专题：二次函数背景下的图形变换问题.doc

.专题：二次函数为背景的图形变换问题例1、如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上求点G，使得G到A、C的距离之差最大，求出点G的坐标（3）若PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由例2、如图，已知抛物线经过点A（2，0）、B（4，0）、C（0，8）（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；（2）直线CD交x轴于点E，过抛物线上在对称轴的右边的点P，作y轴的平行线交x轴于点F，交直线CD于M，使PM=EF，请求出点P的坐标；（3）将抛物线沿对称轴平移，要使抛物线与（2）中的线段EM总有交点，那么抛物线向上最多平移多少个单位长度，向下最多平移多少个单位长度例3、已知关于x的一元二次方程x2+2x+=0有两个不相等的实数根，k为正整数（1）求k的值；（2）当此方程有一根为零时，直线y=x+2与关于x的二次函数y=x2+2x+的图象交于A、B两点，若M是线段AB上的一个动点，过点M作MNx轴，交二次函数的图象于点N，求线段MN的最大值及此时点M的坐标；（3）将（2）中的二次函数图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴上方的部分组成一个“W”形状的新图象，若直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，求b的值例4、已知：矩形OABC的顶点O在平面直角坐标系的原点，边OA、OC分别在x、y轴的正半轴 上，且OA=3cm，OC=4cm，点M从点A出发沿AB向终点B运动，点N从点C出发沿CA向终点A运动，点M、N同时出发，且运动的速度均为1cm/秒，当其中一个点到达终点时，另一点即停止运动设运动的时间为t秒（1）当点N运动1秒时，求点N的坐标；（2）试求出多边形OAMN的面积S与t的函数关系式；（3）t为何值时，以OAN的一边所在直线为对称轴翻折OAN，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形？例5、已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90得到线段BD，抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过点D（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a= 求点D的坐标及该抛物线的解析式； 连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得POB与BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；（2）如图2，若该抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足QOB与BCD互余若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围例1、如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上求点G，使得G到A、C的距离之差最大，求出点G的坐标（3）若PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由【解答】方法一：解：（1）对称轴为直线x=2，设抛物线解析式为y=a（x2）2+k将A（1，0），C（0，5）代入得：，解得，y=（x2）2+9=x2+4x+5（2）作直线AC，直线AC与x轴的交点即为所求G点。A（-1,0），C（0,5）直线AC的解析式为y=5x+5把x=2带入y=5x+5,得y=15 G（2,15）（3）M（0，1），C（0，5），PCM是以点P为顶点的等腰三角形，点P的纵坐标为3令y=x2+4x+5=3，解得x=2点P在第一象限，P（2+，3）四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME+PF最小，则PMEF的周长将取得最小值如答图3，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1）；作点M1关于x轴的对称点M2，则M2（1，1）；连接PM2，与x轴交于F点，此时ME+PF=PM2最小设直线PM2的解析式为y=mx+n，将P（2+，3），M2（1，1）代入得：，解得：m=，n=，y=x当y=0时，解得x=F（，0）a+1=，a=a=时，四边形PMEF周长最小方法二：（1）略（2）连接MF，过点P作x轴垂线，交MF于点H，显然当SPMF有最大值时，四边形MEFP面积最大当a=1时，E（1，0），F（2，0），M（0，1），lMF：y=x+1，设P（t，t2+4t+5），H（t，t+1），SPMF=（PYHY）（FXMX），SPMF=（t2+4t+5+t1）（20）=t2+t+4，当t=时，SPMF最大值为，SMEF=EFMY=11=，S四边形MEFP的最大值为+=（3）M（0，1），C（0，5），PCM是以点P为顶点的等腰三角形，点P的纵坐标为3，x2+4x+5=0，解得：x=2，点P在第一象限，P（2+，3），PM、EF长度固定，当ME+PF最小时，PMEF的周长取得最小值，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1），四边形MEFM1为平行四边形，ME=M1F，作点M1关于x轴的对称点M2，则M2（1，1），M2F=M1F=ME，当且仅当P，F，M2三点共线时，此时ME+PF=PM2最小，P（2+，3），M2（1，1），F（a+1，0），KPF=KM1F，a=【点评】本题是二次函数综合题，第（1）问考查了待定系数法；第（2）问考查了图形面积计算以及二次函数的最值；第（3）问主要考查了轴对称最短路线的性质试题计算量偏大，注意认真计算例2、如图，已知抛物线经过点A（2，0）、B（4，0）、C（0，8）（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；（2）直线CD交x轴于点E，过抛物线上在对称轴的右边的点P，作y轴的平行线交x轴于点F，交直线CD于M，使PM=EF，请求出点P的坐标；（3）将抛物线沿对称轴平移，要使抛物线与（2）中的线段EM总有交点，那么抛物线向上最多平移多少个单位长度，向下最多平移多少个单位长度【解答】解：（1）根据题意可设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x4）点C（0，8）在抛物线y=a（x+2）（x4）上，8a=8a=1y=（x+2）（x4）=x22x8=（x1）29抛物线的解析式为y=x22x8，顶点D的坐标为（1，9）（2）如图，设直线CD的解析式为y=kx+b解得：直线CD的解析式为y=x8当y=0时，x8=0，则有x=8点E的坐标为（8，0）设点P的坐标为（m，n），则PM=（m22m8）（m8）=m2m，EF=m（8）=m+8PM=EF，m2m=（m+8）整理得：5m26m8=0（5m+4）（m2）=0解得：m1=，m2=2点P在对称轴x=1的右边，m=2此时，n=22228=8点P的坐标为（2，8）（3）当m=2时，y=28=10点M的坐标为（2，10）设平移后的抛物线的解析式为y=x22x8+c，若抛物线y=x22x8+c与直线y=x8相切，则方程x22x8+c=x8即x2x+c=0有两个相等的实数根（1）241c=0c=若抛物线y=x22x8+c经过点M，则有22228+c=10c=2若抛物线y=x22x8+c经过点E，则有（8）22（8）8+c=0c=72综上所述：要使抛物线与（2）中的线段EM总有交点，抛物线向上最多平移个单位长度，向下最多平移72个单位长度【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、用待定系数法求一次函数的解析式、解一元二次方程、根的判别式、抛物线与直线的交点问题等知识，而把抛物线与直线相切的问题转化为一元二次方程有两个相等的实数根的问题是解决第三小题的关键，有一定的综合性例3、已知关于x的一元二次方程x2+2x+=0有两个不相等的实数根，k为正整数（1）求k的值；（2）当此方程有一根为零时，直线y=x+2与关于x的二次函数y=x2+2x+的图象交于A、B两点，若M是线段AB上的一个动点，过点M作MNx轴，交二次函数的图象于点N，求线段MN的最大值及此时点M的坐标；（3）将（2）中的二次函数图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴上方的部分组成一个“W”形状的新图象，若直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，求b的值【解答】解：（1）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根k12k3k为正整数，k为1，2（2）把x=0代入方程得k=1，此时二次函数为y=x2+2x，此时直线y=x+2与二次函数y=x2+2x的交点为A（2，0），B（1，3）由题意可设M（m，m+2），其中2m1，则N（m，m2+2m），MN=m+2（m2+2m）=m2m+2=当m=时，MN的长度最大值为此时点M的坐标为（3）当y=x+b过点A时，直线与新图象有3个公共点（如图2所示），把A（2，0）代入y=x+b得b=1，当y=x+b与新图象的封闭部分有一个公共点时，直线与新图象有3个公共点由于新图象的封闭部分与原图象的封闭部分关于x轴对称，所以其解析式为y=x22x有一组解，此时有两个相等的实数根，则所以b=，综上所述b=1或b=【点评】本题是二次函数综合题型，主要考查了根的判别式的应用，还考查了两函数图象的交点问题，难点在于（3）求出直线与抛物线有3个交点的情况，根据题意分类讨论，并且作出图形更利于解决问题例4、已知：矩形OABC的顶点O在平面直角坐标系的原点，边OA、OC分别在x、y轴的正半轴 上，且OA=3cm，OC=4cm，点M从点A出发沿AB向终点B运动，点N从点C出发沿CA向终点A运动，点M、N同时出发，且运动的速度均为1cm/秒，当其中一个点到达终点时，另一点即停止运动设运动的时间为t秒（1）当点N运动1秒时，求点N的坐标；（2）试求出多边形OAMN的面积S与t的函数关系式；（3）t为何值时，以OAN的一边所在直线为对称轴翻折OAN，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形？【考点】相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；勾股定理；菱形的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】（1）过N作NEy轴，作NFx轴，由CENCOA，利用相似比求EN，再用勾股定理求CE，确定N点坐标；（2）将多边形OAMN分为ONA和AMN，用t分别表示两个三角形的面积，再求和即可；（3）分为直线ON为对称轴，直线OA为对称轴，直线AN为对称轴，画出图形，根据菱形的特殊性，列方程求解【解答】解：（1）t=1CN=1，AM=1过N作NEy轴，作NFx轴CENCOA，即，EN=（1分）由勾股定理得：，（2分）（2）由（1）得，N点坐标为多边形OAMN由ONA和AMN组成=（3分）=（4分）多边形OAMN的面积S=（0t4）（5分）（3）直线ON为对称轴时，翻折OAN得到OAN，此时组成的四边形为OANA，当AN=AN=AO=OA，四边形OANA是菱形即AN=OA，5t=3t=2（6分）直线OA为对称轴时，翻折OAN得到OAN，此时组成的四边形为ONAN，连接NN，交OA于点G当NN与OA互相垂直平分时，四边形ONAN是菱形即OANN，OG=AG=，NGCO，点N是AC的中点，CN=，（7分）直线AN为对称轴时，翻折OAN得到OAN，此时组成的四边形为ONOA，连接OO，交AN于点H当OO与AN互相垂直平分时，四边形ONOA是菱形即OHAC，AH=NH=，由面积法可求得OH=，在RtOAH中，由勾股定理得，AH=，（8分）综上所述，t的值为【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，矩形的性质及折叠变换关键是根据题意，结合图形及特殊图形的性质，运用勾股定理，相似三角形的性质解题例5、已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90得到线段BD，抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过点D（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a= 求点D的坐标及该抛物线的解析式； 连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得POB与BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；（2）如图2，若该抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足QOB与BCD互余若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围【解答】解：（1）过点D作DFx轴于点F，如图1，DBF+ABO=90，BAO+ABO=90，DBF=BAO，又AOB=BFD=90，AB=BD，在AOB和BFD中，AOBBFD（AAS）DF=BO=1，BF=AO=2，D的坐标是（3，1），根据题意，得a=，c=0，且a32+b3+c=1，b=，该抛物线的解析式为y=x2+x；点A（0，2），B（1，0），点C为线段AB的中点，C（，1），C、D两点的纵坐标都为1，CDx轴，BCD=ABO，BAO与BCD互余，要使得POB与BCD互余，则必须POB=BAO，设P的坐标为（x，x2+x），（）当P在x轴的上方时，过P作PGx轴于点G，如图2，则tanPOB=tanBAO，即=，=，解得x1=0（舍去），x2=，x2+x=，P点的坐标为（，）；（）当P在x轴的下方时，过P作PGx轴于点G，如图3则tanPOB=tanBAO，即=，=，解得x1=0（舍去），x2=，x2+x=，P点的坐标为（，）；综上，在抛物线上是否存在点P（，）或（，），使得POB与BCD互余（2）如图3，