复变函数积分变换,课件,习题,数学.pdf

第一节共形映射的概念第一节共形映射的概念 一 两曲线的夹角一 两曲线的夹角 二 解析函数导数的几何意二 解析函数导数的几何意 三 共形映射的概三 共形映射的概 四 小结与思四 小结与思 2 一 两曲线的夹角一 两曲线的夹角 平面内的有向连续曲线平面内的有向连续曲线C可表示为可表示为 z ttzz 正向正向 t 增大时增大时 点点 z 移动的方向移动的方向 如果规定 如果规定 y x 0 C 0 p p 0 tz 0 ttz tpp正向对应于割线正向对应于割线 0 pp0 那么增大的方向 那么增大的方向 00 同向与同向与 t tzttz 3 lim 0 00 0 tz t tzttz t 当当 p 0 时时p C沿沿 pp0处切线上处切线上 0 pC 方向与方向与 C 正向一致正向一致 C 0 p p 0 tz 0 ttz 0 t z y x 0 0 00 ttz如果 的向量那么表示 如果 的向量那么表示 0 t z 0 tzzC 相切于点与 相切于点与 4 000 zCztz上点为起点为的方向若规定上点为起点为的方向若规定 处切线的正向处切线的正向 则则 处的切线的正向与上点就是处的切线的正向与上点就是 00 Arg 1zCt z C 0 z y x 0 0 t z Arg 0 t z x 轴正向之间的夹角轴正向之间的夹角 5 11 tzzC 22 tzzC 正向之间与相交于一点的两条曲线正向之间与相交于一点的两条曲线 21 2CC 之间的夹角 之间的夹角 向在交点处的两条切线正与就是的夹角向在交点处的两条切线正与就是的夹角 21 CC 2010 Arg Arg z tz t 01020 zz t z t 1 C 2 C 0 z 6 二 解析函数导数的几何意义二 解析函数导数的几何意义 内解析在区域设内解析在区域设Dzfw 0 00 zfDz且且 的几何意义的几何意义 Arg 1 0 z f 0 参数方程的有向光滑曲线平面内过参数方程的有向光滑曲线平面内过 zzC C 0 z y x0 z ttzz 0 t z 正向正向 t 增大的方向增大的方向 00 tzz 且且 00 0 z tt 7 00 zfwwCzfw 平面内过映射成将映射 平面内过映射成将映射 的有向光滑曲线的有向光滑曲线其参数方程其参数方程 wf z tt 正向正向 t 增大的方向增大的方向 C 0 z y x0 z 0 t z v u0 w 0 w zfw 8 ttzfw因为因为 0 0 tt twtw 所以 所以 00 tzzf 0 0 处切线存在上点即处切线存在上点即w Arg Arg Arg 000 tzzftw Arg Arg Arg 000 tztwzf 或或 处切线的倾角在处切线的倾角在 0 w 处切线的倾角在 处切线的倾角在 0 zC 的转动角映射后在经曲线定义为的转动角映射后在经曲线定义为 0 zzfwC 9 说明说明 转动角的大小与方向跟曲线转动角的大小与方向跟曲线C的形状无关的形状无关 映射映射 w f z 具有转动角的不变性具有转动角的不变性 2 1 1 C 2 C 0 w 映射经映射经 zfw 0 z Arg Arg Arg 01010 tztwzf 1 C 1 02020 Arg Arg Arg fzw tz t 2 C 2 10 10102020 Arg Arg Arg Arg w tz tw tz t 则则 20102010 Arg Arg Arg Arg w tw tz tz t 的夹角在与的夹角在与 021 zCC的夹角在与的夹角在与 021 w 结论结论 之间与的任意两条曲线相交于点之间与的任意两条曲线相交于点 210 CCz zfw 的夹角在其大小和方向上都等同于经过的夹角在其大小和方向上都等同于经过 2121 之间的夹角与对应的曲线与映射后跟之间的夹角与对应的曲线与映射后跟 CC 的大小和具有保持两曲线间夹角映射的大小和具有保持两曲线间夹角映射 zfw 方向不变的性质方向不变的性质 此性质称为此性质称为保角性保角性 11 的几何意义的几何意义 2 0 z f 0 0 0 lim 0zz zfzf zf zz 因为因为 lim 0 0 0zz ww zz 0 i rezz 令 令 0 i eww C v u0 wy x0 z s 0 t z 0 Q Q 0 w w zfw r 0 p p 0 z z 12 0 0 0 0 zz zfzf zz ww i i re e s i e r s 0 lim i zz e r s s 0 zf所以所以lim 0s zz 的伸缩率在称为曲线的伸缩率在称为曲线 0 zC 结论结论 的后通过点是经过映射的后通过点是经过映射 00 zzfwzf 的形状及它与曲线的伸缩率在的任何曲线的形状及它与曲线的伸缩率在的任何曲线CzC 0 方向无关方向无关 所以这种映射又具有所以这种映射又具有伸缩率的不变性伸缩率的不变性 13 综上所述综上所述 定理定理 0 内一点为内解析在区域设函数内一点为内解析在区域设函数DzDzfw 具有两个性在那末映射且具有两个性在那末映射且 0 0 zzfwzf 质 1 保角性 2 伸缩率不变性 质 1 保角性 2 伸缩率不变性 14 三 共形映射的概念三 共形映射的概念 定定 是共形映射 在是共形的 或称 在变性 那末具有保角性和伸缩率不 在的邻域内是解析的在设 是共形映射 在是共形的 或称 在变性 那末具有保角性和伸缩率不 在的邻域内是解析的在设 00 00 zzfwz zfw zzzfw 也称为也称为第一类共形映射第一类共形映射 说明说明 具有伸缩率不变性如果映射具有伸缩率不变性如果映射zfw 但仅保持夹角的绝对值不变而方向相反但仅保持夹角的绝对值不变而方向相反 则称之为则称之为第二类共形映射第二类共形映射 15 问题 问题 关于实轴对称的映射关于实轴对称的映射zw 是第一类共形映射吗是第一类共形映射吗 将将z平面与平面与w 平面重合观平面重合观答案 答案 否否 y v x u 0 1 2 z 1 C 2 C z 夹角的绝对值相夹角的绝对值相 而方向相反而方向相反 wz 16 部分缩小 哪一平面的哪一部分放大 转动角 并说明它将 处的在试求映射 部分缩小 哪一平面的哪一部分放大 转动角 并说明它将 处的在试求映射 z izzzzfw212 2 例 例 22 zzf因因 解解 21处故在处故在iz iz zf 21 arg 转动角转动角 iz z 21 22arg 2 4arg i 17 z f 伸缩率 伸缩率 iyxz 1 2 22 yx 4 1 1 22 时即 时即 yx 1 z f当当 缩小缩小 反之放大反之放大 2 1 1的圆内缩小半径为为中心故在以 的圆内缩小半径为为中心故在以 z 2 1 1的圆外放大半径为为中心以 的圆外放大半径为为中心以 z 18 四 小结与思考四 小结与思考