第八章正弦稳态电路的分析.ppt

第八章正弦稳态电路的分析 8 6阻抗和导纳 8 7正弦稳态电路的分析 8 8正弦稳态电路的功率 8 9最大功率传输 分析正弦稳态电路通常有两种方法一是时域分析方法 列写微分方程 求方程的特解或稳态解 计算比较复杂 二是相量法分析法 8 1引言 两种分析法的简单比较 对图示电路求解正弦稳态响应的过程如下 1 两种分析法的简单比较 1 用时域分析法列写电路方程 代入微分方程比较系数确定和 设特解为 解正弦函数方程 定出和 再求出 2 用相量法列写电路电压相量方程解这个代数方程 用复数运算求出 再写出与相对应的瞬时值 即求出电路的稳态响应 两种分析法的简单比较 8 2 1正弦信号的三个特征量按正弦或余弦规律变化的周期电压 电流 电荷和磁链信号统称为正弦信号 以余弦信号为例 正弦信号的一般表达式为若表示电路中的电流信号 在选定参考方向下 可表示为 8 2正弦信号 是正弦信号的振幅或最大值 是瞬时相位 是初相 周期T 正弦信号每经过一个周期T的时间 相位变化弧度 8 2正弦信号 表示正弦信号单位时间内变化的弧度数 单位为弧度 s 为角频率 或 8 2正弦信号 表示每秒钟正弦波变化的次数 单位为赫兹 HZ 正弦量的振幅 频率 或角频率 初相称为正弦量的三个特征量 这三个特征量确定了 正弦量的变化规律就唯一地确定了 例如 已知一个正弦电流 则 8 2正弦信号 相位差 规定180 设两个同频率的正弦信号波形如图8 2 3所示 8 2 2相位差 与的相位差 同频正弦信号的相位差即是它们的初相之差 讨论相位差 说明超前于度 u滞后于i度或i趋前于u度 8 2 2相位差 表示与同相 表示与反相 表示与正交 例8 2 1已知 求与的相位差 解 说明趋前240 由于规定180 8 2 2相位差 周期电流i流过电阻R在一个周期T内作功与直流电流I流过同样电阻R在同样时间T内所作功相等 称直流电流量I为此周期性电流i的有效值 周期电流i流过电阻R在一个周期T内所作功为 8 2 3有效值 直流电流流过在内所作功为两者相等即上式表明 周期性电流的有效值 等于周期性电流瞬时值的平方在一个周期内的平均值再取平方根 因此有效值又称为方均根值 8 2 3有效值 周期电压的有效值如果周期信号是正弦电流 有效值为 8 2 3有效值 同理可得正弦电压的有效值可见 正弦量有效值是最大值的倍正弦电流和电压也可用有效值表示 实际应用中有关交流电流 电压指示值都是有效值 例如电气设备的额定值 仪器仪表的量测值 8 2 3有效值 8 3正弦信号的相量表示 8 1复数及其运算法则一 复数的表示设复数式中 是虚数单位 a为复数的实部 b为复数的虚部 a b都为实数 复数可用复平面上的一点来表示 该点在实轴上的坐标是a 在虚轴上的坐标是b 复数还可用从原点指向点 a b 的向量来表示 如图所示 该向量的长度称为复数的模 记作 8 1复数及其运算法则 复数A的向量与实轴正向间的夹角称为的辐角 记作复数直角坐标与极坐标的表示为 或 8 1复数及其运算法则 复数的三角表示为由欧拉公式复数的指数表示 8 1复数及其运算法则 二 复数的代数运算设复数复数的加 减运算 8 1复数及其运算法则 复数的乘除运算采用极坐标形式 8 1复数及其运算法则 共轭复数的性质 实部相同 虚部符号相反的两个复数称为共轭复数 例如复数A 其共轭复数记作 8 1复数及其运算法则 用直角坐标形式和极坐标形式表示式的结果 解 1 11 2 27 j 例8 用相量法分析正弦稳态电路 先讨论用相量表示正弦量 由欧拉公式 8 3 2正弦量的相量表示 设正弦电流用复数表示其中称为电流的振幅相量 8 3 2正弦量的相量表示 称为电流的有效值相量 是复常量 它们的模是正弦电流的最大幅度或有效值幅度 幅角是正弦电流的初相角 8 3 2正弦量的相量表示 在同一电路里 各正弦稳态响应都与激励同频率 因此 用振幅 或有效值 与初相就能确定正弦响应中的电流 所以或是能够表征正弦电流的复数 在式 8 3 1 中 相量与相乘 幅角是时间t的函数 随着时间的推移 相量以原点为中心 以角速度作周期性旋转 因此称为旋转相量 其中称为旋转因子 8 3 2正弦量的相量表示 求对应的相量并画出相量图 求相位差 解 对应的振幅相量为 例 已知正弦电流和电压 对应的有效值相量对应的相量相量图为 2 与的相位差电流滞后电压40 解题时注意 相量与正弦量 或瞬时值 是对应关系不是相等关系 已知正弦电路某三支路电压的相量分别为画出相量图 写出对应的正弦电压表达式 解 为了表示统一 将三支路电压相量表示成标准的振幅相量形式 例8 相量图为所对应的正弦电压为 或者 8 4基尔霍夫定律的相量形式 基尔霍夫电流定律 KCL 时域表示当电路处于正弦稳态时 各支路电流都是同频率正弦电流 于是上式可表示为 因 或 所以 KCL相量形式表明 正弦稳态电路中 任一节点上各支路电流相量代数和为零 8 4基尔霍夫定律的相量形式 KCL相量形式 注意 电流相量的代数和为零 意味着节点上各支路电流的瞬时值代数和为零 而不是电流振幅值或有效值代数和为零 即 它表明 正弦稳态电路中 沿着任一回路的所有支路电压相量的代数和为零 8 4基尔霍夫定律的相量形式 基尔霍夫电压定律的相量形式 注意 电压相量的代数和为零 意味着回路中各支路电压的瞬时值代数和为零 而不是电压的振幅值或有效值代数和为零 即 某电路节点电流为如8 4 1图所示 求并画出电路相量图 解 先将电流换算成同一函数形式 写出已知电流的相量 例8 4 1 由KCL得 对应的 相量图 8 5电阻 电感 电容元件伏安关系的相量形式 一 电阻元件伏安关系的相量形式设流过电阻R的电流为由欧姆定律得 对应的相量形式 或比较得电阻电压的有效值等于电阻电流有效值与电阻乘积 电压与电流相位相同 电阻元件相量模型图如8 5 1所示 电压与电流相量图如8 5 2所示 电阻元件相量模型 电感电压为 二 电感元件伏安关系的相量形式 设流过电感元件L的电流为 电感元件的伏安关系的相量形式 其中称为感抗 单位是 或 电感电压与电流的有效值关系为 电压相位超前电流90度 相量图如图所示 或可写为即 电感元件相量模型如图所示 设电容两端电压为 流过电容电流为 三 电容元件伏安关系的相量形式 比较上两式 也可写为 电容电压与电流的有效值关系为 电压相位滞后电流 电容元件的电压电流相量图 8 6阻抗和导纳 一 阻抗由R L C元件组成的无源二端网络如图所示 电流相量和电压相量为关联参考方向 电压相量与电流相量的比称为二端网络的等效阻抗 即 Z的单位为 Z为复数 其中是阻抗的模 它是二端网络输入电压和电流的振幅或有效值之比 阻抗角是端电压与电流之间的相位差 阻抗模及阻抗角与电阻和电抗的关系为 阻抗三角形 阻抗是复量 不是相量 不能代表正弦量 R L C三元件的阻抗 求R L C串联电路的阻抗 解 由于 例8 6 1 电路等效阻抗 的值域取决于电路的性质 讨论如下 无源二端网络的阻抗导纳 二 导纳 8 6阻抗和导纳 导纳是阻抗的倒数 也是复量 单位为西门子 s 式中G是导纳的实部 称为电导 B是导纳的虚部 称为电纳 是导纳的模 为导纳角 R L C元件的导纳分别为 与G B的关系 阻抗与导纳的转换 模和幅角为 8 6阻抗和导纳 二端网络的阻抗它可等效为一个电阻和一个电抗的串联 如图 a 所示 二端网络的导纳 它可等效为一个电导和一个电纳元件的并联 如图 b 所示 三 阻抗 导纳串并联电路 8 6阻抗和导纳 若干个导纳并联 如图所示 等效导纳为 若干个阻抗串联 如图 c 所示 等效阻抗为 已知图 a 所示电路的电压 电流为1 求输入阻抗Z 并画出等效电路图 2 求输入导纳Y 并画出等效电路图解 电压 电流的振幅相量 例8 6 2 1 输入阻抗 对应的元件值 等效电路如图 b 所示 2 输入导纳 对应的元件值 等效电路如图 c 所示 图示电路 求 与的相位差 解 电路的输入阻抗 电流有效值 例8 6 3 电流电压相量图如图所示 8 7正弦稳态电路的分析 KCL KVL和元件的伏安关系是分析电路的基本依据 前面已经定义了这两类约束关系的相量形式 相量形式的电路方程和电阻电路的电路方程一样 也是线性代数方程 所以分析电阻电路的定律 定理 方法和公式等 都适用于相量法分析正弦稳态电路 以下举例说明正弦稳态电路的分析计算 图 a 电路 求电路的戴维南等效电路 例8 7 1 解 电路的相量模型如图 b 所示 开路电压相量 等效阻抗 开路电压相量 戴维南等效电路如图 c 所示 列写图示电路的节点电压方程和网孔电流方程 解 选 为参考节点 节点电压方程为 例8 7 2 网孔电流方程 电路如图所示 求与的相位差 解 为节点电压 列写节点电压方程 例8 7 3 8 8正弦稳态电路的功率 8 8 1瞬时功率 一个无源二端网络N 端口电压与电流是关联参考方向 如图所示 网络N在任一瞬时吸收的功率为 设端口电压 电流分别为 阻抗角 二端网络吸收的瞬时功率为 第一项是不随时间变化的恒定值 如波形图虚线所示 第二项是以为中心线 随时间变化的正弦波 符号相同时 二端网络从外电路吸收能量 符号相异时 二端网络向外电路释放能量 瞬时功率在一个周期内的平均值称为平均功率 即 P也称有功功率 单位是瓦特 w 8 8 2平均功率 当二端网络是纯电阻时 当二端网络是纯电感时 当二端网络是阻抗时 可以用等效电路表示 如图 a 所示 二端网络吸收的平均功率 就是网络中电阻消耗的功率 假设 若二端网络中有N个电阻 网络吸收的总平均功率等于各电阻吸收的平均功率之和 即 8 8 2平均功率 电感和电容虽然不消耗能量 但却存在与外电路交换能量的过程 这种能量交换用无功功率来计量 8 8 3无功功率 瞬时功率也可另推导如下 以电源的两倍频作周期变化 它代表了二端网络中等效电抗所吸收的瞬时功率 代表了二端网络中等效电阻所吸收的 电抗元件只与外电路进行能量交换 能量交换的最大速度 称为二端网络的无功功率 表示 为了区别有功功率 无功功率的单位为乏 Var 当二端网络等效为纯电阻时 有 当二端网络等效为纯电感时 有 当二端网络等效为纯电容时 有 二端网络端口电压与电流的有效值乘积称为视在功率 记为单位为伏安 VA 一般电气设备都要规定额定电压和额定电流 工程上用它们的乘积视在功率表示某些电气设备的容量 二端网络的有功功率与视在功率之比称为功率因数 记为 8 8 4视在功率和功率因数 由于0 1 有0 P S 实际中为了提高电气设备的利用率 应尽量提高负载的功率因数 例如的变压器 额定视在功率是 如果所接负载的功率因数 1 它能传输的功率是 如果 0 5 它只能传输了 所以要更充分的利用该电气设备的容量 就应设法提高负载的功率因数 以上讨论的二端网络是假设无源的网络 对于上述定义的各功率也适用有源二端网络 只要将阻抗角改为二端口电压与电流的相位差即可 设二端网络N的输入电压与电流的相量为 电流的共轭复数为 8 8 5复功率 复功率 单位为伏安 VA 复功率可表述为 复功率等于电压相量与电流相量的共轭复量的乘积 复功率只是计算用的复量不代表正弦量 因此不能视为相量 复功率的模为视在功率复功率的实部是有功功率复功率的虚部是无功功率 8 8 5复功率 的关系为 8 8 5复功率 功率三角形如图所示 复功率具有守恒性 视在功率不守恒 图示电路 求电路消耗的总平均功率 电路功率因数 电源输出的复功率 视在功率 无功功率 解 电路的总阻抗为 例8 8 1 电源支路的电流为电路消耗的总平均功率为 功率因数 电源输出的复功率 视在功率 在正弦稳态电路中 电源电压和电源内阻抗一定 怎样的负载才能获得最大的平均功率 这是电气电子技术经常遇到的问题 电路的等效信号源和内阻抗是一定的 负载阻抗可变 讨论获得最大的平均功率的条件 8 9最大功率传输 第一种情况 其中与均可变 电路电流 8 9最大功率传输 电流有效值 负载电阻吸收的功率 欲使最大 令 有 8 9最大功率传输 此时分母最小 功率 再令 得 所以当 负载可获最大功率 负载获得最大功率的条件为 8 9最大功率传输 称为负载阻抗与信号源内阻抗共轭匹配 这种匹配也是最佳匹配 在共轭匹配的条件下 负载可以获得最大功率为 8 9最大功率传输 第二种情况 负载阻抗的模可以改变 负载电阻吸收的功率 上式只有分母与有关 对分母求极小值 即是对求极大值 令分母的导数等于零 即 得 负载获得最大功率的条件是阻抗的模与电源内