高等数学(二)复习大纲及复习题.doc

武汉理工大学网络学院专升本入学考试高等数学（二）复习大纲及复习题高等数学（二）入学考试以中国人民大学赵树嫄主编微积分（修订本）为复习参考教材，难度不超过该教材每章后习题，具体要求如下：第一部分 函数极限与连续1、熟练掌握函数的有关概念及性质，能进行函数的复合运算；会计算函数的定义域；会判断函数的奇偶性、有界性。2、掌握函数的表示方法，能建立简单的函数关系。3、熟练掌握极限的概念及性质，会利用左右极限判断极限的存在性；会利用极限运算法则、两个重要极限、无穷小量的性质求极限。4、熟练掌握函数连续的概念及连续函数的性质，会判断分断函数在分界点处的连续性；掌握函数间断点的概念及其分类，会判断函数间断点的类型。5、掌握闭区间上连续函数的性质，会利用介值定理判断方程根的存在性。第二部分 导数与微分1、熟练掌握导数与微分的概念，会利用导数的几何意义求曲线的切线方程；知道连续、可导及可微之间的关系。2、熟练掌握和、差、积、商的求导法则；复合函数的求导法则；隐函数的求导法则及微分法则；会计算各种函数的导数及微分；会计算简单的高阶导数。第三部分 中值定理与导数的应用1、熟练掌握中值定理的条件及结论，会利用拉格郎日中值定理证明不等式。2、熟练掌握函数的单调性、能用函数的单调性证明简单的不等式，掌握凹凸性的定义及其判定方法。3、掌握函数极值的概念及求法，会利用极值的理论解决实际应用中的最值问题。4、熟练掌握导数在经济学上的应用。第四部分 不定积分1、熟练掌握不定积分概念及性质，熟练掌握积分方法，会用换元积分法和分布积分法计算不定积分。2、了解几种特殊类型函数的积分方法；了解积分表的使用。第五部分 定积分及其应用1、熟练掌握定积分的概念、性质及其应用；熟练掌握变上限积分函数的概念及性质，会求变上限积分函数的导数。2、熟练掌握定积分的换元积分法和分部积分法，会利用换元积分法和分部积分法计算定积分。3、掌握广义积分的概念及收敛性的判断，会计算广义积分，会判断广义积分的收敛性。4、掌握定积分的元素法，熟练掌握在平面直角坐标系下，平面图形的面积、旋转体的体积计算方法。5、熟练掌握定积分在经济学上的应用。第八章 多元函数微分学1、 了解多元函数的概念。了解二元函数的极限和连续性的概念。2、 理解偏导数的概念。了解全微分的概念。3、会求二元函数的一阶、二阶偏导数，会求二元函数的全微分。4、 掌握复合函数一阶偏导数的求法。5、会求由方程所确定的隐函数的一阶偏导数。6、 了解二元函数极值存在的必要条件、充分条件。会求二元函数的极值。第九章 微分方程1、 熟练掌握微分方程的有关概念。2、 熟练掌握变量可分离的微分方程、一阶线性微分方程的解法。武汉理工大学网络学院专升本入学考试高等数学复习题及解答一、选择题例1 函数的定义域是（ C ）A、（-1，+） B、-1，+ C、（1，+） D、 1，+例2 设（a为大于零的常数），则 A、 x（x-a） B、x（x+a） C、（x-a）（x+a） D、例3 函数是定义域内的（ C）A、周期函数 B、单调函数 C、有界函数 D、无界函数例 4（ A）A、e2 B、e C、 D、例5（ D ）A、0 B、1 C、 D、2例 6 A、0 B、 C、 D、例 7 ( D )A、 B、2 C、0 D、-2例 8函数的间断点的个数为（C）A、0 B、1 C、2 D、3例 9设 在x=0处连续，则a等于（D ）A、-1 B、1 C、2 D、3例10 设函数f（x）在x=x0处可导，并且则 等于( D )A、 B、2 C、 D、-2例11设=1，则在x=x0处，当时与相比较为( D )A、 低阶无穷小量 B、高阶无穷小量 C、 同阶但不等价 D、等价无穷小量例12设存在，则=( B ) A、 B、 C、 D、例13设函数f（x）在x=a处可导，则( C )A、0 B、 C、2 D、例14设( C )A、 B、C、-2cosx D、-例15 设 （ A ）A、在（0，）内单调减少 B、在（）内单调减少C、在（0，+）内单调减少 D、（0，+）在内单调增加例16 函数的单调增加区间为（ C ）A、（-5，5） B、（，0） C、（0，） D、（-）例17 以下结论正确的是（ C ）A、函数的导数不存在的点，一定不是的极值点B、若x0为的驻点，则x0必为的极值点C、若在x0处有极值，且存在，则必有=0D、若在x0处连续，则一定存在例18是（ ）的一个原函数A、 B、 C、 D、分析：由原函数的概念及知，应选B例19（ A）是函数的一个原函数A、 B、 C、 D、例20设函数在上是连续的，下列等式正确的是（ C ）A、 B、C、 D、例21设函数在上连续，则=( B ) A、小于零 B、等于零 C、大于零 D 、不确定例22设函数在上连续，则曲线与直线所围成的平面图形的面积等于（ C ）A、 B、 C、 D 、例23设函数在上连续，A、 B、 C、 D、例24下列微分方程中，属于变量可分离的微分方程是（C ）A、 B、C、 D、例25方程是（ C ）A、变量可分离的方程 B、齐次方程 C、一阶线性方程 D、都不对例26微分方程（ C ）A、 B、 C、 D、二、填空题 例1设，则 分析：设例2 函数的反函数 分析：设例3函数的定义域是 分析：要使函数有意义必须满足：x，即所以函数的定义域为：例4若=3 ， 则a= 分析：当x时，分母的极限为0，分式的极限存在，可知分子的极限一定为0，即，解得：a=-2例5设 分析：根据函数在定点连续的定义，f（x）必须满足条件f（-0）=f（+0）=f（0）而f（-0）=，f（+0）=所以A=0例6 设函数则 分析：例7设 分析：由复合函数的求导法则得= 所以例8 曲线方程在点（1，1）处的切线方程为 法线方程为 分析：切线方程为：法线方程为：例9 函数由方程确定，则 分析：将方程的两端对求导可得；解得：例10设函数 分析： =所以 例11 函数f（x）=（ ）在-1，1上满足罗尔定理的条件A、 B、 C、1-x2 D、x-1分析：罗尔定理有三个条件，（1）f（x）在a，b上连续，（2）f（x）在（a，b）上可导，（3）f（a）=f（b）对于A，在x=0处无定义，不连续对于B，f（x）在x=0处不可导对于D，f（-1）f（1）而对于C，同时满足三个条件，故选C例12 下列函数在1，e上满足拉格朗日中值定理条件的是（ ）A、 B、 C、 D、分析：拉格朗日定理有两个条件，（1）f（x）在a，b上连续，（2）f（x）在（a，b）上可导，只要验证哪个函数同时满足两个条件对于A，f（x）在x=1处无定义，可知f（x）在1，e上不连续；对于C，f（x）在x=1处无定义，可知f（x）在1，e上不连续；对于D，f（x）在x=e处无定义，可知f（x）在1，e上不连续；而对于B，f（x）在1，e 连续，在（1，e）上可导，故选B例13 设 （ ）A、在（0，）内单调减少 B、在（）内单调减少C、在（0，+）内单调减少 D、（0，+）在内单调增加分析：的定义域为（0，+），而当 当x（0，）时，f（x）单调减少，而当x（）时，f（x）单调增加，故选A例14 函数的单调增加区间为（ ）A、（-5，5） B、（，0） C、（0，） D、（-）分析：的定义域为（-），由于可知x0时，所以函数的单调增加区间为（0，），故选C例15 以下结论正确的是（ ）A、函数的导数不存在的点，一定不是的极值点B、若x0为的驻点，则x0必为的极值点C、若在x0处有极值，且存在，则必有=0D、若在x0处连续，则一定存在分析：设y=，则y在x=0处连续，不可导，但x=0是y=极小值点，可知A、D不对；设y=x3，则，x=0为y=x3的驻点，但不是极值点，应排除B；由极值的必要条件可知C正确。例16 函数的一个原函数是 分析：由原函数的定义可知只需计算由于只求的一个原函数，因此，填即可例17 设则 分析：由不定积分的性质可知，因此1例18 分析：由不定积分与导数（微分）的互逆性可知例19 若则 由原函数和不定积分的定义可知=例20 定积分 分析：由积分区间为对称区间，被积函数为奇函数可知，0例21 设 分析：由变上限积分函数的求导公式可得，例22定积分 分析：=例23设函数 分析：由牛顿-莱布尼茨公式，=例24定积分 分析：=1-例25设，则 分析：求时，把y当作常数，=，可得2例26设，则 分析：=例27设则 分析：=例28微分方程的自变量为 ，未知函数为 ，方程的阶数为 。分析：所给的方程中将x作为函数，y作为自变量，方程为二阶微分方程。例29微分方程的阶数为 分析：所给的方程的未知函数y的最高阶导数为2，因此为二阶微分方程例30微分方程为 方程分析：由于，因此所给的方程为变量可分离的微分方程。例31微分方程的通解为 分析：所给的方程为变量可分离的微分方程，分离变量得2dx两边积分得lny=2x+c1，或写为例32微分方程满足的 特解为 分析；所给的方程为变量可分离的微分方程，分离变量得两边分别积分 例33设生产某种产品x单位时的成本函数为C（x），收益函数为R（x），则生产该产品x单位时的利润函数L（x）为 分析：根据利润函数与成本函数、收益函数之间的关系可知L（x）= R（x）- C（x）例34设生产某种产品的成本C与产量x的关系为C（x） =100+7x+50，则生产该产品的边际成本为 分析：由于边际成本就是成本函数的变化率，而所以该产品的边际成本为例35设某商品的需求量Q与价格p的函数关系为Q=，则需求量Q对价格p的弹性为 分析：由于需求量对价格的弹性为故=-三、计算解答题例1 设函数 在点x=1处连续，试确定常数a、b的值解：要使f（x）在x=1处连续，必须满足条件即b=-1-a，因此f（x）=从而有a=2，b=-3例2 确定A的值，使函数 在点x=0处连续解：要使f（x）在x=0处连续，必须满足条件 f（x）=f（x）=f（0）而f（x）=（f（x）=令得A=，所以当A=时，f（x）在x=0处连续例3 设函数，求解：=则 =例4 设函数 ，求 解：设函数设函数=例5 设函数解：先求，令所以 例6 由方程确定隐函数，求dy解：这是隐函数求微分的问题，先求隐函数的导数，再求微分，方程两边对x求导得：即 解得：例7 设函数解：，例8 设曲线方程为，求在点P（2，）处的切线方程解：这是由方程所确定的隐函数，利用隐函数的求导方法解题方程两边对x求导得：曲线在点处的切线方程为 化简得：例9求极限 解：所给的极限是“”型，用罗必塔法则求解=例10求极限 解：所给的极限是 “0型”，可先变形=例11求极限（）解(一)：所给的极限是“”型，可先通分，再用罗必塔法则，（）=解(二)：利用当与等价 （）=例12求极限解：所给的极限是“00”型，可通过变量代换，转化为“”型，再计算，设，先求出，然后求出=0，所以即=1例13 求函数的单调区间、极值及曲线的凹凸区间解：函数的定义域为（-1，），令由，函数在（0，）内单调增加由，函数在（-1，0）内单调减少根据前面的讨论，x=0为极小值点，其极小值为由于在时，总有，因此曲线是凹的。例14 若=解：由于所以例15 已知曲线在点处切线的斜率为，且曲线经过点（1，0），求该曲线的方程。 解：由由于曲线过点（1，0），故0=1+c c=1故所求的曲线方程为例16 求解：=注意：对于幂函数在不定积分或求导运算时，先转化为分数指数或负指数之后再积分或求导能简化运算例17求解：=3例18求解：由凑微分法=-=-例19求解：由凑微分法=-例20求解：利用换元积分法，通过变量代换，化无理函数为有理函数，再计算不定积分设=2=例21求解：利用分步积分法，令=-例22求解：利用分步积分法，令=例23求解：利用分步积分法，令=例24求解：利用分步积分法，令=-=-=-例25求解：此类题目要连续两次使用分步积分法，=由此得到一个含有由此解出=例26 计算解：利用换元积分法令所以=例27计算解：利用换元积分法令所以=2例28计算解：对于含绝对值的定积分，要先划分积分区间，去掉绝对值符号，再计算=例29 设函数解：对于分段函数定积分的计算，要把积分区间分成几个区间，然后将被积函数在对应的区间上积分例30计算解：利用分步积分法=例31已知二元函数=求解：由=可得=令，则有所以例32设求，解：=例33设，求解：令所以=例34设函数由方程确定，求，解法一：设，分别求F对x、y、z的偏导数， 解法二：将原方程两边分别对x、y求偏导数，把z当作是x、y的函数有，方程两边对x求导：，解得：=方程两边对y求导：，解得：=例35若函数，在点（1，-1）处取得极值，试确定常数a、b，问f（1，-1）是极大值还是极小值？解:根据二元函数极值存在的必要条件，必有所以求的二阶偏导数且A=40，根据二元函数极值存在的充分必要条件可知，f（1，-1）=-2是极小值。例36求微分方程的通解解：分离变量得，两边同时积分于是为所求的通解例37求微分方程的通解，并求满足初始条件y（0）=0特解解：由原方程得分离变量得，两边同时积分 得通解为，由y（0）=0得，故所求的特解为例38求微分方程的通解解：分离变量得两边同时积分于是故所求的通解为例39求微分方程的通解解：该方程为一阶线性微分方程且，由求解公式=故所求的通解为例40求微分方程的通解解：该方程为一阶线性微分方程且，由求解公式=故所求的通解为四、应用题例1 某车间靠墙盖一长方形小屋,现有存砖只够砌24米长的墙,问该屋长、宽各为多少时小屋面积最大？最大值为多少？解：设长方形的长为x，宽为y，则 s=xy，2（x+y）=24s（x）=x（12-x） S（x）=12-2x 由S（x）=0得：x=y=6当长宽相等且等于6时，面积最大，最大面积为36m2例2在斜边之长为a的一切直角三角形中求有最大周长的直角三角形。 解：L=x+y+a=x+a L=1- 由L=0得：x=y=当两直角边相等且等于时周长最大。例3在区间0，4上，计算曲线所围城图形的面积。解：如图所示：在区间0，2上，在区间2，4上，故所求的面积为：A=16例4计算由解：如图所示：先求出曲线在点（）处的法线方程，由于所以曲线在点（）处的法线方程的斜率k=-因此法线方程为再求曲线与法线的交点，由解得交点A（），B（）S=例5求由曲线一周所生成的旋转体的体积。解：所给的曲线围成的平面图形如图所示：所求的体积为所围成的平面图形绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积减去所围成的平面图形绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积当故例6某厂每批生产某种产品x单位时的费用为C（x）=5x+200（元），得到的收益为R（x）=10x-（元），问每批生产多少单位时，可以使利润最大？解：首先要求出利润函数；其次根据边际利润等于0时所得的利润最大求出xL（x）=R（x）-C（x）=5x-5x-0.02x由0得x=250，且0.02所以每批生产250单位时所得的利润最大。例7某商品的价格p与需求量Q的关系为p=10-（1） 求需求量为20时的总收益R、平均收益、和边际收益（2） Q为多少时总收益最大？解：收益函数为R（Q）=Pq=，=10-（1）R（20）=120，=6，（2）由=0得Q=25，且，当Q=25时总收益最大。例8某产品生产x单位时的总成本C为x的函数C=C（x）=（1）求生产900单位时的总成本和平