线性代数习题解.pdf

线线性性代代数数 Wind 2 2 22 ABA B 线性代数习题解1习题一 3 2 22 2 ABAABB 4 22 ABABAB 1 0101 100 ABBA 2 2 22 1010 0101 ABA B 3 2 22 0002 2 0020 ABAABB 4 22 2220 2202 ABABAB 1 4 讨论下列命题是否正确 1 若 2 0 A 则0 A 2 若 2 AA 则0 A或 AE 3 若 ABAC且0 A 则 BC 1 不对 反例 0100 0000 A 但 2 00 00 A 2 不对 反例 设 10 00 A 则0 A且 AE 但 2 AA 3 不对 反例 设 10 00 A 00 02 B 00 03 C 则有 ABAC且0 A 但 BC 1 5 1 5 计算 1 11 01 n 2 10 01 00 n 3 1 2 3 4 n 1 2 3 11111112 01010101 11111213 01010101 1111111 01010101 n nn 2 线性代数习题解2习题一 2 2 2 2 3 232 232 23 4 10101021 01010102 00000000 10102133 01010203 00000000 10 01 00 3243 3242 34 12312 121 1 103346 010304 000000 121 1 1010 22 01010101 00000000 nnnnnn n nnnn n nnn n nn nn n 3 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1111 2222 3333 4444 1111 2222 3333 4444 n nn nn nn nn 1 6 1 6 设方阵A满足矩阵方程 2 20 AAE 证明A及2 AE都可逆 并求 1 A及 1 2 AE 由 2 20 AAE得 1 2 AE AE 故A可逆 且 1 1 2 AAE 由 2 20 AAE也可得 2 3 4 AEAEE或 1 2 3 4 AEAEE 故2 AE可逆 且 1 2 AE 1 3 4 AE 1 7 1 7 利用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵 1 122 212 221 2 102 213 418 3 122 236 117 4 124 115 273 5 2000 0140 0010 0009 6 3501 1200 1020 1202 线性代数习题解3习题一 1 3 3232 2123 2 13 12 1 2 9 1 2 2 32 122 12100 1020 999 122100122100 33 212 212010036210 21010 0120 999 33221001033011 221 009221001 999 r rrrr rrrr r rr rr 1 122 999 122 212 212 999 221 221 999 2 2321 31 2 12 2312 2 2 1 4 32 2 102100102100102100 213010011210001611 418001010401010401 10011221001122 001611010401 010401001611 rrrr rr r rr rrrr r 1 1021122 213401 418611 3 3212 2132 233 13 2 23 2 6 122100122100106320 236010012210012210 117001035101001531 1002716610027166 010852010852 001531001531 rrrr rrrr rrr rr 1 12227166 236852 117531 4 13 3 2112 313223 3 1 2 2 23 10016113 124100124100106120 751 115010011110011110010 222 273001035201002531 531 001 222 rr r rrrr rrrrrr 1 16113 124 751 115 222 273 531 222 线性代数习题解4习题一 5 1 23 3 4 1 4 2 1 9 1 1000000 2000100020001000 2 010001400140010001000140 001000100010001000100010 10009000100090001 0001000 9 r rr r r 1 1 000 2000 2 01400140 00100010 10009 000 9 6 1334 42 21 3 350110001020001010200010 120001001200010002200110 102000103501100001051003 120200011202000100020101 rrrr rr rr 3221 2 1020001010200010 0105100301051003 02200110002102116 0002010100020101 rrrr 342 243 13 4 5 51 22 1 2 10002401 10002401 51 010010 51 22 010010 2211 001012 00202411 22 0002010111 000100 22 rrr rrr rr r 1 2401 51 3501 10 22 1200 11 102012 22 1202 11 00 22 1 8 1 9 1 10 1 10 设 423 110 2 123 AABAB 求B 1 222 ABABAE BABAEA 12 32 3223 12 3 2 4 223100043120110010 2 110010110010011011 121001011011043120 110010100143 011011010153 001164001164 rr rr rrrr rr r AE E 线性代数习题解5习题一 求得 1 143 2153 164 AE 于是 1 143423386 2153110296 1641232129 BAEA 1 11 1 11 设 1 2 0 0 1 证明 1 2 0 0 k k k 2 设 1 AP P 证明 1kk AP P 1 2 112 1 2 22 2 23 132 11 23 2 22 1 11 11 1 2 22 000 000 000 000 000 000 kk kk kk 2 1 21111121 322112112131 1111111111kkkkkk AP P AP PP PP P P PP E PP P AA AP PP PP P P PP E PP P AAAP PP PP P P PP E PP P 1 12 1 12 计算下列行列式 1 1020 1436 0253 3110 2 xyxy yxyx xyxy 3 11 11 11 a a a 4 1111 1111 1111 1111 5 2132 3332 3112 3131 6 abacae bdcdde bfcfef 1 2332 23342142 4134 44 2 11 3 33 10201020102010201020 14360456060901030103 333 1 1 5 3 45 02530253010301500053 31100150015002030003 rrrr rrrrrrrr rrrr rr 2 123 21 31 2233 222111 2 111 2021212 0 rrr ryr rxy r xyxyxyxyxy yxyxyxyxxyyxyx xyxyxyxyxyxy xxy xyxxyxyxyxxyyxy yx yx 3 12321 31 2 11222111 11112 01021 1111001 rrrrr rr aaaa aaaaaa aaa 线性代数习题解6习题一 4 21 31 41 3 11111111 11110200 28 11110020 11110002 rr rr rr 5 1234 1 111 243 2 3 4 35 21322132132 12 33321200 0200 31121040 0040 31311003 1003 35 24370 12 i cccc rr i 6 123 21 31 111111 111111 111111 111 0201224 002 rrr rr rr abacaebce bdcddeadfbceadf bceabcdef bfcfefbce abcdefabcdefabcdef 1 13 1 13 证明下列等式 1 2 2 21 1 21 aa abab bb a b 3 2 11111 22222 33333 ab xa xbc ab xa xbc ab xa xbc 1 x2 111 222 333 abc abc abc 3 xaa axa aax x n 1 a x a n 1 1 123123 2222 22 3 222 21200 00 11 0 212121 rrrrrr aaababab ababababab babab bbbbbb 2 1111111111111 2222222222222 3333333333333 111111111111 222222222222 3333333333 ab xa xbcab xa xcab xbc ab xa xbcab xa xcab xbc ab xa xbcab xa xcab xbc aa xcb xa xcabcb xbc aa xcb xa xcabcb xbc aa xcb xa xcabcb 33 111111111111 2 222222222222 333333333333 111111111 22 222222222 33333333 001 xbc aacbacabcbbc x aacx bacabcx bbc aacbacabcbbc abcabcabc x abcabcxabc abcabcab 3 c 线性代数习题解7习题一 证法二证法二 1221 1212 11111111111111 2 22222222222222 33333333333333 111111 22 222222 333333 1 1 1 1 cccc cccc ab xa xbcaba xbcabac ab xa xbcx aba xbcxabac ab xa xbcaba xbcabac bacabc xbacxabc bacabc 3 12 1 1 2 111111 1 111 00 11 00 n i rrr rar n in xaaxnaxnaxna axaaxaaxa xna aaxaaxaax xa xnaxnaxa xa 1 14 1 14 用克拉默法则解下列方程组 1 1234 1234 1234 1234 5 242 2352 32110 xxxx xxxx xxxx xxxx 2 12 123 234 345 45 56 1 56 0 56 0 56 0 51 xx xxx xxx xxx xx 1 计算得 1111 1214 1420 2315 31211 D 1234 5111151111511115 2214121412241212 142 284 426 142 2315221523252312 0121130211310113120 DDDD 因为系数行列式0D 所以方程组有唯一解 3124 1234 1 2 3 1 DDDD xxxx DDDD 2 计算得 12 560001600051000 156000560010600 6650 1507 1145 015600156000560 001560015600156 000151001501015 DDD 345 561005601056001 150001560015600 703 395 212010600150001560 000560010600150 001150001500011 DDD 因为系数行列式0D 所以方程组有唯一解 35124 12345 15071145703395212 665665665665665 DDDDD xxxxx DDDDD 1 15 1 15 求下列方阵的逆阵 线性代数习题解8习题一 1 12 25 2 cossin sincos 3 121 342 541 4 1000 1200 2130 1214 1 套用公式 1 0 abdb adbc cdcaadbc 得 1252521 2521211 52 2 2 套用上述公式 得 22 cossincossincossin1 sincossincossincoscossin 3 2112 3132 3 57 121100121100100210 342010021310021310 54100101465010011671 rrrr rrrr 2 23 3 1 2 100210 100210 131 02013610103 22 0011671 0011671 r rr r 得 1210 121 131 3423 22 541 1671 4 42 21 31 2 1000100010001000 1200010002001100 2130001001302010 1214000100140101 rr rr rr 32 43 1 2 1 3 10001000 10001000 11 02001100010000 22 31 111003010 00100 22 263 151 151100041 0001 263 824124 rr rr 得 1 1000 11 100024000 00 22 12001212001 111 213012480240 263 12143526 1511 824124 1 16 1 16 解下列矩阵方程 1 2546 1321 X 2 211 113 210 432 111 X 3 142031 121101 X 1 1 25463546223 1321122108 X 2 1 11 0 33211 221 113113 22 2101 8233 5432432 33 111 111 X 线性代数习题解9习题一 3 11 11 14312024311011 1 012011111011262 4 X 1 17 1 17 设A是n阶矩阵 A为其伴随矩阵 证明 1 若 0A 则 0A 2 1 AA n 1 设 11121 21222 12 n n nnnn aaa aaa aaa A 则 11211 12222 12 A n n nnnn AAA AAA AAA 如果A的第一行元素全为零 则 02 1 ij Ain jn 于是 0A 假设A的第一行元素不全为零 例如 11 0a 作如下行初等变换 得 11 112 21 11211 12222 12222 11 1212 00 1 n n n a ra ra r nn nnnnnnnn AAAA AAAAAA a AAAAAA A 现0A 因此 0 A 2 一般地 nn A AA EAEA 但 A AAA 于是 n AAA 从而 若0A 立刻得到 1 n AA 而若 0A 由 1 知 1 n AA仍成立 1 18 1 18 设 10100 02100 31000 00020 00002 A 10000 02000 00300 00013 00042 B 利用分块矩阵的乘法 计算AB 1111 22 1010010000 0210002000 3100000300 22 0002000013 0000200042 1030010300 0430004300 3200032000 0002600026 0008400 BOA BOAO AB OBOBOE 084 1 19 1 19 若 ABBA ACCA 证明 A BCBC A A BCABACBACABC A 1 20 1 20 设 A B为n阶方阵 证明 ABBA ABA BB ABA 线性代数习题解10习题一 1 21 1 21 设3阶方阵A的伴随矩阵为 A且 1 2 A 求 1 32AA 1 11 1 111 33 111111 32323232 1222116 3232 1 233327 2 A E AAAAEA AEA E A AAAAA 或 332 21 1244116 3222 3333227 AAAAAA A 1 22 1 22 设A为n阶方阵 0 k k A 求证 EA可逆 并写出逆矩阵的表达式 21 2123 0 k kk k EAEAAA EAAAAAAA EAEE EA可逆 且 1 21k EAEAAA 1 23 1 23 设分块阵 OA X BO 其中 A B可逆 求 1 X 1 1 1 OA X BO 验算 0 0 A B 1 1 0 0 B A 1 1 EOAAO E OEOBB OK 1 24 1 24 设 1 2 3 1 0000 0000 0000 0 1 2 0000 0000 i n n a a a ain a a A 求 1 A 1 2 3 1 000010000 000001000 000000100 000000010 000000001 n n a a a a a AE 1 2 3 1 000000001 000010000 000001000 000000100 000000010 n n a a a a a 1 2 3 1 1 100000000 1 010000000 1 001000000 1 000100000 1 000010000 n n a a a a a 1 1 2 3 1 1 0000 1 0000 1 0000 1 0000 1 0000 n n a a a a a A 1 25 1 25 设 A B均为n阶方阵且2 3 AB 求 1 2 A B 21 11 11 1 12 2222 2 33 n n nnnn ABAB A B 注 1 nn AAA EA AAEAA 线性代数习题解11习题一 1 26 1 26 设A为n阶非奇异 可逆 矩阵 其伴随阵为 A 求 A 1 12 11 nn AAA AAAAAA AA 或 1 111 11 n A AAAA AAAAAA 1 27 1 27 1 28 1 28 线性代数习题解12习题一 习习题题二二 2 1 2 1 讨论下列向量组的线性相关性 1 123 2 1 0 1 1 3 1 0 3 2 12 1 3 4 2 0 1 3 1234 1 2 1 2 3 1 0 1 2 1 3 2 1 0 3 1 4 1234 2 1 0 1 3 2 0 3 4 1 5 6 1 1212 3131 2 123 33 211011110 110110011 033000000 rrrr TTT rrrr 可见 123 23Rm 故向量组线性相关 2 2 13 12 32 1 3 12 4 12020010 30101001 41010100 r rr TT rr rr 可见 12 22Rm 故向量组线性无关 3 13 42 23 32 42 1234 2 3 2 132103521033 211001560156 103310330352 212102310231 10331033 01560101 0020200 001313 rr TTTT rr rr rr rr 011 0000 可见 1234 34Rm 故向量组线性相关 4 2221 32 23 12 271 7162 1234 6 2 7 1 200 21012101 2 2101 711611122772 0246 024651620 00100 477 rrrr TTTT rr rr rr 可见 1234 34Rm 所以给出的向量组线性相关 P45 推论推论 2 任意 m mn 个n维向量线性相关 2 2 2 2 求下列矩阵的秩 1 1210 3212 1133 2 2130 1211 2113 2140 3 2103 1212 3115 线性代数习题解13习题二 1 32 21 3132 22 12 21 3 54 1 3 2 2 10011001 12101210 111 3212042201010 225 11330343 533 00001 225 rr rr rrrr rr rr 可见秩3R 2 21 32 31 41 43 1 5 2 2 4 7 2130 2130 21302130 0210 51 1211021001 7 22 002 21130511 2 0023 2921400023 0210000 7 rr rr rr rr rr 可见秩4R 或 31 1113 41 12 57 24 2 713 21300512002000 24 12111211 12111211 21130023 00230023 21400210 02100210 1211 0210 0023 13 000 4 rr rrrr rr rr 4R 3 322 32 21 32 1 2 2103 21032103 51 1212010521 2 22 31150000 0521 rrr rr rr R 2 3 2 3 求解下列齐次线性方程组 1 1234 1234 1234 220 20 20 xxxx xxxx xxxx 2 123 123 123 20 330 230 xxx xxx xxx 3 1234 1234 1234 2340 369120 24680 xxxx xxxx xxxx 1 对方程组的系数矩阵作行初等变换 3221 31 3 12 1 2 32 121212121010 112103330111 211103330000 rrrr rr r rr 得简化行阶梯形 Reduced row echelon form RREF 对应的同解方程组为 13 234 0 0 xx xxx 方程组的解为 1 12 1212 1 2 10 11 10 01 k kk kkk k k k x 2 对方程组的系数矩阵作行初等变换 线性代数习题解14习题二 3221 2 3 31 13 2 32 1 2 2 211 211211211 91 3310091091 22 12303722 3700 0 3 22 rrrr r r rr 3Rn 方程组有唯一零解 0 0 0 0 x 3 对方程组的系数矩阵作行初等变换 21 31 3 2 12341234 369120000 24682000 rr rr A 得 123 1 123123 2 3 234234 100 010 001 kkk k kkkk k k k k x 2 4 2 4 求一个齐次线性方程组使他的基础解系为 12 1 1 2 0 0 2 2 3 TT 由题意 齐次线性方程组的通解为 1 2 1212 3 4 10 12 22 03 x x kkk k x x 或 11 212 312 42 2 22 3 xk xkk xkk xk 从中消去 12 k k 得 124 134 2 0 3 2 20 3 xxx xxx 即为所求 解法二 设所求的齐次线性方程组为 1223344 23344 0 0 xa xa xa x xb xb x 将 12 1 1 2 0 0 2 2 3 TT 分别代入方程组 得 23 234 120 1 2230 aa aaa 3 34 120 2 2230 b bb 解方程组 1 得其中一个解 234 1 1 0aaa 解方程组 2 得其中一个解 34 1 2 1 3bb 从而得一个满足要求的方 程组 123 234 0 11 0 23 xxx xxx 2 5 2 5 求下列非齐次线性方程组的通解 1 1234 1234 1234 221 222 3 xxxx xxxx xxxx 2 123 123 123 231 231 322 xxx xxx xxx 3 1234 1234 1234 232 22331 4222 xxxx xxxx xxxx 1 对方程组的增广矩阵作行初等变换 将之化为简化行阶梯形 2 2331 133212 1 3 2 4 1010 212110303511113 3 1212203035030355 0101 3111131111300000 00000 r rrrr rrrrrr 线性代数习题解15习题二 立刻得到方程组的解 1212 4 10 3 015 310 0 01 0 kkk k x 2 对方程组的增广矩阵作行初等变换 将之化为简化行阶梯形 2 3 2112 313223 13 1 22 18 355 7 4 100 9 123112311075 8 231101530153010 9 31220571001814 7 001 9 r r rrrr rrrrrr rr 4 9 8 9 7 9 x 立刻得到方程组的解 1212 4 10 3 015 310 0 01 0 kkk k x 3 对方程组的增广矩阵作行初等变换 3221 31 2 231122311223112 223310544305443 412220544200001 rrrr rr 因为 RR AA 所以方程组无解 2 6 2 6 若向量组 123 线性无关 124 线性相关 试证 4 可由 123 线性表示 123 线性无关 12 线性无关 124 线性相关 4 可由 12 线性表示 从而 4 可由 123 线性表示 证法二 124 线性相关 1234 线性相关 123 线性无关 4 可由 123 线性表示 注意 123 线性无关 存在全为 0 的 123 k kk 使得 12233 0kkk 这个说法是有问题的 因为不管是否相关 这些 123 k kk总是存在的 2 7 2 7 设线性方程组 123 123 2 123 10 1 1 xxx xxx xxx 当 等于何值时 1 方程组有唯一解 2 无解 3 有无穷多解 并求此时方程组的通解 111311311 11131100 11131100 A 2 3 1 0 3 时方程组有唯一解 2 3 时 3112 32 2 211003360336 121312131213 1129033600012 rrrr rr A 无解 线性代数习题解16习题二 2 0 时 1 1 101110 1 1 100000 13 1 1 100000 AR AR A 有无穷多解 112 211212 32 1 1 101110 1 1 100000 13 1 1 100000 11 10 01 AR AR A xkk xxkkkk k xk 2 8 2 8 设 123 1 1 0 3 3 1 2 0 x 1 当x为何值时 向量组 123 线性相关 2 当x为何值时 向量组 123 线性无关 3 当 123 线性相关时 将 1 表示为 23 的线性组合 123 0101 1321 2306 1 130130 xx xx 1 当1x 时 123 线性相关 2 当1x 时 123 线性无关 3 现1x 设 1 可表示为 23 的线性组合 11223 xx 即 12 101 132 130 xx 则有线性方程组 1 12 2 1 1 1 TT x x 或 1 2 011 321 301 x x 011301 321011 301000 A 得 12 1 1 3 xx 于是 1223 1 3 x 2 9 2 9 2 10 2 10 设线性方程组 11 11221 21 12222 1 122 0 0 0 nn nn mmmnn a xa xa x a xa xa x a xaxax 的解都是 1 122 0 nn b xb xb x 的解 试证 12 n b bb 是 111121 221222 12 n n mmmmn aaa aaa aaa 的线性组合 线性代数习题解17习题二 方程组 11 11221 21 12222 1 122 0 0 0 nn nn mmmnn a xa xa x a xa xa x a xaxax 与 1 12 11 11221 21 12222 2 2 1 12 0 0 0 0 nn nn mnn nn mm a xa xa x a xa xa x a b x xax xb x x b a 是同解方程组 它们的基础解系相同 从而它们的系数 矩阵的秩相同 即向量组 12 m 和向量组 12 m 有相同的秩 1 1 2 2 m m RRr 设 12 r 是 12 m 的一个极大无关组 则 12 r 是向量组 12 m 中的1r 个向量 因而是线性相关的 所以 可由 12 r 线性表示 从而 可由 12 m 线性表示 定理定理 2 1 若向量组 12 m 线性无关 而向量组 12 m 线性相关 则向量 可以由向量组 12 m 线性表示 2 11 2 11 证明方程组 121 232 343 454 515 xxa xxa xxa xxa xxa 有解的充要条件是 5 1 0 i i a 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 11000 11000 01100 01100 00110 00110 00011 00011 1000100000 i i a a a a a a a a aa A 方程组有解 4RR AA 5 1 0 i i a 2 12 2 12 填空题 1 设 123 1 1 2 1 2 0 1 2 x 当x 1 2 时 123 线性相关 2 当x 1 时 向量 1 0 x能由下列向量组线性表示 12 1 1 0 2 0 1 3 已知向量组 123 2 1 3 0 3 1 0 1 0 3 1 x 的秩等于 2 则x 1 4 设矩阵 1211 2121 1202 213x A 当x 2时 3R A 5 设 12 r 是 非 齐 次 线 性 方 程 组 AXb的 解 若 1122rr kkk 也 是 AXb的 一 个 解 则 12r kkk 1 6 设 12 2 0 1 1 2 0 TT 是齐次线性方程组0 AX的一个基础解系 则 A 21 4 线性代数习题解18习题二 1 3 21 3123 1 2 123 120120120 1101210120 122002001 r rxr TTT rrrr xxx 当 1 2 x 时 123 23Rn 123 线性相关 2 设有 12 x x使得 1122 1 0 xxx 即 11 12 22 12 101 010 TT x xx xx 则该方程组的增广矩阵 12101 101010 010001 x A x 的秩 2RR AA 于是1x 3 32 21 3 123 1 2 23 2323 1 1100010 22 303011 033 011000 011 rr TTT rr x xx x x 当 123 2R 时 1x 4 42 21 31 2 121112111211 212105410541 120200110011 21300110002 rr rr rr xxx A 当2x 时 3R A 5 112211221 1212 bA A A A bbbb rrrrrr kkkkkkkkkkkk 给出的是非齐次方程组 0 b 所以 12 1 r kkk 6 m n 线性方程租的基础解系含nr 个解向量 r是系数矩阵A的秩 现3 2nnr 于是1r 这说明方程组有一个有效 方程 A可以是一个行矩阵 设为 a b c A 因为 12 21 0 2 10 是方程组的解 所以 20 20 ac ab 解出 a b c即知 21 4 A 注意 本小题答案不是唯一的 2 13 2 13 选择题 1 设向量组 123 线性无关 则下列向量组线性相关的是 都不可选 A 11213 B 112123 C 12123 D 121331 2 在齐次线性方程组0 AX中 若 Rn A 则下列结论正确的是 A A 当mn 时 A的m个行向量线性相关 B 当mn时 A的m个行向量线性无关 D 当1nm 时 A的m个行向量线性相关 3 设向量组 123 线性无关 向量组 124 线性相关 则下列结论错误的是 D A 12 线性无关 B 4 可以表示为 12 线性组合 C 1234 线性相关 D 1234 线性无关 线性代数习题解19习题二 4 若非齐次线性方程组 m n AXb有解 12 n 是 m n A的n个列向量 下列结论正确的是 A 12 n b 线性相关 12 n 线性无关 12 n 线性相关 12 n b 线性无关 已知 12 是非齐次线性方程组 AXb的两个不同的解 12 是对应的齐次线性方程组0 AX的基础解系 12 k k为 任意常数 则方程组 AXb的通解是 B A 12 11212 2 kk B 12 11212 2 kk C 12 11212 2 kk D 12 11212 2 kk 6 设A为n阶方阵 且 12 1 Rn A 是0 AX的两个不同的解向量 则0 AX的通解为 C A 1 k 2 k C 12 k 12 k 1 没有一个可选 A 不是线性相关的 因为 1121231312312233 0kkkkkkkk 1231 22 33 00 00 00 kkkk kk kk B 不是线性相关的 因为 112123123123123233 0kkkkkkkkk 1231 232 33 00 00 00 kkkk kkk kk C 不是线性相关的 因为 1122312313123233 0kkkkkkkk 131 232 33 00 00 00 kkk kkk kk D 不是线性相关的 因为 112213331123112233 0kkkkkkkkk 1231 12 233 00 00 00 kkkk kk kkk 2 设 11 0 m nnm Ax 有 m n Rn mn A 于是 m n Rm 故二次型是负定的 2 二次型的矩阵 1121 1303 2096 13619 A的各阶主子式依次为 1234 112 11 10 20 13060 240 13 209 A 故二次型是正定的 4 24 4 24 取何值时 下列二次型是正定的 1 222 123121323 5224fxxxx xx xx x 2 222 123121323 42106fxxxx xx xx x 1 二次型是正定的 当且仅当它的矩阵 11 12 125 A的各阶主子式都是正的 线性代数习题解40习题四 22 123 11 1 10 10 12540 1 125 即 2 2 10 540 解得 4 0 5 即 2 2 40 301050 或 2 22 301050 当2 时 2 301050 故二次型是正定的 A的特征值 123 3 4 6 可通过解特征方程 410 1510 014 EA得到 相应的特征向量通过求解齐次 方程组 0 EA x分别可取为 123 1 1 1 6 3 2 12 0 3 3 1 11 2 63 123 构成标准正交向量组 由它们构成正交矩阵 123 111 326 231 121 0202 336 231 111 326 P 作正交变换 xPy 则有 222 123 346fyyy 于是在新的坐标系 123 Oy y y下椭球面 123 24f x xx 的方程为 222 123 34624fyyy 或标准化为 222 312 222 1 2 2 26 yyy 椭球面的三个半轴的长度依次为2 2 6 2abc 4 26 4 26 已知二次型 222 12312323 23320f x xxxxxax xa 通过正交变换化成标准形 222 123 25fyyy 求 参数a及所用正交变换矩阵 给出的二次型的矩阵是 200 03 03 a a A 线性代数习题解41习题四 因为二次型经正交变换后所得标准形的系数是二次型的矩阵的特征值 所以A的特征值 123 1 2 5 由 123 A 或 2 2 91 2 5a 可确定2a 下面先对2a 进行讨论 对于 1 1 100100 022011 022000 EA 得特征向量 11 0 10 1 kk 对于 2 2 000010 012001 021000 EA 得特征向量 22 1 00 0 kk 对于 3 5 300100 022011 022000 EA 得特征向量 33 0 10 1 kk 这三组相互正交的特征向量的单位向量分别是 1 0 1 2 1 2 2 1 0 0 3 0 1 2 1 2 以之构成矩阵 123 P 则 P是所求的正交变换矩阵 P不是唯一的 可取 010 11 0 22 11 0 22 P 对2a 类似可算得三个两两正交的单位特征向量 1 0 1 2 1 2 2 1 0 0 3 0 1 2 1 2 可取 010 11 0 22 11 0 22 P 4 27 4 27 证明 二次型 T fx Ax在1 x时的最大值为实对称矩阵A的最大特征值 有正交变换 xPy 使二次型化成标准形 222 1122nn fyyy 其中 12 n 是A的特征值 按由小到大的次序 排列 正交变换不改变向量的模 故1 yx 于是在1 x时 2 222222 112212 y nnnnnn fyyyyyy 取 0 0 1 n y 当 n xP 时 n f x 这是f的最大值 4 28 4 28 设A为正定矩阵 试证 2 A A也均为正定矩阵 当A是对称矩阵时 2 A A也都是对称矩阵 2 22 1 11 T T TT T AAA AA AA AA AA A的所有特征值 1 2 i in 都大于零 从而0 A 2 A的所有特征值 2 1 2 i in 也都大于零 所以 2 A是正定的 线性代数习题解42习题四 1 A A A的所有特征值 1 1 2 i in A 也都大于零 所以 A是正定的 4 29 4 29 设A B都是n阶正定矩阵 证明 AB也是正定矩阵 A B都是正定矩阵 所以二次型 TT x Ax x Bx都是正定的 即 00 00 T T x Axx x Bxx 于是 00 TTT xAB xx Axx Bxx 这说明 AB也是正定矩阵 4 30 4 30 设A是n阶实对称矩阵 证明存在实数c 对一切 n x 有 TT c x Axx x 存在正交变换 xPy 使二次型 222 1122 T nn yyy x Ax 设 是A的绝对值最大的特征值 则 n x 222 1122 222 1122 222 12 T nn nn n T yyy yyy yyy x Ax y y 由于 xPy是正交变换 所以 TT y yx x 于是 n x TT x Axx x 取c 即得证 4 31 4 31 设A是n阶正定矩阵 I是n阶单位矩阵 证明 det1 IA 由A的正定性知A的特征值0 1 2 i in 于是 IA的特征值11 1 2 i in 从而 IA 12 1111 n 4 32 4 32 设A为n阶实对称矩阵 且 32 3530 AAAI 证明 A正定 A的特征值 满足 322 3531230 或1 12i 但实对称矩阵的特征值都是实数 故A的 特征值 123 1 从而A是正定的 4 33 4 33 填空题 1 设向量 1 2 T x 与 3 5 T x x 正交 则x 2 5 2 向量 1 4 0 2 T 与 2 2 1 3 T 的距离和内积分别为4 和5 2 3 向量 1 2 2 3 T 与 3 1 5 1 T 的夹角为 4 4 向量组 123 0 0 1 0 1 1 1 1 1 TTT 经施密特方法正交规范化为 123 001 0 1 0 100 5 若矩阵 00 0 11 0 22 x yz A是正交矩阵 则 x y z的值分别为 1 1 2 xyz 1 2 3100 2 5xxx 2 向量 1 4 0 2 T 与 2 2 1 3 T 内积为 线性代数习题解43习题四 12 42 12420 12 34 01 23 距离为 222 2 123 426 3621505 2 012 231 3 向量 1 2 2 3 T 与 3 1 5 1 T 的夹角为 181 arccosarccosarccos 436 182 4 向量组 123 0 0 1 0 1 1 1 1 1 TTT 经施密特方法正交规范化为 11 21 221 11 3132 3312 1122 0 0 1 000 1 101 1 110 1001 11 1010 11 1100 得到的 123 001 0 1 0 100 已经是单位向量 为所求的正交规范组 5 1 2 3 00 0 11 0 22 A x yz 的行向量组是标准正交向量组 满足 2 11 22 22 23 1 1 11 0 22 x yz yz 解得 1 1 2 xyz 6 设三阶实对称方阵A的特征值为 123 1 2 则 2R AE2 R AE1 定理定理 3 10 若 i 是实对称矩阵A的k重特征值 则存在k个属于 i 的线性无关的特征向量 3 2 是 1 重特征值 A有 1 个属于 3 2 的线性无关的特征向量 即齐次方程组 20 AE x的基础解系含 1 个解向 量 于是 2 1nR AE 现3n 故 2 2R AE 类似地 12 1 是 2 重特征值 方程组 20 AE x的基础解系 含 2 个解向量 于是 2nR AE 而 1R AE 线性代数习题解44习题四 7 二次型 222 12341231223 2342f x xx xxxxx xx x 的矩阵是 120 221 013 该二次型的秩为3 8 矩阵 124 221 413 A对应的二次型是 222 123121323 23482 fxxxx xx xx x 9 已知二次型 222 123123121323 55266f x xxxxcxx xx xx x 的秩为2 则参数c 3 513201 153021 33003cc A 10 设A是实对称可逆矩阵 则将 T fx Ax化为 1T fy A y的线性变换为 1 xA y 解法一解法一 111 T TTTT fx Axx AA Axx A A AxAxAAx 令 yAx 即作线性变换 1 xA y 则 T fx Ax化为 1T fy A y 解 法 二解 法 二 1 11111111 TT TTTTT fy A yy A AA yyAAA yyAAA yA yA A y 作 线 性 变 换 1 xA y 则 11TT fy A yx A x 11 设n阶实对称矩阵A的特征值分别为1 2 n 则当t n时 t IA为正定矩阵 当0t 时 t IA的特征值1 2 tttn 都大于零 4 34 4 34 选择题 1 设 1 1 5 3 9 2 3 5 TT 则 与 的距离为 B A 81 B 9