二项式定理__习题精选.pdf

1 二项式定理二项式定理习题精选习题精选 一 与通项有关的一些问题一 与通项有关的一些问题 例例 1 1 在的展开式中 指出 1 第 4 项的二项式系数 2 第 4 项的系数 3 求常数项 解解 展开式的通项为展开式中的第 r 1 项 1 二项式系数为 2 由 1 知项的系数为 3 令 6 3r 0 r 2 常数项为 例例 2 2 若的展开式中 前三项的系数成等差数列 求展开式中的有 理项 分析分析 通项为 前三项的系数为 且成等差 即解得 n 8 从而 要使 Tr 1为有理项 则 r 能被 4 整除 2 例例 3 3 1 求的常数项 2 求 x 2 3x 2 5的展开式中 x 的系数 解解 1 通项 令 6 2r 0 r 3 常数项为 2 x 2 3x 2 5 x 1 5 x 2 5 展开式中含 x 项由 x 1 5中常数项乘 x 2 5的一次项与 x 1 5的一次项乘 x 2 5的常数项相加得到 即为 因而其系数为 240 例例 4 4 a b c 10的展开式中 含 a5b3c2的系数为 分析分析 根据多项式相乘的特点 从 a b c 10的十个因式中选出 5 个因式中的 a 三个因式中的 b 两个因式中的 c 得到 从而 a 5b3c2的系数为 小结小结 三项式的展开 或者转化为二项式展开 或者采用得到二项式定理的方 法去解决 例例 5 5 1 x 3 1 x 4 1 x 5 1 x 100的展开式中 x3的系数为 分析分析 法一 展开式中 x 3项是由各二项展开式中含 x3项合并而形成 因而系数 为 法二 不妨先化简多项式 由等比数列求和公式 原式 要求 x 3项只要求分子的 x4项 因而它的系数为 3 二 有关二项式系数二 有关二项式系数的问题的问题 例例 6 6 2x x lgx 8的展开式中 二项式系数最大的项为 1120 则 x 分析分析 二项式系数最大的为第 5 项 解得 x 1 或 例例 7 7 的展开式中系数最大的项为第 项 分析分析 展开式中项的系数不同于二项式系数 只能用数列的分析方法 设第 r 1 项的系数最大 则解得 r 7 且此时上式两个等号都不能取得 因而第 8 项系数最大 三 赋值法三 赋值法 例例 8 8 已知 1 求 a0 2 求 a1 a2 a3 a4 a5 3 求 a0 a2 a4 2 a 1 a3 a5 2 4 求 a1 a3 a5 5 a0 a1 a5 分析分析 1 可以把 1 2x 5用二项式定理展开求解 从另一个角度看 a0为 x 0 时右式的结果 因而令 x 0 1 0 5 a 0 a0 1 4 2 令 x 1 则 1 2 5 a 0 a1 a2 a3 a4 a5 又 a0 1 a1 a2 a3 a4 a5 2 3 令 x 1 得 a0 a1 a2 a5 1 令 x 1 得 3 5 a 0 a1 a2 a3 a4 a5 因而 a0 a2 a4 2 a 1 a3 a5 2 4 联立 两方程 解得 a1 a3 a5 122 5 因而 a0 a1 a5 即为 1 2x 5的展开式的所有系数和 a0 a1 a5 1 2 5 35 243 小结小结 求展开式的系数和只需令 x 1 可解 赋值法也需合情合理的转化 例例 9 9 已知 其中 b0 b1 b2 bn 62 则 n 分析分析 令 x 1 则 由已知 2 n 1 2 62 2 n 1 64 n 5 例例 1010 求的展开式中有理项系数的和 分析分析 研究其通项 显然当 r 2k k Z 时为有理项 因而它的有理项系数和即为 2 t n的奇数项的 系数和 设 2 t n a 0 a1t a2t 2 a nt n 5 令 t 1 即 3 n a 0 a1 a2 an 令 t 1 即 1 a0 a1 a2 1 na n 上两式相加 解得奇数项系数和 四 逆用公式四 逆用公式 例例 1111 求值 S x 1 4 4 x 1 3 6 x 1 2 4 x 1 1 解解 例例 1212 求值 分析分析 注意将此式还原成二项展开式的结构 原式 五 应用问题五 应用问题 例例 1313 求证 3 2n 2 8n 9 能被 64 整除 证明证明 能被 64 整除 例例 1414 91 92除以 100 的余数为 分析分析 91 92 90 1 92 被 91 92100 除的余数为 81 小结小结 若将 91 92整理成 100 9 92 6 随之而来又引出一新问题 即 9 92被 100 除的余数是多少 所以运算量较大 例例 1515 求 0 998 3的近似值 精确到 0 001 解解 典型例题典型例题 例例 1 1 已知二项式展开式中 末三项的系数依次成等差数 列 求此展开式中所有的有理项 解 二项展开式的通项公式为 由此得二项展开式中末三项的系数分别为 依题意得 注意到这里 故得 n 8 设第 r 1 项为有理项 则有 x 的幂指数为整数 r 0 4 8 这里 T1 T5 T9为有理项 又由通项公式得 所求二项展开式中的有理项分别为 点评 点评 二项展开式中关于某些项或某些项的系数问题 一般都要运用通项公式 若 为相对常数 x 为变量 则当 g n r 为自然数时为整式 项 当 g n r 为整数时为有理项 7 例例 2 2 已知的展开式中奇数项的二项式系数之和等于 512 试求 1 二项式系数最大的项 2 系数的绝对值最大的项 3 系数最大的项 解 由题意得 n 10 二项展开式的通项公式为 1 n 10 二项展开式共 11 项 二项展开式的中间一项即第六项的二项式系数最大 又 所求二项式系数最大的项为 2 设第 r 1 项系数的绝对值最大 则有 解之得 注意到 8 故得 r 3 第 4 项系数的绝对值最大 所求系数绝对值最大的项为 3 由通项公式的特征可知 系数最大的项应在项数为奇数的项内 即在 r 取偶数的各项内 又 r 取偶数 0 2 4 6 8 10 时 相应的各项系数分别为 即分别为 1 由此可知 系数最大的项为第 5 项 r 4 即 点评 点评 1 解决二项式问题要注意区分两种系数 一种是某一项的系数 按通常的多项式系 数去理解 认定 一种是某项的二项式系数 仅指这一项中所含的那个组合数 二者在特 殊情况下方为同一数值 2 这里展开式中系数绝对值最大的项 实际上是展开 式中系数最大的项 必要时可适时转化 3 本题解法 一题两制 对于 2 我们运用一般方法进行推导 对于 3 我们运用认知 列举 比较的方法导出目标 当指数 n 数值较小时 3 的解法颇为实用 例例 3 3 已知 a 0 b 0 2m n 0 且在的展开式中系数最大 的项是常数项 求的取值范围 解 设二项展开式中为常数项 依题意令 则将已知式代入 得 9 注意到这里 由 得 r 4 展开式中系数最大的项是 于是有 因此可知 所求的取值范围为 例例 4 4 求证 1 能被整除 2 证明 1 为利用二项式定理 对中的底数 n 变形为两数之和 或差 且 于是有 注意到 且 故 因此由 式知能被整除 2 证法一 倒序相加法 设 注意到二项式系数的性质 将 式右边各项倒序排列 得 10 即 证法二 分项求和法 注意到左边各项的相同结构 且各项的通项 据此变形左边各项得 右边 右边 原等式成立 点评 点评 证明组合恒等式 除去利用二项公式这一组合的母函数外 上述两种方法 特 别是证法二 是基本证明方法 例例 5 5 设设 求 求 展开式中各二项式系数的和 展开式中各二项式系数的和 展开式中各项系数的和 展开式中各项系数的和 的值的值 的值的值 的值的值 解 令 注意到这里 n 200 故展开式中各二项式系数的和 展开式中各项系数的和 注意到 11 仿 得 又 解法一 直面原式 又 再由二项式的展开式知 点评 对于二项展开式中各奇数项系数的和或各偶数项系数的和或其它有关多项式中对于二项展开式中各奇数项系数的和或各偶数项系数的和或其它有关多项式中 系数的和 一般可根据问题的具体情况 对未知数系数的和 一般可根据问题的具体情况 对未知数 x x 赋予适当的数值 运用特取法求出和赋予适当的数值 运用特取法求出和 式的值 式的值 例例 6 6 化简下列各式 1 2 分析 注意到二项展开式中各项的特征 其中 b 的方幂与组合数上标相同 为利用二项式公式求解 依次对原式实施凑因子和凑项 即使各项中有关因子的方幂等于 组合数上标 又使以原式为基础凑出的式子符合二项展开式的特征 解 1 令 x 则 12 即 故得 2 令 x 则 由 得 故得 即 点评 点评 对于组合数系数成等比数列的组合式求和 一般是在适当作以凑因子或凑项的 构造之后 运用二项式公式本身化简或求值 例例 7 7 试求下列二项展开式中指定项的系数 1 的展开式中项的系数 2 的展开式中项的系数 3 的展开式中项的系数 4 的展开式中 x 项的系数 5 的展开式中项的系数 解 1 借助 配方转化 原式 原展开式中项的系数 即展开式中项的系数 13 又展开式的通项公式为 令得 r 3 展开式中 所求原展开式中项的系数为 960 2 注意到的幂指数 3 较小 借助 局部展开 原式 展开式中的系数为 590 3 解法一 求和转化 原式 所求原展开式中项的系数即为展开式中项的系数 所求展开式中项的系数为 解法二 集零为整 考察左式各部 展开式中项的系数为 4 解法一 两次利用二项式定理 设展开式中第 r 1 项为含有 x 的项 又 14 要使 x 的幂指数为 1 必须且只需 r 1 即 而展开式中的常数项为 故得 原展开式中 x 的系数为 解法二 利用求解组合应用题的思路 注意到 欲求展开式中 x 的一次项 只要从上式右边 5 个因式中有 1 个因式 取 3x 其余四个因式都取常数 2 即可 原展开式中 x 的一次项为 所求原展开式中 x 的系数为 240 5 解法一 两次利用二项展开式的通项公式 注意到 其展开式的通项 又的 展 开 式 的 通 项 依题意 由此解得 由 得所求展开式中项的系数为 解法二 利用因式分解转化 所求即为展开式中的系数 于是利用 局部展开 可得其展开式中的系数为 15 168 小结 小结 多项展开式中某一项系数的主要求法 1 等价转化 配方转化 求和转化 分解转化 化整为零 2 局部展开 3 两次利用二项式定理或两次利用二项展开式的通项公式 4 借助求解组合应用题的思想 例例 8 8 已知数列的通项是二项式与的展开式中所有 x 的 次数相同的各项的系数之和 求数列的通项公式及前 n 项和公式 解 将与的展开式按升幂形式写出 由 可知 只有的展开式中出现的偶数次幂时 才能与的展 开式中 x 的次数相同 由 得 所求数列的通项公式为 其前 n 项和公式为 五 高考真题五 高考真题 一 选择题 一 选择题 16 1 20052005 全国卷全国卷 IIIIII 在的展开式中 的系数是 A 14B 14C 28D 28 分析 对于多项展开式中某一项的总数的寻求 化整为零 为基本方法之一 又的展开式中的系数 为 的系数为 原展开式中的系数为 应选 B 2 2 20052005 江苏卷 江苏卷 设 k 1 2 3 4 5 则的展开式中的系数不可能是 A 10B 40C 50D 80 分析 立足于二项展开式的通项公式 当 k 1 时 r 4 的系数为 当 k 2 时 r 3 的系数为 当 k 3 时 r 2 的系数为 当 k 4 时 r 1 的系数为 综上可知应选 C 点评 关于二项展开式中某一项的问题 一般要利用二项展开式的通项公式 3 3 20052005 浙江卷 浙江卷 在的展开式中 的项的 系数为 A 74B 121C 74D 121 分析 考虑求和转化 原式 又的展开式中系数为 的展开式中系数为 原展开式中项的系数为 应选 D 4 4 20052005 重庆 重庆 若展开式中含项的系数与含项的系数之比为 5 17 则 n 等于 A 4B 6C 8D 10 分析 设第 r 1 项是含的项 又 这一项的系数为 且 再设第 s 1 项是含的项 则 这一项的系数为 且 由 得 故 又由 得 化简得 于是由 解得 n 6 r 4 故选 B 5 5 20052005 山东卷山东卷 如果的展开式中各项系数之和为 128 则展开式中 的系数是 A 7B 7C 21D 21 分析 设 则 由已知得 解得 n 7 18 令得 r 6 故所求系数为 应选 C 6 6 20042004 福建卷福建卷 若的展开式的第 3 项为 288 则的 值是 A 2B 1C D 分析 由题设 应选 A 二 填空题 二 填空题 1 1 20052005 福建卷 福建卷 展开式中的常数项是 用数字作答 分析 当得 r 2 即所求常数项为 240 2 2 20042004