点、直线与圆的位置关系_圆的切线(初中_中考_练习题有详细答案).pdf

第第 3 3 章 圆 中考题集 章 圆 中考题集 3939 3 23 2 点 点 直线与圆的位置关系 圆的切线直线与圆的位置关系 圆的切线 2011 菁优网 2 解答题 1 2009 肇庆 如图 O 的直径 AB 2 AM 和 BN 是它的两条切线 DE 切 O 于 E 交 AM 于 D 交 BN 于 C 设 AD x BC y 1 求证 AM BN 2 求 y 关于 x 的关系式 3 求四边形 ABCD 的面积 S 并证明 S 2 2 2009 宜昌 已知 如图 1 把矩形纸片 ABCD 折叠 使得顶点 A 与边 DC 上的动点 P 重 合 P 不与点 D C 重合 MN 为折痕 点 M N 分别在边 BC AD 上 连接 AP MP AM AP 与 MN 相交于点 F O 过点 M C P 1 请你在图 1 中作出 O 不写作法 保留作图痕迹 2 与是否相等 请你说明理由 3 随着点 P 的运动 若 O 与 AM 相切于点 M 时 O 又与 AD 相切于点 H 设 AB 为 4 请你通过计算 画出这时的图形 图 2 3 供参考 3 2009 烟台 如图 AB BC 分别是 O 的直径和弦 点 D 为上一点 弦 DE 交 O 于点 E 交 AB 于点 F 交 BC 于点 G 过点 C 的切线交 ED 的延长线于 H 且 HC HG 连接 BH 交 O 于点 M 连接 MD ME 求证 1 DE AB 2 HMD MHE MEH 3 4 2009 芜湖 如图 在 Rt ABC 中 斜边 BC 12 C 30 D 为 BC 的中点 ABD 的 外接圆 O 与 AC 交于 F 点 过 A 作 O 的切线 AE 交 DF 的延长线于 E 点 1 求证 AE DE 2 计算 AC AF 的值 5 2009 温州 如图 在 ABC 中 C 90 AC 3 BC 4 0 为 BC 边上一点 以 0 为圆心 OB 为半径作半圆与 BC 边和 AB 边分别交于点 D 点 E 连接 DE 1 当 BD 3 时 求线段 DE 的长 2 过点 E 作半圆 O 的切线 当切线与 AC 边相交时 设交点为 F 求证 FAE 是等腰三 角形 6 2009 泰安 将一个量角器和一个含 30 度角的直角三角板如图 1 放置 图 2 是 由它抽象出的几何图形 其中点 B 在半圆 O 的直径 DE 的延长线上 AB 切半圆 O 于点 F 且 BC OD 1 求证 DB CF 2 当 OD 2 时 若以 O B F 为顶点的三角形与 ABC 相似 求 OB 7 2009 沈阳 如图 AB 是 O 的直径 点 C在 AB 的延长线上 CD 与 O 相切于点 D 4 C 20 度 求 CDA 的大小 8 2009 上海 在直角坐标平面内 O 为原点 点 A 的坐标为 1 0 点 C 的坐标为 0 4 直线 CM x 轴 如图所示 点 B 与点 A 关于原点对称 直线 y x b b 为常数 经过 点 B 且与直线 CM 相交于点 D 连接 OD 1 求 b 的值和点 D 的坐标 2 设点 P 在 x 轴的正半轴上 若 POD 是等腰三角形 求点 P 的坐标 3 在 2 的条件下 如果以 PD 为半径的圆 P 与圆 O 外切 求圆 O 的半径 9 2009 清远 如图 已知 AB 是 O 的直径 过点 O 作弦 BC 的平行线 交过点 A 的切线 AP 于点 P 连接 AC 1 求证 ABC POA 2 若 OB 2 OP 求 BC 的长 10 2009 莆田 已知 如图 BC 是以线段 AB 为直径的 O 的切线 AC 交 O 于点 D 过 点 D 作弦 DE AB 垂足为点 F 连接 BD BE 1 仔细观察图形并写出四个不同的正确结论 不添加其它字母和辅助线 不必证明 2 A 30 CD 求 O 的半径 r 5 11 2009 宁波 已知 如图 O 的直径 AB 与弦 CD 相交于 E O 的切线 BF 与弦 AD 的延长线相交于点 F 1 求证 CD BF 2 连接 BC 若 O 的半径为 4 cos BCD 求线段 AD CD 的长 12 2009 南充 如图 半圆的直径 AB 10 点 C 在半圆上 BC 6 1 求弦 AC 的长 2 若 P 为 AB 的中点 PE AB 交 AC 于点 E 求 PE 的长 13 2009 梅州 如图 矩形 ABCD 中 AB 5 AD 3 点 E 是 CD 上的动点 以 AE 为直径 的 O 与 AB 交于点 F 过点 F作 FG BE 于点 G 1 当 E 是 CD 的中点时 tan EAB 的值为 证明 FG 是 O 的切线 2 试探究 BE 能否与 O 相切 若能 求出此时 DE 的长 若不能 请说明理由 14 2009 龙岩 如图 已知点 E 在 ABC 的边 AB 上 以 AE 为直径的 O与 BC 相切于点 D 且 AD 平分 BAC 求证 AC BC 6 15 2009 临沂 如图 AC 是 O 的直径 PA PB 是 O 的切线 A B 为切点 AB 6 PA 5 求 1 O 的半径 2 sin BAC 的值 16 2009 来宾 如图 AB 为 O 的直径 CD 与 O 相切于点 C 且 OD BC 垂足为 F OD 交 O 于点 E 1 证明 BE CE 2 证明 D AEC 3 若 O 的半径为 5 BC 8 求 CDE 的面积 17 2009 济宁 如图 ABC 中 C 90 AC 4 BC 3 半径为 1 的圆的圆心 P 以 1 个 单位 s 的速度由点 A 沿 AC 方向在 AC 上移动 设移动时间为 t 单位 s 1 当 t 为何值时 P与 AB 相切 2 作 PD AC 交 AB 于点 D 如果 P 和线段 BC 交于点 E 证明 当时 四边 形 PDBE 为平行四边形 18 2009 济南 1 已知 如图 在平行四边形 ABCD 中 E F 是对角线 BD 上的两点 且 BF DE 求证 AE CF 7 2 已知 如图 AB 是 O 的直径 CA 与 O 相切于点 A 连接 CO 交 O 于点 D CO 的延长线交 O 于点 E 连接 BE BD ABD 30 求 EBO 和 C 的度数 19 2009 衡阳 如图 AB 是 O 的直径 弦 BC 2cm ABC 60 度 1 求 O 的直径 2 若 D 是 AB 延长线上一点 连接 CD 当 BD 长为多少时 CD 与 O 相切 3 若动点 E 以 2cm s 的速度从 A 点出发沿着 AB 方向运动 同时动点 F 以 1cm s 的速度 从 B 点出发沿 BC 方向运动 设运动时间为 t s 0 t 2 连接 EF 当 t 为何值时 BEF 为直角三角形 20 2009 德州 如图 O 的直径 AB 4 C 为圆周上一点 AC 2 过点 C 作 O 的切线 l 过点 B 作 l 的垂线 BD 垂足为 D BD 与 O 交于点 E 1 求 AEC 的度数 2 求证 四边形 OBEC 是菱形 21 2009 达州 如图 O 的弦 AD BC 过点 D 的切线交 BC 的延长线于点 E AC DE 交 BD 于点 H DO 及延长线分别交 AC BC 于点 G F 1 求证 DF 垂直平分 AC 2 求证 FC CE 3 若弦 AD 5cm AC 8cm 求 O 的半径 8 22 2009 长沙 在 Rt ABC 中 ACB 90 D 是 AB 边上一点 以 BD 为直径的 O 与边 AC 相切于点 E 连接 DE 并延长 与 BC 的延长线交于点 F 1 求证 BD BF 2 若 BC 6 AD 4 求 O 的面积 23 2009 滨州 如图 PA 为 O 的切线 A 为切点 直线 PO 与 O 交于 B C 两点 P 30 连接 AO AB AC 求证 ACB APO 24 2009 安徽 如图 MP 切 O 于点 M 直线 PO 交 O 于点 A B 弦 AC MP 求证 MO BC 25 2008 漳州 如图 A B C 三点在 O 上 1 2 1 判断 OA 与 BC 的位置关系 并说明理由 2 求证 四边形 OABC 是菱形 3 过 A 作 O 的切线交 CB 的延长线于 P 且 OA 4 求 APB 的周长 9 26 2008 宜昌 如图 O 的半径 OD 经过弦 AB 不是直径 的中点 C 过 AB 的延长线 上一点 P 作 O 的切线 PE E 为切点 PE OD 延长直径 AG 交 PE 于点 H 直线 DG 交 OE 于点 F 交 PE 于点 K 1 求证 四边形 OCPE 是矩形 2 求证 HK HG 3 若 EF 2 FO 1 求 KE 的长 27 2008 孝感 如图 AB 为 O 的直径 PQ 切 O 于 T AC PQ 于 C 交 O于 D 1 求证 AT 平分 BAC 2 若 AD 2 TC 求 O 的半径 28 2008 天津 如图 在梯形 ABCD 中 AB CD O 为内切圆 E 为切点 求 AOD 的度数 若 AO 8cm DO 6cm 求 OE 的长 29 2008 双柏县 如图 AB 是 O 的直径 PA 切 O 于 A OP 交 O于 C 连 BC 若 P 30 求 B 的度数 10 30 2008 临沂 如图 Rt ABC 中 ACB 90 AC 4 BC 2 以 AB 上的一点 O 为圆心 分别与均 AC BC 相切于点 D E 求 O 的半径 求 sin BOC 的值 11 答案与评分标准 解答题 1 2009 肇庆 如图 O 的直径 AB 2 AM 和 BN 是它的两条切线 DE 切 O 于 E 交 AM 于 D 交 BN 于 C 设 AD x BC y 1 求证 AM BN 2 求 y 关于 x 的关系式 3 求四边形 ABCD 的面积 S 并证明 S 2 考点 切线的性质 矩形的性质 切割线定理 专题 计算题 证明题 压轴题 分析 1 根据切线的性质得到它们都和直径垂直就可证明 2 作直角梯形的另一高 构造一个直角三角形 根据切线长定理和勾股定理列方程 再 表示出关于 y 的函数关系式 3 根据直角梯形的面积公式表示梯形的面积 再根据求差法比较它们的大小 解答 证明 1 AB 是直径 AM BN 是切线 AM AB BN AB AM BN 2 解 过点 D 作 DF BC于 F 则 AB DF 由 1 AM BN 四边形 ABFD 为矩形 DF AB 2 BF AD x DE DA CE CB 都是切线 根据切线长定理 得 DE DA x CE CB y 在 Rt DFC 中 DF 2 DC DE CE x y CF BC BF y x x y 2 22 y x 2 化简 得 y x 0 3 由 1 2 得 四边形的面积 S AB AD BC 2 x 12 即 S x x 0 x 2 x 2 2 0 当且仅当 x 1 时 等号成立 x 2 即 S 2 点评 此题综合运用了切线的性质定理 切线长定理 勾股定理以及求差法比较两个数的大 小 2 2009 宜昌 已知 如图 1 把矩形纸片 ABCD 折叠 使得顶点 A 与边 DC 上的动点 P 重 合 P 不与点 D C 重合 MN 为折痕 点 M N 分别在边 BC AD 上 连接 AP MP AM AP 与 MN 相交于点 F O 过点 M C P 1 请你在图 1 中作出 O 不写作法 保留作图痕迹 2 与是否相等 请你说明理由 3 随着点 P 的运动 若 O 与 AM 相切于点 M 时 O 又与 AD 相切于点 H 设 AB 为 4 请你通过计算 画出这时的图形 图 2 3 供参考 考点 切线的性质 翻折变换 折叠问题 相似三角形的判定与性质 专题 作图题 综合题 动点型 分析 1 以 MP 的中点为圆心 以 MP 的长为半径作 O 则 O 过 M P C 三点 2 解法 1 假设两者相等 则根据相似三角形的性质得 MN DC 由 D 90 可得 MN AD 又 A 与 P 关于点 F 对称 P与 D 不重合 与 过一点 A 只能作一条直线与已知 直线 MN 垂直 矛盾 故假设不成立 解法 2 由折叠的性质知 MN AP 在 Rt AFN 中 cos FAN 在 Rt ADP 中 cos PAD 由 FAN PAD 可得 又 P 与 D 不重合 故 可得 与是不相等 3 作辅助线连接 HO并延长交 BC于 J 根据折叠的性质知 MN 垂直平分 AP 可得 AM DM AM 为 O 的切线 可得 AMD CMP AMB 90 又 BAM AMB 90 可得 13 CMP BAM B C 90 可证 ABM MCD MC AB BM CP 由 AD 为 O 的切线 可得 OJ AD 故 JH CP MOJ MPC 设 PD 的长为 x 则 PC AB x OJ PC OH AB OJ 可求出 O 的半径 又 MC AB 故在 Rt MCP 中 运用勾股定理可将 PD 的长 求出 解答 解 1 如图 2 解法一 与不相等 假设 则由相似三角形的性质 得 MN DC D 90 DC AD MN AD 据题意得 A 与 P 关于 MN 对称 MN AP 据题意 P 与 D 不重合 这与 过一点 A 只能作一条直线与已知直线 MN 垂直 矛盾 假设不成立 不成立 解法二 与不相等 理由如下 P A 关于 MN 对称 14 MN 垂直平分 AP cos FAN D 90 cos PAD FAN PAD P 不与 D 重合 P 在边 DC 上 AD AP 从而 3 AM 是 O 的切线 AMP 90 CMP AMB 90 BAM AMB 90 CMP BAM MN 垂直平分 AD MA MP B C 90 ABM MCD MC AB 4 设 PD x 则 CP 4 x BM PC 4 x 连接 HO 并延长交 BC 于 J AD 是 O 的切线 15 JHD 90 HDCJ 为矩形 OJ CP MOJ MPC OJ CP MO MP 1 2 OJ 4 x OH MP 4 OJ 4 x MC2 MP2 CP2 4 x 2 4 x 2 16 解得 x 1 即 PD 1 PC 3 BC BM MC PC AB 3 4 7 点评 此题作为压轴题 综合考查切线的性质 三角形相似的判定与性质等知识 3 2009 烟台 如图 AB BC 分别是 O 的直径和弦 点 D 为上一点 弦 DE 交 O 于点 E 交 AB 于点 F 交 BC 于点 G 过点 C 的切线交 ED 的延长线于 H 且 HC HG 连接 BH 交 O 于点 M 连接 MD ME 求证 1 DE AB 2 HMD MHE MEH 考点 切线的性质 三角形内角和定理 勾股定理的逆定理 垂径定理 专题 证明题 分析 1 连接 OC 证明 BFG OCH 90 即可 2 连接 BE 证明 HMD DEB EMB 即可 解答 证明 1 连接 OC 16 HC HG HCG HGC 1 分 HC 切 O 于 C 点 OCB HCG 90 2 分 OB OC OCB OBC 3 分 HGC BGF OBC BGF 90 4 分 BFG 90 即 DE AB 5 分 2 连接 BE 由 1 知 DE AB AB 是 O 的直径 6 分 BED BME 7 分 四边形 BMDE 内接于 O HMD BED 8 分 HMD BME BME 是 HEM 的外角 BME MHE MEH 9 分 HMD MHE MEH 10 分 点评 此题综合性较强 主要考查了切线的性质 三角形的内角和外角的性质 等腰三角形 的性质 内接四边形的性质 4 2009 芜湖 如图 在 Rt ABC 中 斜边 BC 12 C 30 D 为 BC 的中点 ABD 的 外接圆 O 与 AC 交于 F 点 过 A 作 O 的切线 AE 交 DF 的延长线于 E 点 1 求证 AE DE 2 计算 AC AF 的值 考点 切线的性质 等边三角形的性质 直角三角形的性质 圆周角定理 圆内接四边形的 性质 相似三角形的判定与性质 专题 代数几何综合题 分析 1 连接 OA OB 证明 ABD 为等边三角形后根据三心合一的定理求出 OAC 60 求出四边形 ABDF 内接于圆 O 利用切线的性质求出 AE DE 2 由 1 可得 ABD 为等边三角形 易证 ADF ACD 可得 AD2 AC AF 17 解答 证明 1 在 Rt ABC 中 BAC 90 C 30 D 为 BC 的中点 ABD 60 AD BD DC ABD 为等边三角形 2 分 O 点为 ABD 的中心 内心 外心 垂心三心合 连接 OA OB BAO OAD 30 OAC 60 3 分 又 AE 为 O 的切线 OA AE OAE 90 EAF 30 AE BC 6 分 又 四边形 ABDF 内接于圆 O FDC BAC 90 AEF FDC 90 即 AE DE 8 分 2 由 1 知 ABD 为等边三角形 ADB 60 ADF C 30 FAD DAC ADF ACD 则 10 分 AD2 AC AF 又 AD BC 6 AC AF 36 12 分 点评 本题考查了圆的切线性质 及解直角三角形的知识 运用切线的性质来进行计算或论 证 常通过作辅助线连接圆心和切点 利用垂直构造直角三角形解决有关问题 5 2009 温州 如图 在 ABC 中 C 90 AC 3 BC 4 0 为 BC 边上一点 以 0 为圆心 OB 为半径作半圆与 BC 边和 AB 边分别交于点 D 点 E 连接 DE 1 当 BD 3 时 求线段 DE 的长 2 过点 E 作半圆 O 的切线 当切线与 AC 边相交时 设交点为 F 求证 FAE 是等腰三 角形 18 考点 切线的性质 等腰三角形的判定 等腰三角形的判定与性质 相似三角形的判定与性 质 专题 代数几何综合题 分析 1 由 DB 为直径可以得到 DEB C 90 由此可以证明 Rt DBE Rt ABC 有 把 AC BD AB 的值即可求得 DE 的值 2 由弦切角定理可得 B FED 再由等角的余角相等知 A FEA 故 AF EF 解答 解 1 C 90 AC 3 BC 4 AB 5 DB 为直径 DEB C 90 又 B B DBE ABC 即 DE 2 解法一 连接 OE EF 为半圆 O 的切线 DEO DEF 90 AEF DEO DBE ABC A EDB 又 EDO DEO AEF A FAE 是等腰三角形 解法二 连接 OE EF 为切线 AEF OEB 90 19 C 90 A B 90 OE OB OEB B AEF A FAE 是等腰三角形 点评 本题利用了勾股定理 直径对的圆周角是直角 切线的概念和性质 相似三角形的判 定和性质 同角或等角的余角相等等知识 综合性比较强 6 2009 泰安 将一个量角器和一个含 30 度角的直角三角板如图 1 放置 图 2 是 由它抽象出的几何图形 其中点 B 在半圆 O 的直径 DE 的延长线上 AB 切半圆 O 于点 F 且 BC OD 1 求证 DB CF 2 当 OD 2 时 若以 O B F 为顶点的三角形与 ABC 相似 求 OB 考点 切线的性质 平行四边形的判定 相似三角形的性质 解直角三角形 专题 综合题 分析 1 连接 OF 判断 OBCF 是平行四边形 2 首先分析相似三角形的对应顶点 从而得到角对应相等 再运用解直角三角形的知识 求解 解答 证明 1 连接 OF 如图 AB 切半圆 O于 F OF AB CB AB BC OF BC OD OD OF BC OF 四边形 OBCF 是平行四边形 DB CF 2 以 O B F 为顶点的三角形与 ABC 相似 OFB ABC 90 OBF BFC BFC A 20 OBF A OFB 与 ABC 相似 A 与 BOF 是对应角 BOF 30 OB BFO 与 ABC 相似 A 与 OBF 是对应角 OBF 30 OB 4 故 OB 的长为或 4 点评 此题综合运用了平行四边形的性质和判定 能够正确分析相似三角形的对应顶点 从 而得到有关的角对应相等 7 2009 沈阳 如图 AB 是 O 的直径 点 C在 AB 的延长线上 CD 与 O 相切于点 D C 20 度 求 CDA 的大小 考点 切线的性质 等腰三角形的性质 分析 CD 与 O 相切于点 D 则连接 OD CDO 90 求 CDA 的大小的问题可以转化为 求 ADO 的问题 解答 解 如图 连接 OD CD 与 O 相切于点 D CDO 90 C 20 COD 90 20 70 OD OA A ADO 又 ADO A COD 35 21 CDA CDO ADO 125 点评 本题考查了圆的切线性质 及解直角三角形的知识 运用切线的性质来进行计算或论 证 常通过作辅助线连接圆心和切点 利用垂直构造直角三角形解决有关问题 8 2009 上海 在直角坐标平面内 O 为原点 点 A 的坐标为 1 0 点 C 的坐标为 0 4 直线 CM x 轴 如图所示 点 B 与点 A 关于原点对称 直线 y x b b 为常数 经过 点 B 且与直线 CM 相交于点 D 连接 OD 1 求 b 的值和点 D 的坐标 2 设点 P 在 x 轴的正半轴上 若 POD 是等腰三角形 求点 P 的坐标 3 在 2 的条件下 如果以 PD 为半径的圆 P 与圆 O 外切 求圆 O 的半径 考点 切线的性质 坐标与图形性质 勾股定理 相似三角形的判定与性质 专题 综合题 分类讨论 分析 1 先求出点 B 的坐标 由直线过点 B 把点 B 的坐标代入解析式 可求得 b 的值 点 D 在直线 CM 上 其纵坐标为 4 利用求得的解析式确定该点的横坐标即可 2 POD 为等腰三角形 有三种情况 PO OD PO PD DO DP 故需分情况讨论 要 求点 P 的坐标 只要求出点 P 到原点 O 的距离即可 3 结合 2 可知 O 的半径也需根据点 P 的不同位置进行分类讨论 解答 解 1 B 与 A 1 0 关于原点对称 B 1 0 y x b 过点 B 1 b 0 b 1 y x 1 当 y 4 时 x 1 4 x 3 D 3 4 2 作 DE x 轴于点 E 则 OE 3 DE 4 OD 若 POD 为等腰三角形 则有以下三种情况 22 以 O 为圆心 OD 为半径作弧交 x 轴的正半轴于点 P1 则 OP1 OD 5 P1 5 0 以 D 为圆心 DO 为半径作弧交 x 轴的正半轴于点 P2 则 DP2 DO 5 DE OP2 P2E OE 3 OP2 6 P2 6 0 取 OD 的中点 M 过 M 作 OD 的垂线交 x 轴的正半轴于点 P3 则 OP3 DP3 易知 OMP3 DCO 综上所述 符合条件的点 P 有三个 分别是 P1 5 0 P2 6 0 P3 0 3 当 P1 5 0 时 P1E OP1 OE 5 3 2 OP1 5 P1D P 的半径为 O 与 P 外切 O 的半径为 5 2 当 P2 6 0 时 P2D DO 5 OP2 6 P 的半径为 5 O 与 P 外切 O 的半径为 1 当 P3 0 时 P3D OP3 P 的半径为 23 O 与 P 外切 O 的半径为 0 即此圆不存在 点评 本题考查了待定系数法求函数解析式 注意到分情况讨论时解决本题的关键 9 2009 清远 如图 已知 AB 是 O 的直径 过点 O 作弦 BC 的平行线 交过点 A 的切线 AP 于点 P 连接 AC 1 求证 ABC POA 2 若 OB 2 OP 求 BC 的长 考点 切线的性质 圆周角定理 相似三角形的判定与性质 专题 代数几何综合题 分析 1 由 BC OP 可得 AOP B 根据直径所对的圆周角为直角可知 C 90 再根据 切线的性质知 OAP 90 从而可证 ABC POA 2 根据 ABC POA 和已知边的长可将 BC 的长求出 解答 解 1 证明 BC OP AOP B AB 是直径 C 90 PA 是 O 的切线 切点为 A OAP 90 C OAP ABC POA 2 ABC POA 24 OB 2 PO OA 2 AB 4 BC 8 BC 点评 本题主要考查相似三角形的性质与判定 切线的性质等知识 综合性比较强 10 2009 莆田 已知 如图 BC 是以线段 AB 为直径的 O 的切线 AC 交 O 于点 D 过 点 D 作弦 DE AB 垂足为点 F 连接 BD BE 1 仔细观察图形并写出四个不同的正确结论 不添加其它字母和辅助 线 不必证明 2 A 30 CD 求 O 的半径 r 考点 切线的性质 直角三角形全等的判定 圆周角定理 专题 综合题 分析 1 由 BC 是 O 的切线 DF AB 得 AFD CBA 90 根据 DE BC 和垂径定理知 弧 BD 弧 BE DF FE BD BE 由等边对等角得 E EDB 再由圆周角定理得 A E 可 证 BDF BEF BDF BAD 2 当 A 30 时 BD r C 60 再根据 Rt BCD 中 tan60 可求得 r 2 解答 解 1 BC AB AD BD DF FE BD BE BDF BEF BDF BAD BDF BEF A E DE BC 等 2 AB 是 O 的直径 ADB 90 又 A 30 BD ABsinA ABsin30 AB r 又 BC 是 O 的切线 25 CBA 90 C 60 在 Rt BCD 中 CD tan60 r 2 点评 本题利用了切线的性质 垂径定理 圆周角定理 直角三角形的性质 锐角三角函数 的概念求解 11 2009 宁波 已知 如图 O 的直径 AB 与弦 CD 相交于 E O 的切线 BF 与弦 AD 的延长线相交于点 F 1 求证 CD BF 2 连接 BC 若 O 的半径为 4 cos BCD 求线段 AD CD 的长 考点 切线的性质 圆周角定理 解直角三角形 专题 综合题 分析 1 根据 运用垂径定理的推论得到 AB CD 根据切线的性质定理得到 AB BE 从而证明平行 2 根据圆周角定理得到 A C 根据直径所对的圆周角是直角 得到直角 ABD 再结 合锐角三角函数的概念求解 解答 解 1 直径 AB 平分 26 AB CD BF 与 O 相切 AB 是 O 的直径 AB BF CD BF 2 连接 BD AB 是 O 的直径 ADB 90 在 Rt ADB 中 cos A cos C AB 4 2 8 AD AB cos A 8 6 AB CD 于 E 在 Rt AED 中 cos A cos C sin A DE AD sin A 6 直径 AB 平分 CD 2DE 3 点评 熟练运用垂径定理的推论 切线的性质定理 圆周角定理及其推论 能够利用锐角三 角函数的知识解直角三角形 12 2009 南充 如图 半圆的直径 AB 10 点 C 在半圆上 BC 6 1 求弦 AC 的长 2 若 P 为 AB 的中点 PE AB 交 AC 于点 E 求 PE 的长 27 考点 切线的性质 勾股定理 相似三角形的判定与性质 专题 综合题 分析 AB 是半圆的直径 点 C 在半圆上 ACB 90 在直角 ABC 中根据勾股定理就得到 AC 的长 易证 AEP ABC 根据相似三角形的对应边的比相等 就可以求出 PE 的长 解答 解 1 AB 是半圆的直径 点 C 在半圆上 ACB 90 在 Rt ABC 中 AC 2 PE AB APE 90 ACB 90 APE ACB 又 PAE CAB AEP ABC PE 点评 本题主要考查了直径所对的圆周角是直角 并且本题还考查了相似三角形的性质 对 应边的比相等 13 2009 梅州 如图 矩形 ABCD 中 AB 5 AD 3 点 E 是 CD 上的动点 以 AE 为直径 的 O 与 AB 交于点 F 过点 F作 FG BE 于点 G 1 当 E 是 CD 的中点时 tan EAB 的值为 证明 FG 是 O 的切线 2 试探究 BE 能否与 O 相切 若能 求出此时 DE 的长 若不能 请说明理由 考点 切线的性质 勾股定理 矩形的性质 圆周角定理 相似三角形的判定与性质 解直 角三角形 专题 动点型 分析 1 在 Rt ADE 中 已知了 DE AD 的长 可求出 DEA 的正切值 由于 DEA 和 28 EAB 是两条平行线的内错角 因此它们的正切值相等 由此得解 连接 OF 证 OF FG 即可 由于 O F 分别是 AE AB 的中点 因此 OF 是 ABE 的中位线 即 OF BE 由于 FG BE 可证得 OF FG 即可得出所证的结论 2 先假设 BE 能与 O 相切 则 AE BE 即 AEB 90 易证得 ADE ECB 可得 AD DE EC CB 设 DE 的长为 x 然后用 x 表示出 CE 的长 代入上面的比例关系中 可得 出一个关于 x 的一元二次方程 若 BE 能与 O 相切 那么方程的解即为 DE 的长 若方程无 解 则说明 BE 不可能与 O 相切 解答 解 1 过 E 作 EH AB 于点 H 则 EF AD 3 AF DE AB 故 tan EAB 法一 在矩形 ABCD 中 AD BC ADE BCE 又 CE DE ADE BCE 得 AE BE EAB EBA 连接 OF 则 OF OA OAF OFA OFA EBA OF EB FG BE FG OF FG 是 O 的切线 法二 提示 连 EF DF 证四边形 DFBE 是平行四边形 2 法一 假设 BE 能与 O 相切 AE 是 O 的直径 AE BE 则 DEA BEC 90 又 EBC BEC 90 DEA EBC Rt ADE Rt CEB 设 DE x 则 EC 5 x AD BC 3 得 整理得 x2 5x 9 0 b2 4ac 25 36 11 0 该方程无实数根 点 E 不存在 BE 不能与 O 相切 法二 若 BE 能与 O 相切 因 AE 是 O 的直径 则 AE BE AEB 90 设 DE x 则 EC 5 x 29 由勾股定理得 AE2 EB2 AB2 即 9 x2 5 x 2 9 25 整理得 x2 5x 9 0 b2 4ac 25 36 11 0 该方程无实数根 点 E 不存在 BE 不能与 O 相切 法三 本题可以通过判断以 AB 为直径的圆与 DC 是否有交点来求解 点评 本题主要考查了圆周角定理 矩形的性质 相似三角形的判定和性质 解直角三角形 的应用等知识 涉及的知识点较多 难度较大 14 2009 龙岩 如图 已知点 E 在 ABC 的边 AB 上 以 AE 为直径的 O与 BC 相切于点 D 且 AD 平分 BAC 求证 AC BC 考点 切线的性质 角平分线的性质 专题 证明题 分析 连接 OD 则 OA OD 1 3 OD BC 由 AD 平分 BAC 1 2 3 可知 AC OD 故 ACD 90 解答 证明 连接 OD 1 分 OA OD 1 3 3 分 AD 平分 BAC 1 2 2 3 6 分 OD AC 7 分 BC 是 O 的切线 OD BC 8 分 AC BC 10 分 30 点评 本题考查的是圆切线及角平分线的性质 比较简单 15 2009 临沂 如图 AC 是 O 的直径 PA PB 是 O 的切线 A B 为切点 AB 6 PA 5 求 1 O 的半径 2 sin BAC 的值 考点 切线的性质 勾股定理 锐角三角函数的定义 专题 综合题 分析 连 OB OP 由切线性质知 OBP 和 OAP 为直角三角形且全等 从而知道 PO 垂直 平分 AB 利用勾股定理 求出 PD 在 OAD 中求 OA 解答 解 1 连接 PO OB 设 PO 交 AB 于 D PA PB 是 O 的切线 PAO PBO 90 PA PB APO BPO AD BD 3 PO AB PD 在 Rt PAD 和 Rt POA 中 tan APD AO 即 O 的半径为 2 在 Rt AOD 中 DO 31 sin BAC 点评 本题考查了圆的切线性质及解直角三角形的知识 运用切线的性质来进行计算或论证 常通过作辅助线连接圆心和切点 利用垂直构造直角三角形解决有关问题 16 2009 来宾 如图 AB 为 O 的直径 CD 与 O 相切于点 C 且 OD BC 垂足为 F OD 交 O 于点 E 1 证明 BE CE 2 证明 D AEC 3 若 O 的半径为 5 BC 8 求 CDE 的面积 考点 切线的性质 勾股定理 垂径定理 相似三角形的判定与性质 专题 综合题 分析 1 根据 OD BC 运用垂径定理得到弧 BE 弧 CE 再根据等弧对等弦证明 2 结合切线的性质定理和等角的余角相等 把 D 转化为 OCB 再根据等边对等角和 圆周角定理的推论进行证明 3 根据垂径定理可以求得 DE 边上的高 CF 只需求得 DE 的长 要求 DE 的长 求得 OD 的长减去 OE 的长就可 根据勾股定理首先求得 OF 的长 再根据相似三角形的性质求得 OD 的长 解答 解 1 BC 是 O 的弦 半径 OE BC BE CE 2 连接 OC CD 与 O 相切于点 C OCD 90 OCB DCF 90 D DCF 90 32 OCB D OB OC OCB B B AEC D AEC 3 在 Rt OCF 中 OC 5 CF 4 OF 3 COF DOC OFC OCD Rt OCF Rt ODC 即 DE OD OE 5 S CDE DE CF 4 点评 此题综合运用了垂径定理 切线的性质定理 圆周角定理的推论 勾股定理以及相似 三角形的性质和判定 17 2009 济宁 如图 ABC 中 C 90 AC 4 BC 3 半径为 1 的圆的圆心 P 以 1 个 单位 s 的速度由点 A 沿 AC 方向在 AC 上移动 设移动时间为 t 单位 s 1 当 t 为何值时 P与 AB 相切 2 作 PD AC 交 AB 于点 D 如果 P 和线段 BC 交于点 E 证明 当时 四边 形 PDBE 为平行四边形 考点 切线的性质 平行四边形的判定 相似三角形的判定与性质 专题 综合题 分析 1 当 P 在移动中与 AB 相切时 设切点为 M 连接 PM 根据 APM ABC 可求 得 t 的值 2 由 BC AC PD AC 易得 BC DP 再分别求得 PD BE 的值 证明其相等 即可得 出四边形 PDBE 为平行四边形的结论 33 解答 解 1 当 P 在移动中与 AB 相切时 设切点为 M 连接 PM 则 AMP 90 APM ABC AP t AB 4 分 2 证明 BC AC PD AC BC DP 当时 AP PC 4 EC BE BC EC 3 ADP ABC 34 PD PD BE 当 t 时 四边形 PDBE 为平行四边形 9 分 点评 此题主要考查切线的性质 相似三角形的判定和性质以及平行四边形的判定 18 2009 济南 1 已知 如图 在平行四边形 ABCD 中 E F 是对角线 BD 上的两点 且 BF DE 求证 AE CF 2 已知 如图 AB 是 O 的直径 CA 与 O 相切于点 A 连接 CO 交 O 于点 D CO 的延长线交 O 于点 E 连接 BE BD ABD 30 求 EBO 和 C 的度数 考点 切线的性质 全等三角形的判定与性质 平行四边形的性质 圆周角定理 专题 计算题 证明题 分析 1 先证明 BCF DAE 再利用全等三角形的性质可得出 AE CF 2 先求出 EBO 再利用同弧所对的圆心角等于圆周角的 2 倍 可求出 AOC 从而求出 C 的度数 解答 证明 1 四边形 ABCD 是平行四边形 AD BC AD BC ADE FBC 1 分 在 ADE 和 CBF 中 AD BC ADE FBC DE BF ADE CBF 2 分 AE CF 3 分 2 解 DE 是 O 的直径 DBE 90 1 分 ABD 30 EBO DBE ABD 90 30 60 2 分 AC 是 O 的切线 CAO 90 3 分 又 AOC 2 ABD 60 C 180 AOC CAO 180 60 90 30 4 分 点评 利用了全等三角形的判定和性质 以及切线的性质 圆的直径所对的圆周角为直角 同弧所对的圆心角等于圆周角的 2 倍 19 2009 衡阳 如图 AB 是 O 的直径 弦 BC 2cm ABC 60 度 35 1 求 O 的直径 2 若 D 是 AB 延长线上一点 连接 CD 当 BD 长为多少时 CD 与 O 相切 3 若动点 E 以 2cm s 的速度从 A 点出发沿着 AB 方向运动 同时动点 F 以 1cm s 的速度 从 B 点出发沿 BC 方向运动 设运动时间为 t s 0 t 2 连接 EF 当 t 为何值时 BEF 为直角三角形 考点 切线的性质 含 30 度角的直角三角形 圆周角定理 相似三角形的判定与性质 专题 代数几何综合题 分析 1 根据已知条件知 BAC 30 已知 AB 的长 根据直角三角形中 30 锐角所对 的直角边等于斜边的一半可得 AB 的长 即 O 的直径 2 根据切线的性质知 OC CD 根据 OC 的长和 COD 的度数可将 OD 的长求出 进而 可将 BD 的长求出 3 应分两种情况进行讨论 当 EF BC 时 BEF 为直角三角形 根据 BEF BAC 可 将时间 t 求出 当 EF BA 时 BEF 为直角三角形 根据 BEF BCA 可将时间 t 求出 解答 解 1 AB 是 O 的直径 ACB 90 ABC 60 BAC 180 ACB ABC 30 AB 2BC 4cm 即 O 的直径为 4cm 2 如图 1 CD 切 O 于点 C 连接 OC 则 OC OB AB 2cm CD CO OCD 90 BAC 30 COD 2 BAC 60 D 180 COD OCD 30 OD 2OC 4cm BD OD OB 4 2 2 cm 当 BD 长为 2cm CD 与 O 相切 3 根据题意得 BE 4 2t cm BF tcm 如图 2 当 EF BC 时 BEF 为直角三角形 此时 BEF BAC BE BA BF BC 即 4 2t 4 t 2 解得 t 1 36 如图 3 当 EF BA 时 BEF 为直角三角形 此时 BEF BCA BE BC BF BA 即 4 2t 2 t 4 解得 t 1 6 当 t 1s 或 t 1 6s 时 BEF 为直角三角形 点评 本题考查圆周角定理 切线的性质 相似三角形的性质 直角三角形的性质等知识的 综合应用能力 在求时间 t 时应分情况进行讨论 防止漏解 20 2009 德州 如图 O 的直径 AB 4 C 为圆周上一点 AC 2 过点 C 作 O 的切线 l 过点 B 作 l 的垂线 BD 垂足为 D BD 与 O 交于点 E 1 求 AEC 的度数 2 求证 四边形 OBEC 是菱形 考点 切线的性质 等边三角形的判定与性质 平行四边形的判定与性质 菱形的判定 圆 周角定理 专题 计算题 证明题 分析 1 AEC 是弧 AC 所对的圆周角 而 AOC 是弧 AC 所对的圆心角 根据同弧所对 的圆周角是圆心角的一半 只要求出 AOC 的度数 则 AEC 的度数可求 2 根据菱形的判定定理 一组邻边相等的平行四边形是菱形 只要先证得四边形 OBEC 是平行四边形 而 OB OC 都是圆的半径 则四边形 OBEC 是菱形 解答 解 1 在 AOC 中 AC 2 AO OC 2 AOC 是等边三角形 2 分 AOC 60 AEC 30 4 分 证明 2 OC l BD l OC BD 5 分 ABD AOC 60 AB 为 O 的直径 AEB 为直角三角形 EAB 30 7 分 EAB AEC 四边形 OBEC 为平行四边形 8 分 又 OB OC 2 四边形 OBEC 是菱形 9 分 点评 本题主要考查了等边三角形的判定 圆周角与圆心角的关系 平行四边形的判定及菱 形的判定 21 2009 达州 如图 O 的弦 AD BC 过点 D 的切线交 BC 的延长线于点 E AC DE 37 交 BD 于点 H DO 及延长线分别交 AC BC 于点 G F 1 求证 DF 垂直平分 AC 2 求证 FC CE 3 若弦 AD 5cm AC 8cm 求 O 的半径 考点 切线的性质 线段垂直平分线的性质 勾股定理 专题 计算题 证明题 分析 1 由 DE 是 O 的切线 且 DF 过圆心 O 可得 DF DE 又由 AC DE 则 DF AC 进而可知 DF 垂直平分 AC 2 可先证 AGD CGF 四边形 ACED 是平行四边形 即可证明 FC CE 3 连接 AO 可先求得 AG 4cm 在 Rt AGD 中 由勾股定理得 GD 3cm 设圆的半径为 r 则 AO r OG r 3 在 Rt AOG 中 由勾股定理可求得 r 解答 证明 1 DE 是 O 的切线 且 DF 过圆心 O DF DE 又 AC DE DF AC DF 垂直平分 AC 2 分 2 由 1 知 AG GC 又 AD BC DAG FCG 又 AGD CGF AGD CGF ASA 4 分 AD FC AD BC 且 AC DE 四边形 ACED 是平行四边形 AD CE FC CE 5 分 3 连接 AO AG GC AC 8cm AG 4cm 在 Rt AGD 中 由勾股定理得 GD2 AD2 AG2 52 42 9cm GD 3 6 分 设圆的半径为 r 则 AO r OG r 3 38 在 Rt AOG 中 由勾股定理得 AO2 OG2 AG2 有 r2 r 3 2 42 解得 r 8 分 O 的半径为cm 点评 本题考查了圆的切线性质 及解直角三角形的知识 运用切线的性质来进行计算或论 证 常通过作辅助线连接圆心和切点 利用垂直构造直角三角形解决有关问题 22 2009 长沙 在 Rt ABC 中 ACB 90 D 是 AB 边上一点 以 BD 为直径的 O 与边 AC 相切于点 E 连接 DE 并延长 与 BC 的延长线交于点 F 1 求证 BD BF 2 若 BC 6 AD 4 求 O 的面积 考点 切线的性质 相似多边形的性质 专题 综合题 分析 1 作辅助线 连接 OE 根据切线的性质知 OE AC 已知 ACB 90 可知 OE BC 得 OED F 再根据 OD OE 可知 ODE OED 从而可得 ODE F BD BF 2 根据 AOE ABC 可将 O 的半径求出 代入圆的面积公式 S O r2 计算即可 解答 证明 1 如图 连接 OE AC 切 O 于 E OE AC 又 ACB 90 即 BC AC OE BC 39 OED F 又 OD OE ODE OED ODE F BD BF 2 设 O