《常微分方程》答案_习题42.doc

习题4.2 1. 解下列方程（1） 解：特征方程故通解为x=(2)解：特征方程有三重根故通解为x=（3）解：特征方程有三重根，2，-2故通解为（4） 解：特征方程有复数根-1+3i,-1-3i 故通解为(5) 解：特征方程有复数根故通解为(6) 解：特征方程有根a,-a当时，齐线性方程的通解为s=代入原方程解得故通解为s=-当a=0时,代入原方程解得故通解为s=-(7) 解：特征方程有根2,两重根1齐线性方程的通解为x=又因为0不是特征根，故可以取特解行如代入原方程解得A=-4，B=-1故通解为x=-4-t(8) 解：特征方程故齐线性方程的通解为x=取特解行如代入原方程解得A=1，B=0,C=1故通解为x=+(9)解：特征方程有复数根故齐线性方程的通解为取特解行如代入原方程解得A=故通解为(10) 解：特征方程有根-2,1故齐线性方程的通解为x=因为+-2i不是特征根取特解行如代入原方程解得A=故通解为x=（11）解：特征方程有复数根故齐线性方程的通解为 1是特征方程的根，故代入原方程解得A=故通解为+（12）解：特征方程有2重根-a当a=-1时，齐线性方程的通解为s=,1是特征方程的2重根，故代入原方程解得A=通解为s=,当a-1时，齐线性方程的通解为s=,1不是特征方程的根，故代入原方程解得A=故通解为s=+（13）解：特征方程有根-1,-5故齐线性方程的通解为x=2不是特征方程的根，故代入原方程解得A=故通解为x=+（14）解：特征方程有根-1+i,-1-i故齐线性方程的通解为不是特征方程的根, 取特解行如代入原方程解得A=故通解为+(15) 解：特征方程有根i,- i故齐线性方程的通解为,i,是方程的解 代入原方程解得A= B=0 故 代入原方程解得A= B=0 故故通解为习 题 6-11 求出齐次线性微分方程组 的通解，其中A（t）分别为：（1） ；（2） ；（3）。（1）方程组的分量形式为： ，从后一式容易求出的通解为 ，其中K为任意常数，可分别取和 ，代入前一式得到两个相应的特解，和 这样就求得方程组的一个解矩阵为 又 。因此，是方程组的一个基解矩阵，根据定理6.1 ,方程的通解为 （2）方程的分量形式为 由、可和 由观察法知，为此方程的两个特解，将其代入式可得两个相应的特解，将其代入式可得两个相应的特解：，。这样就求得方程组的一个解矩阵为 又 ，因此中方程组的一个基解矩阵。故方程组的通解为（3）程组的分量形式为：解 +得 解 -得 解之得 由、可得 又由得 由此可求得方程组的一个解矩阵 显然，因此是方程组的一个基解矩阵，故方程组的通解为3试证向量函数组 ， ， 在任意区间 上线性相关，则存在不全为零的三个常数 使得即 而式之左端是一个不高于二次的多项式，它最多只可能有二个零点，同此这与式在上恒等于零矛盾，从而得证。4试证基解矩阵完全决定齐次线性方程组即如果方程组 与有一个相同的基解矩阵，则 证：设这两个方程组的相同基解矩阵为 那么，必有 ,故可逆,设逆矩阵为,同而 证毕6设当时，非齐次线性方程组 （1）中的不恒为零。证明（1）有且至多有 n+1个线性无关解。证 设是方程组（1）的相应齐次方程组的n个线性无关的解，是（1）任意一个特解，则 是(1)的n+1个线性无关解.这是因为,若存在常数 使得则一定有 否则有 这与为(1)的解矛盾，因此， 假设可知故，所以（1）n+1个线性无关的解。又设 是（1）在(a,b)上的任一解，是（1）的n+1个线性无关的解， 那么， 是(1)的对应齐次方程组 （2）的解，而（2）最多有n个线性无关的解，所以必存在不全为零的常数 使得 即 显然，否则，存在不全为零的常数 使得 这与线性无关矛盾，故 这说明（1）的任一解，都可由这n+1个线性无关的解的线性表出，同时也说明（1）的任意n+2个解线性相关，故方程组（1）在（a，b）上至多有n+1个线性无关解。习题621 求出常系数齐次性微分方程组的通解，其中的矩阵A分别为1） 2） 3）4） 5）解：1） 特征方程 即 矩阵A有特征根， 对应于所有的特征向量满足即。取，则 那么对应的实值解为；对应的特征向量满足即，取，则，那么对应的实值解为 。于是该方程组的通解为2）特征方程为 即矩阵A有特征根 对应的特征向量应满足取，则 即么对应的特解为 由此得所对应的两个特解为（对2X2的方程组取一个特解的实部和虚部就可，因为虚根都是成对出现的。） 它们在上线性无关，故得方程组的通解：3） 即矩阵A有特征根 ，。对应于 ，特征向量应满足 又（只能进行行变换）因此与相应的特征向量可取为，对于二重特征根，可以算出因此，方程 有二个线性无关的解为 ，注意到，就可得到 从而可行基解矩阵 因此所求通解为 ，即 4）特征方程 即 矩阵A有特征根：，对应的特征向量应满足解之得 取 则故相应的解为 相应于 的特征向量应满足取 ，那么对应的复解为分别取实部，部可得方程组的两个实解,易知它们在上是线性无关的，于是方程组的通解为 5）特征方程为矩阵A的特征根为， 对应于，相应的特征向量应满足可以算出解之得， 则那么相应的解为 对应于三重特征根，可以算出因此，方程有三个线性无关解为， ， 注意到，可得由以上结果，可得方程组的一个基解矩阵因此所求方程组的通解为 或2求出常系数非齐次线性方程组，的通解，其中：3），； 4）， ；5）， 。3）解先求对应齐次方程组的通解特征方程 ，特征根为对于二重特征根，可以算出因此方程 有二个线性无关的解 由此可得齐次线性方程组的一个基解矩阵故非齐次方程组的通解为 容易求出故 于是非齐次方程组的通解为4）先求对应齐次方程组的通解特征方程为特征根为 ， ，对应于的特征向量为 对应于的特征向量为应满足 解之得 ，令，则其相应的复值解为：分别取实部和虚部，可得齐次方程组的两个线性无关的实解, 从而可得齐次方程组的一个基解矩阵 容易求得 这个矩阵的逆的算法：这里是只能通过行变换将矩阵先变成下三角，再变成对角阵即可。自己认真算，我都能算对，大家一定可以的，复习高等代数了。我仔细算了一下，要是将齐次方程的通解写出来，再用常数变易法求出特解方程组的阶数高的时候比求矩阵的逆还复杂，所以还是建议大家用求矩阵的逆的方法来算吧。故 则 所以非齐次线性方程组的通解为(5)先求对应齐次方程组的通解特征方程特征方程根为 。对于三重特重根 ，可以算出因此方程 有三个线性无关的解 ， 由此可得齐次线性方程的一个基解矩阵 从而容易求得 又 故 故非齐次线性方程组的通解为 由于特征向量取的不同，结果肯能也不一样。但是课本答案出现肯定是不正确的。3求出微分方程组 满足初值条件 的解，其中：（1）， ， ；（2）， ， ；（3）， ， 解 （1）齐次方程组的特征方程为 特征根 ： 对于二重特征根 ，可以算出 同此方程 有二个线性无关解， 由此可得齐次方程组的一个基解矩阵从而可求得 故 所以 故非齐次线性方程组的通解为由初始条件 解之得 ， 故初值问题的解为 （2）齐次方程组的特征方程为 特征根为 ， 对应 的特征向量应满足 取，则 故 从而可得齐次方程组的一个基解矩阵容易求得 而 又 故非齐次线性方程的通解为由初始条 有 解之得 故初值问题的解为 或 (3) 齐次方程组的特征方程为特征根 对应 的特征向量应满足 取 ,则 那么相应的解为 对应 的特征向量应满足, 取 ,则那么相应的解为 从而得齐次线性方程组的基解矩阵为 容易求得 由于 又 故非齐线性方程组通解为 由初值条件 ，得 解之得 因此值问题解为 或 4.证明:常系数齐次方程组 的任何解当 时都趋于零,当仅当它的系数矩阵A的所有特征根都具有负的实部.证 必要性:设特征根为 ,与之对应的方程组的解可表为 。1）当 即 为实数时，的每一分量或者为一常向量，或者为的多项式的向量函数。此时总有当 时, 或者是常向量。那么只有当 时, ,故必为负实数.2）当 时, 为复数, 则此时 其中 的向量多项式,当时,