应用泛函分析习题解答.pdf

第一部分 预备知识 1 证明 有理数集Q是可数的 2 设 ij Aa 是一个实的n n 矩阵 证明 11 11 min maxmax min ijij j ni n i nj n aa 何时上面的等号成立 3 求 3 1 xxR Q f x xQ 在区间 0 1 上的 Lebesgue 积分 4 求 3 22 1 sin lim 1 x n nxx dx n x 5 试从 23 1 1 01 1 xxxx x 由上式 存在自然数N使得当kN 时 0 1 2 k ii in 时 有 0 k dxx 由 lim 0 nn n xy 存在自然数N使得当kN 时 kk xy 时 kk nN mN 从而 kk nm xy 111 1 TxTyxyxyxy xyxy 假如T在S上有不动点 0 xS 则由 00 Txx 可知 00 0 1 xx x 0 1x 这是不可能的 第三部分 Hilbert 空间与共轭算子 12 解 2 1212 0 Mx xx xl 13 证明 设xMyN x yX 由MM 显然yxM 于是存在 mM 使yxm 这样xymM 同理 xyN 对于任意的mM xmyN 取nN 使得xmyn 则 mnxyN 所以MN 同 理NM 所以MN 设MNxyM 且 对任意的mM xmyxymyN 即 有xMyN 类似可证yNxM 所以xMyN 14 类似 15 证明略 16 证明 对任意xX 由 x ux v 可知道 0 x uv 所以 令xuv 可得 2 0uvuv uv 即uv 17 证明 2 221111 4444 1 4 4 xyxyxy xyxy xy x xx yy xy yx xx yy xy y x y 因为 H 是实内积空间 x yy x 18 证明 取xH 且xM 由投影定理 取 0 xM 为x在M中的正交投影 则 0 xxM 由假设 0 xx 19 证 明 只 需 证 明MN 中 收 敛 序 列 的 极 限 也 在MN 中 为 此 取 1 kk k mnMN 且 0 kk mnxk 这里 k mM 1 k nN k 由于MN 222 kkkkkkkk mnmnmmnn 1k k 所 以 1 k k m 1 k k n 均是 Cauchy 序列 令lim k k mmM lim k k nnN 于是 222 0 kkkk mnmnmmnn 即lim kk k mnmn 所以 0 xmnMN 20 证明 由已知 对任意的 1n m 且mn 2 1 2 2 2 22 2 2 00 1 0 2 2 2 jmjn n j n mj n m n n j n mj n m nn tmtn dteed eded nedned 所以 2 2 1 n n 21 证明 略 22 证明 由于xyM 所以 1 2 0 0 0 n xy y xy y xy y 记 1122nn yyyy 于是有 11111 12122 11 nn nn nnnnn y yyyx y y yyyx y y yyyx y 而 2 1122 nn zxy xyx xx y x xy xyxyx 由方程组 2 11111 2 12122 2 11 2 11 0 0 0 nn nn nnnnn nn y yyyzx y y yyyzx y y yyyzx y y xyxzx x 可得 n n yyyG yyyxG z 21 21 2 23 解答 这相当于在 Hilbert 空间 2 0 1 L中 求 t e在子空间 2 span 1 Mt t中的最 佳逼近元 利用正交化原理即可 24 解答 令 k eH kN 张成的闭子空间为 0 H 则对任意的 x yH 令 01 xxx 01 yyy 000 xyH 110 x yH 由于 k eH kN 为 0 H的 一个规范正交基 所以 0001 111 nnnnnn nnn xx e ex e ex e e 0001 111 nnnnnn nnn yy e ey e ey e e 所以 000000 11 00 11 nnnn nn nnnn nn xyxyxyx e ey e e x eeyx eey 注意对任意的nN 010 nnnn x ex ex ex e 010 nnnn y ey ey ey e 25 解答 1 S完全 span S 从而 Hspan Sspan Sspan S span SH span Sspan S 2 当S完全时 S为H的一个规范正交基 所以对任意的 x yH 1 nn n xx e e 1 nn n yy e e 则 11 11 nnnnnmnmnn nnm nn x yx e ey e ex ey ee ex ey e 26 解答 对任意的xH 由正交原理 1 nn n xx e ex xS 22 1 n n xx e 显然 22 mkk BeS xm x e 中至多含有1m 个元素 27 解答 对任意的 1 n n kk k xeR 11 111 max max nnn kkkkkkk k nk n kkk f xaaaax 所以 1 max k k n fa 令 1 max kl k n aa 1ln 取 0 0 0 1 0 0 n xR 0 1x 0 1 max lk k n f xaa 所以 1 max k k n fa 这样就有 k nk af 1 max 28 解答 因为 11 AAA AI 所以 11 1 1 AAAAA AA AII 且 1 A 是有界线性算子 根据逆算子的定义 11 AA 29 解答 任取 2 1212 xyC 121212 121122 112212 112221 121221 Ax yjj jj j j j x A y 所以 1212 A yj 对任意的 2 12 yC 对任意 2 12 xC 1212 12121212 12 2 2 AA xAj x 同理 2A Axx 所以IAAAA2 30 解答 1 对于任意的 2 k xl 222 1 k k Axx 所以 1A 2 23 2 Ran 0 n n A 由Ax 可知x 所以 KerA 2 对任意的 2 1212 xyl 11223 1 nn n Ax yx A y 所以 23 A y 注 A AI AAI 第四部分 谱与紧算子 1 设 A 是 2 l空 间 上 的 右 推 移 算 子 12 0 Ax 2 1 k k xl 试 证 明 A 0 但0 不是A的特征值 解答 由于 2 Ran Al 所以A不可逆 即有 A 0 若 2 1 k k xl 12 0 Ax 则 12 0 x 说明0不是A的特征值 2 证明 乘积算子 0 1 0 1 0 1 0 1 A CCxx tC Axtt x tt 是有界线性算子 并且 0 1 A 解答 设 0 1 C上的范数为 对任意的 0 1 x tC 0101 max max tt Axtx tx tx 所以A是有界的 对于任意的C 0 1 x tC Ax ttx t 当 0 1 时 A 是可逆的 且 1 x t Ax t t 1 1 0 1 A dist 而当 0 1 时 取 1 1 0 1 0 n n ttn t x t t 其他 1 2 n 显然 1 n x 而 2 0 nn Ax ttx t n 这样 A 没有有界的逆 所以 A 这样就证明了 0 1 A 3 设 X 是复 Banach 空间 AB X 求证 A 有预解公式 ARARARAR 解答 A 11 11 11 11 RARAAA AAAAAA AARA RA 4 设l 表示有界离散信号空间 101 hhh h nn n hRh 对任意 n xxl 令 nkn k k yHxyh x 1 证明 H是ll 上的有界线性算子 卷积算子 2 讨论 T 解答 1 对任意的正整数K和任意的nZ max sup KKKK kn kkn kkn kkm K k K m kKkKkKkK h xh xhxhx 令K 可得 sup kn kkmk m kkk h xhxhx 所以 nkn k k yHxyh xl 并且 1 Hh 这样H就是ll 上 的有界线性算子 2 任 取 1 0 0 mmn xxxxl 我 们 用Fourier变 换 将 nkn k k yh x 变换到频域 n jnjkjk nkk nk mk Yy ex eh eXH 在频域来看 线性算子的作用相当于一个乘法算子 H 是 0 上的连续函数 0 2 0 2 H