圆的切点弦方程的九种求法-高中数学.doc

圆的切点弦方程的解法探究在理解概念熟记公式的基础上，如何正确地多角度观察、分析问题，再运用所学知识解决问题，是解题的关键所在。本文仅通过一个例题，圆的部分的基本题型之一，分别从不同角度进行观察，用不同的知识点和九种不同的解法，以达到介绍如何观察、分析、解决关于圆的切点弦的问题。一、预备知识：1、在标准方程下过圆上一点的切线方程为： ；在一般方程 （） 下过圆上一点的切线方程为： 。2、两相交圆 （）与 （） 的公共弦所在的直线方程为： 。3、过圆 （）外一点作圆的切线，其切线长公式为：。4、过圆 （）外一点作圆的切线，切点弦AB所在直线的方程为：（在圆的标准方程下的形式）； （在圆的一般方程下的形式）。二、题目 已知圆外一点P（-4，-1），过点P作圆的切线PA、PB，求过切点A、B的直线方程。三、解法解法一：用判别式法求切线的斜率如图示1，设要求的切线的斜率为（当切线的斜率存在时），那么过点P（-4，-1）的切线方程为： 即 由 消去并整理得 令 解得 或将或分别代入解得 、从而可得 A(,)、B(1,-1)，再根据两点式方程得直线AB的方程为：。解法二：用圆心到切线的距离等于圆的半径求切线的斜率如图示1，设要求的切线的斜率为（当切线的斜率存在时），那么过点P（-4，-1）的切线方程为： 即 由圆心C(1,2)到切线的距离等于圆的半径3，得 解得 或所以切线PA、PB的方程分别为：和从而可得切点 A(,)、B(1,-1)，再根据两点式方程得直线AB的方程为：。解法三：用夹角公式求切线的斜率如图示1，设要求的切线的斜率为，根据已知条件可得|PC|= ，在中，|PA|=5，由夹角公式，得 解得 或所以切线PA、PB的方程分别为：和从而可得切点 A(,)、B(1,-1)，再根据两点式方程得直线AB的方程为：。解法四：用定比分点坐标公式求切点弦与连心线的交点如图示1，根据已知条件可得|PC|= ，在中，|PA|=5，AHPC，从而可得 由定比分点公式，得 H(,)又因为 再根据点斜式方程得直线AB的方程为：。解法五：将切点弦转化为两相交圆的公共弦的问题之一如图示2，因为|PA|=|PB|，所以直线AB就是经过以P为圆心|PA|为半径的圆C与圆的交点的直线，由切线长公式得|PA|=所以圆C的方程为 根据两圆的公共弦所在的直线方程，得 即 直线AB的方程为：。解法六：将切点弦转化为两相交圆的公共弦的问题之二如图示3，因为PACA，PBCB，所以P、A、C、B四点共圆，根据圆的直径式方程，以P（-4，-1）、C（1，2）为直径端点的圆的方程为即 根据两圆的公共弦所在的直线方程，得 即 直线AB的方程为：。解法七：运用圆的切线公式及直线方程的意义设切点A、B的坐标分别为、，根据过圆上一点的切线方程，得切线PA、PB的方程分别为 和因为P（-4，-1）是以上两条切线的交点，将点P的坐标代入并整理，得 由式知，直线 经过两点A、B，所以，直线AB的方程为：。解法八：直接运用圆的切点弦方程因为P（-4，-1）是圆外一点，根据切点弦所在直线的方程 得整理得，直线AB的方程为：。解法九：运用参数方程的有关知识如图4，将圆的普通方程 化为参数方程： （其中为参数）设切点A的坐