1 为满足调速系统的稳态性能指标 额定负载时的稳态速降应为 1000 0 05 r min5 26r min 1 10 1 0 05 N cl n s n Ds 2 求闭环系统应有的开环放大系数 先计算电动机的电动势系数 22055 0 5 V min r0 1925V min r 1000 NNa e UI R C nN 则开环系统的额定速降为 55 1 0 r min285 7r min 0 1925 N op e I R n C 闭环系统的开环放大系数应为 1 op cl n K n 285 7 154 3 153 3 5 26 TG M 0 R 0 R 1 R 1ba R 2 RP 1 RP n U c U UPE d U d I n U 题图7 10 转速负反馈闭环控制有静差直流调速系统原理图 第七章 系统的设计与校正 151 3 计算转速反馈环节的反馈系数和参数 转速反馈系数 包含测速发电机的电动势系数 etg C和其输出电位器 2 RP的分压系数 2 即 2etg C 根据测速发电机的额定数据 有 110 0 579V min r 1900 min etg V C r 试取 2 0 2 如测速发电机与主电动机直接连接 则在电动机最高转速1000r min时 转 速反馈电压为 2 1000r min0 2 0 0579 1000V11 58V netg UC 稳态时 n U 很小 n U只要略大于 n U即可 现有直流稳压电源为15V 完全能够满足给 定电压的需要 因此 取 2 0 2 是正确的 于是 转速反馈系数的计算结果是 2 0 2 0 0579V min r0 01158V min r etg C 电位器 2 RP的选择方法如下 为了使测速发电机的电枢压降对转速检测信号的线性度 没有显著影响 取测速发电机输出最高电压时 其电流值约为额定值的20 则 2 0 0579 1000 1379 0 20 2 0 21 etgN RP Ntg C n R I 此时 2 RP所消耗的功率为 2 0 20 0579 1000 0 2 0 21W2 43W RPetgNNtg WC nI 为了不致使电位器温度很高 实选电位器的瓦数应为所消耗功率的一倍以上 故可将 2 RP选 为10W 1 5k 的可调电位器 4 计算运算放大器的放大系数和参数 根据调速指标要求 前已求出闭环系统的开环放大系数应为 K 53 3 则运算放大器的 放大系数 p K应为 p se K K KC 53 3 20 14 0 01158 44 0 1925 实取21 p K 第七章 系统的设计与校正 152 图7 10中运算放大器的参数计算如下 根据所用运算放大器的型号 取 0 40Rk 则 10 21 40k840k p RK R 7 11 在题7 10中 已知1 0R 44 s K 0 1925V min r e C 系统运动部分的 飞轮惯量 2 10NGD 2 m 根据稳态性能指标D 10 s 5 计算 系统的开环放大系数应 有K 53 3 试判别这个系统的稳定性 解 首先应确定主电路的电感值 用以计算电磁时间常数 对于V M系统 为了使主电 路电流连续 应设置平波电抗器 题7 10给出的是三相桥式可控整流电路 为了保证最小 电流 dmindN I10 I 时电流仍能连续 应采用式下式计算电枢回路总电感量 即 2 min 0 693 d U L I 现在 2 2 230 V132 8V 33 l U U 则 132 8V 0 69316 73mH 55A 10 L 取17mH0 017HL 计算系统中各环节的时间常数 电磁时间常数 0 017H 0 017s 1 0 l L T R 机电时间常数 2 10 1 0 s0 075s 30 375 375 0 19250 1925 m em GD R T C C 对于三相桥式整流电路 50 Hz f 晶闸管装置的滞后时间常数为0 00167s s T 为保证系统稳定 开环放大系数应满足式 2 mlss ls T TTT K TT 的稳定条件 即 第七章 系统的设计与校正 153 22 0 075 0 0170 00167 0 00167 49 4 0 017 0 00167 mlss ls T TTT K TT 按稳态调速性能指标要求K 53 3 因此 此闭环系统是不稳定的 7 12 在题7 11的闭环直流调速系统中 若改用IGBT脉宽调速系统 电动机不变 电枢回 路参数为 0 6R 5mHL 44 s K 0 1ms s T 开关频率为10kHz 按同样 的稳态性能指标D 10 s 5 该系统能否稳定 解 采用脉宽调速系统时 各环节时间常数为 0 005H 0 00833s 0 6 l L T R 2 10 0 6 s0 045s 30 375 375 0 19250 1925 m em GD R T C C 0 0001s s T 按照式 2 mlss ls T TTT K TT 的稳定条件 应有 22 0 045 0 008330 0001 0 0001 455 4 0 00833 0 0001 mlss ls T TTT K TT 而按照稳态性能指标要求 额定负载时闭环系统稳态速降应为5 26 min cl nr 见题 7 10 脉宽调速系统的开环额定速降为 55 0 6 r min171 4r min 0 1925 N op e I R n C 为了保持稳态性能指标 闭环系统的开环放大系数应满足 1 op cl n K n 171 4132 6 131 6 5 26 显然 系统完全能在满足稳态性能的条件下稳定运行 第八章 离散控制系统 154 第八章 离散控制系统 内容提要 一 线性离散系统概述 1 离散系统的基本结构 2 采样定理 香农采样定理 如果对信号 tf的采样频率 T s 2 大于或等于2 c 即 cs 2 二 离散控制系统的数学基础 1 z 变换的定义 0 Ts k z e k ZftFsF zf kT z 2 z变换法 1 级数求和法 2 部分分式法 3 留数计算法 3 z变换的定理 1 线性定理 1 1221122 Z a f kTa fkTa F za F z 2 滞后定理 n Z f kTnTzF z 3 超前定理 0 nj nnj j Z f kTnTz F zzf jT 控制器 D A执行机构 A D 被控对象 检测装置 给定值 输出值 图8 1 离散系统结构图 第八章 离散控制系统 155 4 位移定理 ataT Z ef kTF ez m 5 微分定理 d Z kTf kTTzF z dz 6 初值定理 0 0 lim lim kz fkTF z 7 终值定理 1 1 lim lim 1 kz ff kTzF z 4 z 反变换 1 长除法 2 部分分式展开法 3 留数计算法 5 差分方程及求解方法 差分方程 12 012 2 2 n m c kTa c kTTa c kTTa c kTnT b r kTbr kTTb r kTTb r kTmT L L 用z变化解差分方程 三 脉冲传递函数 脉冲传递函数 zG定义为在零初始条件下输出采样信号的z变换与输入采样信号的z 变换值比 Y z G z U z 四 离散控制系统的稳定性分析 1 系统稳定的充要条件 线性定常离散系统稳定的充要条件为 系统的特征方程的所有根都分布在z平面上的单 位圆内 或者说 所有特征根的模都小于1 2 w平面的劳斯判据 第八章 离散控制系统 156 在采样系统特征方程 0 zA中 若用 1 1 w w z代入 即可得到以w为变量的方程 0 wD 它是w的代数方程 若0 zA的根都在z平面上的单位圆内 则 0 wD的 根都在w的左半平面内 由此可以间接判定 zA的所有根是否都在单位圆内 五 离散系统的稳态误差 1 lim lim 1 1 tz R z ee tz G z 1 单位阶跃输入 1 0型系统 1 p e K 2 I型或高于I型的系统 0 e 2 单位斜坡输入 1 0型系统 e 2 I型系统 1 v e K 3 II型及II型以上的系统 0e 3 单位加速度输入 1 0型与I型系统 e 2 II型系统 2 1 1 e G 其中 2 2 1 1 1 z GzG z 3 III型或III型以上的系统 0e 第八章 离散控制系统 157 8 1 求下列函数的z变换 1 x tt 解 22 1 1 1 1 1 dzzzTz Z x tZ tTzTz dz zzz 2 sin 10 x ttu t 解 0 k k X zx kt z 0 sin10 k k kt z 用欧拉方程 1010 00 sin10 2 jkTjkT kk kk ee kt zz j 1010 0 1 2 jkTkjkTk k ezez j 101101 111 211 jTjT jezez 1010 cos10sin10cos10sin10 jTjT eTjTeTjT 将和代入化简 1 12 sin10 1 2sin10 zT zTz X z 2 sin10 2 cos101 zT zzT 3 t x ta 解 0 ktk k x ta z 122 1 TT a zaz L L 1 1 1 T a z 4 2 1 E s ssa 解 用留数法计算 E s的极点 12 0sa 2 1 12 s 2 0 22 1 111 E Z 1 ssa sTsT dzz ssa dsssazessaze 222 1 1 aT Tzzz a zazaze 第八章 离散控制系统 158 22 1 1 1 aT aT Tzze a zazze 5 cosx ttt 解 0 1 cos 22 j tj t j kTj kTk k ee ZtZeez 11 2 111 2 11 cos 2 cos1 j Tj T ezez z zT zzT 2 2 22 cos 2 cos1 cos2cos 2 cos1 dz zT Z x tTz dz zzT Tz zTzT zzT 3 6 4 t x teu t 解 3 131 0 41 4 11 kTk T k Z x tez zez 7 2 1 s E s s 解 22 111 s E s sss 2 1 1 zTz E z zz 8 23 t x tt e 解 2 2 3 1 1 T z z Z t z 由复位移定理 233233 23 3333 1 1 TTTT t TT T zezeT zeze Z t e zeze 9 3 1 3 x tt 解 32 3 4 1 41 3 6 1 Tzz Zt z 第八章 离散控制系统 159 10 2 1 1 s e E s ss 解 22 1111 1 1 1 s s e E se sssss 1 2 1 1 1 T T Tzzz E zz zzze 8 2 求函数的初值和终值 1 2 X z 0 80 1 z zz 解 初值 2 2 0 lim lim1 0 90 08 zz z xX z zz 终值 2 1 lim 1 0 0 8 0 1 z z xz zz 2 1 2 1 X z z 解 初值 1 2 0 lim lim2 1 zz xX z z 终值 11 1 11 2 lim 1 lim 1 2 1 zz xzX zz z 3 1 1 2 10 1 z X z z 解 初值 1 1 2 10 0 lim lim0 1 zz z xX z z 终值 1 11 1 2 11 10 lim 1 lim 1 1 zz z xzX zz z 第八章 离散控制系统 160 4 2 4 1 2 z X z zz 解 初值 12 1 0 lim lim4 0 250 750 5 zz xX z zz 终值 2 1 11 4 lim 1 lim 1 4 1 2 zz z xzX zz zz 8 3 求下列函数的z 反变换 1 X z 1 53 z zz 解 15 1 22 1 53 153 X z zzzzz 15 2153 zz X z zz 1 1 0 6 2 k x k 2 2 2 2 1 2 z X z zz 解 用留数法计算 极点 1z 双重极点 2z 单极点 2 12 2 1 2 1 2 2 12 2 z 1 1 2 2 lim 2 1 2 k z k z dz x kzz dzzz z zz zz 4 1 24 1 8 2 2 kk k 24 1 4 2 kk k 3 0 2 z X z z 解 0 2kx k 第八章 离散控制系统 161 4 3 TT z X z zeze 解 33 33 11 1 TTTT TTTT X z eeee zzezezeze 33 3 3 1 1 TTTT kTkT TT zz X z eezeze x kee ee 8 4证明下列关系式成立 1 k z Z a x tX a 证 00 kkkk kk zz Z a x ta x kT zx kTx aa 2 d Z tf tTzF z dz 证 因为 1 000 kkk kkk dddd F zf kT zf kTzkf kTz dzdzdzdz 00 111 kk kk kf kT zkT f kT zZ tf t zTzTz 所以 d Z tf tTzF z dz 8 5已知连续函数 x t的拉氏变换为 5 5 s s 求其z变换 解 55 5111 Z 5 51 1 TT zz Z x tZ s ssszzezze 8 6求图题8 6所示系统的闭环传递函数 并判断系统的稳定性 0 sX sXi 10 1 s s sT1 题图8 6 第八章 离散控制系统 162 解 G 1 G z zzZ G s G z 1 1 1010 1 G 1 1 ez G sz s szze 特征方程 1 G 0z 变成为 11 1 10 1 0zzeez 因为 1 0 368e 所以 2 4 9520 3680zz 求得根为 12 0 076 z4 876z 因为一个根的模大于1 所以系统不稳定 8 7判断下列系统的稳定性 1 已知闭环系统的特征方程 023 2 zz 解 12 2 z1z 有一个根在单位圆外所以系统不稳定 2 已知系统的特征方程 0368 0632 0 2 zz 解 应用双线性变换 令 1 1 z 2 11 0 632 0 3680 11 简化得 第八章 离散控制系统 163 2 0 368220 二阶系统系数都大于零 所以系统稳定 8 8 求题图 8 8 所示典型计算机控制系统的闭环脉冲传递函数 图中 zD和 zG分别表示 控制器和系统连续部分的脉冲传递函数 s e Ts 1 z zG sG zU zE ty zY zR tr T T T te 0 sG zD T 解 解 由于输入 输出信号都是连续信号 不能直接作Z变换 为了清楚地表示闭环脉 冲传递函数是 zY和 zR之比 在图中用虚线画出虚设的采样开关 两个采样开关是同步 的 采样周期为T 由图得 zDzEzU zGzUzY 又因为 tytrte tytrte 所以 zYzRzE 消去中间变量可得 1 zR zGzD zGzD zY 所以 1 Y zD z G z z R zD z G z 8 98 9 具有零阶保持器的线性离散系统如题图 8 9 所示 采样周期1 0 T秒 1 a 试判断 系统稳定的K值范围 题图 8 8 典型计算机控制系统 第八章 离散控制系统 164 ass K s e Ts 1 tr T ty 题图 8 9 系统框图 解 解 包括零阶保持器的广义对象开环脉冲传递函数为 1 1 2 1 ss K ZzzG K zz zTzT z z T TTT e 1 ee1 1e 1 2 2 905 0 1 00468 000484 0 zz zK 2 1 2 1 w T w T z zGwG ww wwK 80 381 3 81 31872 000016 0 2 2 闭环系统特征方程 081 3 1872 081 3 00016 081 3 1 2 KwKwKwG 列出劳斯阵表 3 81 0 00016K 3 81K 3 80 0 1872K 3 81Kw w w 1 2 保证阵表第一列不变号 K值的范围是 0 K 20 3 本例中 若采样间隔T l 秒 则使系统稳定的K值范围是 0 K 2 39 可以证明 二阶连续系统中 K值在 0 的范围内都是稳定的 可见 采样和零阶保 持器对系统稳定性是有影响的 第八章 离散控制系统 165 8 10 8 10 如题图 8 10 所示 且1 a 1 K s 1 T 试求系统在单位阶跃 单位速度和单 位加速度输入时的稳态误差 ass K s e Ts 1 tr T ty 题图 8 10 系统框图 解解 由题 8 9 可知