南京航空航天大学《高等数学》第02章导数与微分习题课.pdf

基本公式基本公式 基本公式基本公式 导数导数 导数导数 x y x 0 lim 关系关系 dxydyy dx dy 高阶导数高阶导数 高阶导数高阶导数 求导法则求导法则 求导法则求导法则 四则运算四则运算 四则运算四则运算 复合函数 求导法则 复合函数 求导法则 复合函数 求导法则 复合函数 求导法则 隐函数 求导法则 隐函数 求导法则 隐函数 求导法则 隐函数 求导法则 参数方程 求导法 参数方程 求导法 参数方程 求导法 参数方程 求导法 对数法 对数法 幂指函数 求导法 幂指函数 求导法 反函数导数反函数导数 反函数导数反函数导数 微 分微 分 微 分微 分 xody y 0 000 0 00 0 0 0 lim lim limlim 0 0 0 xx xfxf h xfhxf x xfxxf x y xf xxh xx 1 概念1 概念 A xx xfxf xx A x xfxxf x 0 0 0 00 0 0 0 0 1 语言描述利用语言描述利用 2 利用导数求极限利用导数求极限 2 1 1 1 lim 1 4 lim 1 11 x xx arctgx x arctgarctgx x xarctg 如如 3 0 0 0 00 ts ttss xf yxxfy 的瞬时速度 处在时刻路程函数物理意义 的切线斜率 处在点曲线几何意义 的瞬时速度 处在时刻路程函数物理意义 的切线斜率 处在点曲线几何意义 2 理论2 理论 可导与可微的关系 系可导与左导 右导的关 可导与连续的关系 可导与可微的关系 系可导与左导 右导的关 可导与连续的关系 3 求导法则3 求导法则 4 高阶导数高阶导数 2 1 导数 熟练准确迅速地计算能灵活运用各种求导法 数运算规律熟记导数基本公式及导 物理意义搞清楚导数概念及几何 要求 导数 熟练准确迅速地计算能灵活运用各种求导法 数运算规律熟记导数基本公式及导 物理意义搞清楚导数概念及几何 要求 lim lim lim 3 lim 2 lim 1 0 0 0 00 0 0 xfAxf xfxfxf xxfxf xxfxf xx xxxx o xx o xx 若 为什么一定可导在点若 为什么 一定不可导 在点不若 若 为什么一定可导在点若 为什么 一定不可导 在点不若 1 不一定答不一定答 例例1 00 0 1 sin 2 x x x x xf例如例如 不但 不但 1 cos 1 sin2 lim lim 0 0 0 1 lim 00 2 0 xx xxf of x x simx xx x 0 23 lim 0 21 lim 1 lim1 lim lim 0 1 03 02 01 00 000 不 例如 不 例如 f x x x x xfxfxfxxf xx x xx xf xx xxx 2 不一定答不一定答 3 一定答一定答 lim lim 0 0 0 0 0 0 00 0 0 xxAf xx xfxf xf Lxxxx xx xx 中值定理上用在 中值定理上用在 Af xx xfxf xf Lxxxx xxxx lim lim 0 0 0 0 0 00 00 中值定理上用在中值定理上用在 lim 0 0 0 0 得证得证A xx xfxf xf xx 证明证明 0 2 2 xf dy xd xfy的反函数的二阶导数求的反函数的二阶导数求 32 2 2 1 1 1 xf xf dy dx xf xf dy dx xfdx d xfdy d dy dx dy d dy xd 1 xfdy dx dxxfxdfdy 例例4 1 xfdy dx 解解 0 0 0 ffxf证明为偶数 若证明为偶数 若例例5 证法证法1 0 0 0 0 lim 0 lim 0 0 lim 0 0 00 ff h fhf x fxf x fxf f xfxf h xx 已知已知 0 0 0 0 lim 0 0 lim 0 0 0 f f x fxf x fxf f x x 0 0 0 0 lim 0 lim 0 0 lim 0 0 0 0 f f y fyf y fyf x fxf f y y yx x 令令 证法证法2 例6例6 11 11 ln 4 1 1arctan 2 1 2 2 2 y x x xy 求 设 求 设 解解 1 2 xu 设 设 1 1 ln 4 1 arctan 2 1 u u uy则则 1 1 1 1 4 1 1 2 1 2 uuu yu 4 1 1 u 2 1 42 xx 1 2 xux 1 2 x x 1 2 1 23 xxx yx 0 2 01sin 323 t y dx dy yte ttx xfy 求确定 由方程组设 求确定 由方程组设 sin1 cos 0 cossin te te ty tytettye y y yy 2 26 sin1 cos 0 0 e tte te xy t y y t 26 ttx 26 sin1 cos tte te tx ty dx dy y y 解解 1 3 0 yx 例7例7 t 2 xfxxxxf 求设 求设例8例8 解解先去掉绝对值先去掉绝对值 2 2 20 2 0 2 2 2 2 xxx xxx xxx xf 0时当 时当 x 0 0 0 ff 0 0 f 20时当 时当 x 43 2 xxxf 02时或当时或当 xx 43 2 xxxf 2时当 时当 x 2 2 lim 2 2 x fxf f x 2 2 lim 2 2 x xx x 4 2 2 lim 2 2 x fxf f x 2 2 lim 2 2 x xx x 4 2 2 ff 2 处不可导在处不可导在 xxf 20 43 0 0 0 2 43 2 2 xxx x xxxx xf 或或 0 1 0 2 ba xxb xe xf ax 则 处处可导 若 则 处处可导 若例9例9 0 1 ab 答 答 0 1ga 2 0 1 1 0 0 0 cos xf xxfa gxg xa x x xxg xf 求 处连续 在点的值 使确定 有二阶连续的导数 且其中 已知 求 处连续 在点的值 使确定 有二阶连续的导数 且其中 已知 例例10 解解 0 cos sin 2 2 x x xxgxxgx xf 0 1 0 2 1 0 cos sin 2 2 xg x x xxgxxgx xf x xxgxxgxxxg x xxgxxgx xf x xx 2 sin cos sin lim cos sin lim lim 0 2 00 1 0 2 1 g 满足方程 证明 满足方程 证明 tey tex t t cos sin 2 2 2 2 y dx dy x dx yd yx 例例11 sincos sin2 1 sincos sincos tt t tt tt tx ty xy 证明 证明 3 2 sin cos 2 sin cos 1 sin cos cossin sin sin coscos 2 sincos sin2 1 tte ttett tttttt dx dt tt t dt d xy t t 0 x f h hxfhxf xxf h lim 1 00 0 0 求处可导在若求处可导在若 二 求下例函数的导数或微分二 求下例函数的导数或微分 dy x x y求求 cot sinln 1 2 0 100 2 1 f xxxxxf 求 设 求 设 一 利用导数概念求极限一 利用导数概念求极限 yxy 求 求 ln 3 dx dy xy x 求求 1 log 4 dy xx xxx y求求 52 5 3 1 2 1 3 2 1 5 dy dx dx dy yx x y arctg 求 求 22 ln 6 7 x xxxax aaxxay xxxx dy x x y求求 cot sinln 1 sin lntansinln tan sinlntan xxxxy xxy dxxxdxydy 1sinlnsec 2 1sinlnsec cottansinlnsec 2 2 xx xxxx 解解 2 0 100 2 1 f xxxxxf 求 设 求 设 解解 0 0 lim 0 0 x fxf f x 100 2 1 lim 0 xxx x 100 yxy 求 求ln 3 x y xx xx y 1 0 ln 0ln dx dy xy x 求求 1 log 4 ln 1ln ln 1ln xx x x y 解解 2 2 ln 1 1ln 1 ln ln 1ln 1 ln ln 1ln xxx xxxx x x x x x x x y 解解 dy xx xxx y求求 52 5 3 1 2 1 3 2 1 5 xx xxxy ln 5 1 1ln 2 1 3ln 5 2ln 3 1 1ln2ln 2 解解 取对数得取对数得 xx x xxx y y 1 5 1 1 2 2 1 3 1 5 2 1 3 1 1 1 1 2 两边求导得两边求导得 dy dx dx dy yx x y arctg 求 求 22 ln 6 ln 2 1 arctan 22 yx x y 原方程化为 原方程化为解解 yx yx dy dx yx yx dx dy yyxyxy yx yx x yxy x y 1 1 222 2 2 将方程两边对将方程两边对x求导得求导得 7 x xxxax aaxxay xxxx ln 1 ln 1 lnln 1 ln ln ln 1 lnln xxx xxaxx xxxaxx xxxxx x axaaxxxaa eexaay x xx xxx 解解 2 2 2 ln 3 1 1 n yxxy dx yd x fy 求 求 求 求 3 3 2 arctan 1ln 5 dx yd tty tx 求 求 1 14 4 2 2 n y x x y求设 求设 三 求高阶导数三 求高阶导数 2 21 1 2 dy xd yx x y 求 求 2 2 1 1 dx yd x fy求 求 1 21 1 1 1 34 2 x f xxx fy xx fy 解解 x y yx yyxx yyxxei y x x y ei yx x y ln1 ln1 ln1 ln1 lnln ln 1 ln 1 lnln 1 1 2 21 1 2 dy xd yx x y 求 求 解解 2 2 11 ln1 ln1 ln1 ln1 1 ln1 ln1 ln1 ln1 ln1 xx y yxy x yyxx x y dy d yx xy 2 3 2 3 1 2 ln2 3ln2 1ln2 ln2 nnnn xnxy xy xxxxxy 2 ln 3 n yxxy求 求 解解 1 14 4 2 2 n y x x y求设 求设 解解 1 344 1 14 2 2 2 2 x x x x y 1 1 1 1 2 3 4 xx 1 1 1 1 1 n n n x n x 1 1 1 1 1 n n n x n x 1 1 1 1 1 2 3 11 nn nn xx ny 3 3 2 arctan 1ln 5 dx yd tty tx 求 求 3 42 2 2 8 1 2 1 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 2 1 2 11 2 1 2 2 t t t t tdx dt t tdt d xy t tt t dx dtt dt d xy t tx ty xy dt dx 解解 处处连续且可导的值使和试确定常数 四 已知 处处连续且可导的值使和试确定常数 四 已知 1 1 2 xfba xbax xx xf 12 1 1 1 1 lim 1 1 lim 1 1 lim 1 2 1 1 lim 1 1 lim 1 1 lim 1lim 01 1 0101 2 0101 01 2 01 baff fa x aax x bax x fxf f x x x fxf bababaxx x xx xx xx 故 令 故 令 由 由 解法解法1 1 2 1 lim 1 lim 2 lim 2 lim 1 12 0101 0101 baba baxfxf a axfxf xa xx xf xx xx 解法解法2 为可去间断点故 处连续在 为可去间断点故 处连续在 0 0 0 lim 0 0 0 0 0 0 lim 0 0 0 x f x fxf fff xxf fxf fxfxf x x 处是何种间断点 在问 存在且是奇函数五 设 处是何种间断点 在问 存在且是奇函数五 设 0 0 x x xf xF