线性代数习题答案(5).pdf

习题五习题五 1 计算 1 1 0 3 5 4 2 0 1 31332 2 1 2 3 23423 解 1 1 40 2 3 0 5 19 321 33 2 2 3 1 0 433 22 2 把下列向量单位化 1 3 0 1 4 2 5 1 2 0 解 2222 1 30 1 426 3141 0 3 0 1 4 26262626 2 25 14030 5121 0 5 1 2 0 30303030 a ea a a a e a aa a e a 3 利用施密特正交化方法把下列向量组正交化 1 1 0 1 1 2 1 1 0 3 1 0 1 2 1 1 0 1 1 2 1 1 0 1 3 1 1 1 0 解 11 21 221 11 3132 3312 1122 11 21 221 11 1 0 1 1 1 11 1 1 0 0 1 1 1 2 22 22 2 33 3 2 1 0 1 1 2 12 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 3 33 3 3132 3312 1122 1 3 3 4 5 5 5 5 1 w w w k h d a w c o m 课后答案网 4 试证 若 n 维向量 与 正交 则对于任意实数 k l 有 k 与 l 正交 证 与 正交 0 k lRklkl0 k与 l正交 5 下列矩阵是否为正交矩阵 11 1 1010 23 1010 211 1 2 1 0101222 11 0101 1 32 解 1 A A E A 不是正交矩阵 2 A A E A 为正交矩阵 6 设 x 为 n 维列向量 x x 1 令 H E xx 求证 H 是对称的正交矩阵 证 2 2 2 2 HExx HExxExxExxH H 为对称矩阵 2 2 2 2 2 2 4 4 4 H HExxExx EE xxxx Exxxx Exxx xx xE H 是对称正交矩阵 7 设 A 与 B 都是 n 阶正交矩阵 证明 AB 也是正交矩阵 证 A 与 B 为 n 阶正交矩阵 A A EB B E AB AB AB B A A BB A AEA AA E AB 也是正交矩阵 8 判断下列命题是否正确 1 满足 Ax x 的 x 一定是 A 的特征向量 2 如果x1 xr是矩阵A对应于特征值 的特征向量 则k1x1 k2x2 krxr也是A 对应于 的特征向量 3 实矩阵的特征值一定是实数 解 1 Ax x 其中当 x 0 时成立 但 x 0 不是 A 的特征向量 的特征向量有 11 22 33 x特征值 1 2 例如 E3 3x 2 w w w k h d a w c o m 课后答案网 则不是E 110 220 330 0 0 0 3 3的特征向量 3 不一定 实对称矩阵的特征值一定是实数 9 求下列矩阵的特征值和特征向量 624 23 1 2 232 31 426 2314 220 0121 3 4 212 0122 020 0112 解 1 2 23 2 1 9037 31 337 2 EA 0 当 337 2 时 EA x 0为 1 2 137 3 2 137 3 2 x x 0得解 1 2 371 6 1 x x 对应的特征向量为 371 6 1 且kk0 Rk 当 337 2 时 1 2 137 3 2 137 3 2 x x 0 其基础解系为 1 371 1 6 对应的特征向量为 371 0 6 1 kkR k 且 3 w w w k h d a w c o m 课后答案网 2 624624 2 232232 4260422 2 11 0 AE 特征值为 123 2 11 i 当 12 2 时 1 2123 3 424 22212 424 0 x xxxx x 0 其基础解系为 1 1 2 0 1 1 0 对应于 2 的特征向量为 1212 1 1 2 0 1 1 0 kkk k R且使得特征向量不为 0 ii 当 3 11 时 1 2 3 524 282 425 x x x 0 解得方程组的基础解系为 T 123 1 1 1 2 x x x 对应于 3 11 的特征向量为 T 1 01 1 2 且kkRk 220 3 2 4 1 212 020 AE 0 特征值为 123 2 4 1 4 w w w k h d a w c o m 课后答案网 i 当 1 2 时 1 2 3 420 232 022 x x x 0 得基础解系为 1 11 2 对应的特征向量为 1 2 0 1 1 且kkRk 1 2 ii 当 2 4 时 1 2 3 220 232 024 x x x 0 其基础解系为 2 2 1 4 k对应的特征向量为 2 02 1 且kkR所以与 2 iii 当 3 1 时 1 2 3 1200 2020 0210 x x x 1 其基础解系为 2 1 2 k对应的特征向量为 2 01 2 且kkR 与 3 3 1234 2314 12 0121 4 2 122 0122 112 0112 1 2 01 2 AE 1 A 的特征值为 1 2 i 当 123 1 时 5 w w w k h d a w c o m 课后答案网 1 2 3 4 13140 02210 01120 01110 x x x x 其基础解系为 4 1 1 0 其对应的特征向量为k 4 1 1 0 T k R且k 0 ii 当 4 2 时 1 2 3 4 03140 03210 01020 01100 x x x x 2 2 其基础解系为 1 0 0 0 其对应的特征向量为 1 0 0 0 0 且kkRk 10 设 3 阶方阵A的特征值为 1 1 2 0 3 1 对应的特征向量依次为 123 12 221 21 xxx 求矩阵 A 解 111222333 1 1231122331232 3 00 00 00 AxxAxxAxx A x xxxxxx xx 由于 123 1 0 1 为不同的特征值线性无关 则有 123 x xx 123 122 221 212 x xx 可逆 1 122100122102 1 221000221012 3 212001212220 A 11 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 1 1 与特征值 1 对应的特征向量 x 1 6 w w w k h d a w c o m 课后答案网 1 1 求 A 解 1 1 对应的特征向量为x1 1 1 1 T 设 2 1 对应的特征向量为x2 x1 x2 x3 T A为 实对称矩阵 所以 x1 x2 0 即有 x1 x2 x3 0 得方程组的基础解系为 12 11 10 01 可知 12 为 2 1 对应的特征向量 将 112 x 正交化得 1 x1 1 1 1 T 单位化 T 1 1 1 111 333 e 21 1 1 0 T T 2 2 2 11 0 22 e T T 3132 33123 1122 112 11 1 66622 e 111 326 111 326 12 0 36 P 则有 1 010 001 P AP 100 1 111111 122 326326 333 100 111111212 010 326326333 001 2211212 00 333 3636 A 12 若n阶方阵满足A2 A 则称A为幂等矩阵 试证 幂等矩阵的特征值只可能是 1 或者是 零 证明 设幂等矩阵的特征值为 其对应的特征向量为 x 22 Axx A AxAxA xAxx 由A2 A可知 22 Axxxx 7 w w w k h d a w c o m 课后答案网 所以有或者 2 0 1 13 若A2 E 则A的特征值只可能是 1 证明 设 是 A 的特征值 x 是对应的特征向量 则Ax x A2x Ax 2x 由A2 E可知 x Ex A2x 2x 2 1 x 0 由于x为 的特征向量 x 0 2 1 0 1 14 设 1 2是n阶矩阵A的两个不同的特征根 1 2分 的别是A的属于 1 2特征向量 证明 1 2不 A的特征向量 是 证明证明 假设 1 2是A的属于特征根 的特征向量 则 A 1 2 1 2 1 2 又 A 1 2 A 1 A 2 1 1 2 2 于是有 1 1 2 2 0 由于 12 1与 2线性无关 故 1 2 0 从而 12 与 12 矛盾 故 1 2不是A的特征向量 15 求正交矩阵T 使T AT为对角矩阵 022124 1 2 234222 243421 4101 320 1410 3 4 222 0141 021 1014 AA AA 解 2 123 22 1 1 8 0234 243 1 8 AE i 当 12 1 时 1 2 3 1220 2440 2440 x x x 方程组的基础解系为 2 1 0 T 2 0 1 T 8 w w w k h d a w c o m 课后答案网 ii 当 3 8 时 1 2 3 822 254 245 x x x 0 其基础解系为 T 1 1 1 2 取 T 1 1 1 1 2 单位化为 T 1 1 1 12 2 33 3 p 取 取 使正交化 T 2 2 1 0 T 3 2 0 1 23 a a 令 T 32T 22332 22 2 4 2 1 0 1 5 5 单位化 TT 32 23 32 21 2 5 4 55 0 55 15153 pp 122 5 315 214 5 315 25 0 33 T 5 5 2 124 2 3 6 222 421 AE 得 123 3 6 i 当 12 3 时 1 2 3 4240 2120 4240 x x x 其基础解系为 9 w w w k h d a w c o m 课后答案网 12 11 20 01 正交化得 T 21T 1221 11 42 1 2 0 1 55 单位化得 TT 12 12 12 12 4 52 55 0 55 15153 pp ii 当 3 6 时 1 2 3 5240 2820 4250 x x x 其基础解系为 3 2 1 2 T 单位化得 T 3 3 3 1 2 1 2 3 p 214 5 315 122 5 315 25 0 33 T 5 5 22 1234 4101 1410 3 4 812 0 0141 1214 4 2 6 AE i 当 12 4 时 10 w w w k h d a w c o m 课后答案网 1 2 3 4 0101 1010 0101 1010 x x x x 0 其基础解系为 12 10 01 10 01 由于 12 0 所以 12 正交 将它们单位化得 12 10 21 0 2 10 21 0 2 pp ii 当 3 2 时 1 2 3 4 21010 12100 01210 10120 x x x x 其基础解系为 3 1 1 1 1 T 单位化得 3 3 3 1 2 1 2 1 2 1 2 p iii 当 4 6 时 11 w w w k h d a w c o m 课后答案网 1 2 3 4 21010 12100 01210 10120 x x x x 其基础解系为 4 1 1 1 1 T 单位化为 T 4 4 4 11 1 1 22 2 2 p 1 111 0 222 4 111 0 422 2 1112 0 2226 111 0 222 TTAT 123 320 4 2 5 1 0 222 021 2 5 1 AE i 当 1 2 时 1 2 3 120 202 021 x x x 0 其基础解系为 1 2 1 2 T 单位化得 T 1 1 1 2 12 3 33 p ii 当 2 5 时 1 2 3 220 232 024 x x x 0 其基础解系为 2 2 2 1 T 12 w w w k h d a w c o m 课后答案网 单位化得 T 2 2 2 22 1 33 3 p iii 当 3 1 时 1 2 3 4200 2320 0220 x x x 其基础解系为 3 1 2 2 T 单位化得 T 3 3 3 1 2 2 3 3 3 p 得正交阵 1 221 333 2 122 5 333 1 212 333 TTAT 16 设矩阵与 200 22 211 x A 100 020 00y B相似 1 求 x 与 y 2 求可逆矩阵P 使P 1AP B 解 1 由 A B 可知 A 有特征值为 1 2 y 200 2 022 1 2 211 AE xx 由于 1 为 A 的特征值 可知 2 1 00 1 22A E xx 将 x 0 代入 A E 中可得 2 0 1 2 2 2 1 0 AE 123 2 2 1 可知 y 2 13 w w w k h d a w c o m 课后答案网 2 i 当 1 1 时 1 2 3 100 212 212 x x x 0 其基础解系为 1 0 2 1 T 1 1 对应的特征向量为 1 0 2 1 T ii 当 2 2 时 1 2 3 4000 2220 2110 x x x 其基础解系为 2 0 1 1 T 所以 2 2 对应的特征向量为 2 0 1 1 T 当 3 2 时 1 2 3 0000 2220 2130 x x x 其基础解系为 3 2 1 1 T 取可逆矩阵 123 002 211 111 p 则 1 p APB 17 设 求A 111 001 023 A 100 解 111 1 1 2 001 023 AE 14 w w w k h d a w c o m 课后答案网 特征值为 123 1 2 i 当 12 1 时 1 2 3 0110 0110 0220 x x x 其基础解系为 01 11 11 ii 当 3 2 时 1 2 3 111 021 021 x x x 0 其基础解系为 1 1 2 T 令 则 011 111 112 p 1 1 1 2 p AP 100 11001100 1001 100 100 100100 100100 100100 1 1 2 0111011 1111111 1122112 0111132 1111111 1122011 1211 2 02221 02221 p APp AP A 18 将下列二次型用矩阵形式表示 1 222 12312312233 25262 1 f x x xxxxx xx xx x 2 123412233441 f x x x xx xx xx xx x 15 w w w k h d a w c o m 课后答案网 3 22 12341121314224 63252 f x x x xxx xx xx xxx x 解 1 1 1231232 3 111 123 135 x f x xxx x xx x 2 1 2 12341234 3 4 11 00 22 11 00 22 11 00 22 11 00 22 x x f x xx xx x x x x x 3 1 2 12341234 3 4 35 61 22 31 20 22 1000 51 00 22 x x f x xx xx x x x x x 19 写出二次型 2 1231 12233 f x xxa xa xa x 的矩阵 解 11 2 1231 1223312321232 33 2 1 11213 2 1232 21223 2 3 31323 ax f x xxa xa xa xx xxaa a ax ax xaa aa a x xxxa aaa a xa aa aa 20 当 t 为何值时 二次型 22 123112132233 642 2 f x x xxx xx xxx xtx的秩为 2 解 1 1231232 3 132 311 21 x f x xxx x xx xt 2 31 21 1 2 8 3 132132 311085 21054 r rr rr tt A 16 w w w k h d a w c o m 课后答案网 32 5 132 132 5 501 01 8 8 25 054004 8 rr tt 7 2 8 Rt A 21 已知二次型 222 1231212132 2222 3 fxxxax xx xx xbx 2 3 x经过正交变换化为标准型 2 2 2fyy 求参数 a b 及所用的正交变换矩阵 解 由题知 123 0 1 2 二次型矩阵 1111 11 1111 A AE aa abab bb 当 2 1 时 01 0 0 10 AE a ab b 即有 2ab 0 当 3 2 时 11 0010 101 a aa 当 1 0 时 101 0011 11 bb b A 当 1 0 时 1 2 3 101 010 101 x x x 0 17 w w w k h d a w c o m 课后答案网 得基础解系为 1 1 0 1 T 单位化 T 1 1 1 11 0 22 p 当 2 1 时 1 2 3 001 000 100 x x x 0 其基础解系为 2 0 1 0 T iii 当 3 2 时 1 2 3 101 010 101 x x x 0 其基础解系为 3 1 0 1 T 单位化得 T 3 3 3 11 0 22 p 得正交变换矩阵 11 0 22 010 11 0 22 p 22 用配方法把下列二次型化为标准型 并求所作变换 22 123121323 1231213 1 248 2 24 f x x xx xx xxx f x xxx xx x 解 22 123121323 222 2121113 222 21133 1 248 2 48 2 12 f x x xx xx xxx 2 3 xx xxxx xx xxxxx 令 18 w w w k h d a w c o m 课后答案网 112123 213212 3333 2 22 yxxxyy yxxxyyy yxxy 3 由于 110 0102 001 上面交换为可逆变换 得 22 123123 12 2 f x x xyyy 1231213 2 24 f x x xx xx x 令 11 21 33 2 2 xyy xyy xy 为可逆线性变换 12 1 12 2 33 22 22 xx y xx y yx 2222 12312123121323 2222 11332233 22 1323 2 4 2244 2 2 242 2 2 f x xxyyyyyyyy yy yy yyyy yy yyyy y 3 3 22 22f 令为可逆线性交换 11 22 33 yy yy y 12312 所作线性交换为 12 1133 12 2233 33 2 2 xx yyx xx yyx x 23 用初等变换法化下列二次型为标准型 并求所作变换 1234121314232434 2 12311223 1 2 54 f x xx xx xx xx xx xx xx x f x x xxx xx x 解 1 19 w w w k h d a w c o m 课后答案网 21 12 12 21 1 2 1 2 1111 011 2222 111111 00 222222 11111 010 22222 11111 010 22222 1100 11100 10010 10001 rr rr cc cc 1 0 3141 3141 10111001 11 000000 44 13 100001 22 13 100100 22 11 100110 22 11 100110 22 00100010 00010001 rrrr cccc 41 41 3 2 3 2 10001000 11 00000 44 3001 001 25 000 3 4 000 211 11 1 22 111 211 11 1 22 111 23 001 0010 2 00010001 0 0 rr cc 222 123 15 44 2 4 f xyyyy 20 w w w k h d a w c o m 课后答案网 11 11 22 11 11 22 3 001 2 0001 xpyp 2 二次型矩阵为 2121 32 55 22 8 25 55 1010 22 5 525 10 0202 2 24 5 020020 02 2 100100 020 010010 001001 100 25 02 4 020 5 10 2 010 001 rrcc rr 32 8 25 100 100 25 2500 02 4 4 16 1600 00 25 25 54 51 10 25 2 8 01001 25 001 001 cc 54 1 25 8 01 25 001 xpyp 222 3 2516 f 12 425 xyyy 24 设二次型 123121323 322 f x xxx xx xx x 1 用正交变换化二次型为标准型 2 设A为上述二次型的矩阵 求A5 解 1 二次型的矩阵为 011 101 110 A 21 w w w k h d a w c o m 课后答案网 2 11 0 1 11 11 AE 2 0 求得 A 的特征值 123 1 2 对于 12 1 求解齐次线性方程组 A E x 0 得基础解系为 12 01 00 01 将 12 正交单位化得 12 1 1 6 2 1 1 6 2 2 0 6 ee 对于 3 2 求解方程组 A 2E x 0 得基础解系为 3 1 1 1 将 3 单位化得 3 1 3 1 3 1 3 e 于是 123 111 263 111 263 21 0 63 Te e e 即为所求的正交变换矩阵 且 222 123 2 fyyy 2 因为所以 1 1 2 T ATB ATBT 22 w w w k h d a w c o m 课后答案网 故 55 101111 111011 111110 ATB T 25 求正交变换 把二次曲面方程 222 123121323 255448xxxx xx xx x1 化成标准方程 解 222 123123121323 255448 f x xxxxxx xx xx x的矩阵为 2 123 222 254 245 222 1 10 01 10254 245 A AE 1 当 12 1 时 1 2 3 122 244 244 x x x 0 其基础解系为 12 22 10 01 正交化得 T 21T 11221 11 2 4 2 1 0 1 5 5 单位化得 TT 12 12 12 21 2 5 4 55 0 55 15153 pp 2 当 3 10 时 1 2 3 822 254 245 x x x 0 其基础解系为 T 3 1 1 1 2 23 w w w k h d a w c o m 课后答案网 单位化得 T 3 3 3 12 2 33 3 p 正交变换矩阵 123 22 51 1535 14 52 1535 52 0 33 Tp pp 11 11 11 1010 TATATT 11 1 12312321232 33 1111 1 2222 3333 1 1 10 ATT TT xx f x x xx x xxx x xx xx xyxy xyxy xyxy 为所求正交变换 得 11 1 22 33 112 2123 3123 21 0 55 2 54 55 15153 122 333 21 55 2 54 55 15153 122 333 T 1 2 3 yxx yxx yxx yxx yxxx yxxx 二次曲面方程的标准方程为 22 2 12 123 123 21122 2 54 55 101 55333 15153 xxxxx xxx 24 w w w k h d a w c o m 课后答案网 26 判断下列二次型的正定性 222 1231223 222 1231223 22 11213223 1 26422 2 34544 3 9912481306071 fxxxx xx x fxxxx xx x 2 3 fxx xx xxx xx 解 1 矩阵为 210 21 2012 10161 16 014 210 420161 014 二次型为负定二次型 2 矩阵 320 32 3080242 24 025 320 280242 025 二次型为正定二次型 3 矩阵为 99624 996 9900613030 6130 243071 99624 0673030 243071 为正定二次型 27 t 满足什么条件时