圆锥曲线的一组生成方式_一道课本习题引发的探究性学习.pdf

圆锥曲线的一组生成方式 一道课本习题引发的探究性学习 黄元华 广东省深圳市高级中学 在一堂高二圆锥曲线的复习课上 我讲完一 道有关圆的课本习题后 灵机一动 设计了一次探 究性学习 原题再现 题目长为 的线段 的两个端点 和 分别在 轴和 轴上滑动 求线段 的中点的 轨迹方程 此题即人教社普通高中课程标准实验 教科书数学 必修 版第 页 组第 题 解 设线段 中点 的坐标为 则 点 的坐标为 点 的坐标为 则 由已知有 槡 化简可得点 的 轨迹方程为 课后探究 该题实际上给出了一种圆的定义 或者说一 种圆的生成方式 即由两条相交直线和动线段中 点能生成圆 定理 长度为定值的线段的两端点分别在两 互相垂直的直线上滑动 则该线段中点的轨迹为 圆 圆心为两直线交点 半径为定值之半 上课时 我讲到这里 突然想到 若适当改变 该题的条件 能否由两条相交直线和动线段生成 其它圆锥曲线呢 若有可能 我们将可得到圆锥 曲线的一组新定义 我感到这是一个有探究价值 的好课题 何不把它交给学生去研究呢 下课前 我把这个探究课题交给学生 并对全班学生说 同学们六人一组 课后开展合作探究 要求写成 书面报告 正好明天是两节连堂课 明天上课时请 各组派代表上台汇报研究成果 成果越多越好 但 须给出令人信服的证明或说明 同学们兴奋异 常 但也有部分学生面有难色 因为他们从来没有 遇见过这样的数学作业 成果展示 第二天上课前 我查看了学生们交上来的书 面报告 他们改变了原题的部分条件 生成了圆之 外的其它圆锥曲线 其中不乏创新和精彩之处 上 课时各组代表争先恐后登台汇报研究成果 经稍 加整理 分述如下 为了叙述方便 下面约定 是两条相交 直线 交点为 夹角为 且 椭圆的生成方式之一 结论 长度为定值的线段的两端点分别在 两条相交 不垂直 直线上滑动 则该线段的中点 的轨迹为椭圆 设两相交直线的夹角为 则离心率 槡 证明 设 为两相交直线 夹角为 以它们夹角的平分线为 轴 以它们的 交点 为原点 建立直角坐标系 如图 设 的方程分别为 其中 分别为 上的动点 且 为线 段 的中点 图 设 则由已知有 槡 所以 年 第 卷 第 期 数学通报 即 所以 槡 即 所以 点 的轨迹方程为 当 即 时 此 时方程 表示长轴在 轴上的椭圆 长 短半轴 长分别为 椭圆的离心率 槡 槡 槡 槡 注 在本结论中 若两条相交直线垂直 即 时 方程 即 此时点 的轨迹为圆 椭圆的生成方式之二 结论 长度为定值的线段 的两端点分 别在两条互相垂直的直线 上滑动 且 为 定值 则点 的轨迹为椭圆 证明 分别以 所在直线为 轴 轴建 立直角坐标系 如图 设 则由定比分点坐标公式有 图 烅 烄 烆 则 烅 烄 烆 又 则得 所以 所以点 的轨迹方程为 当 时 点的轨迹是焦点在 轴 上的椭圆 槡 当 时 点的轨迹是焦点在 轴上 的椭圆 槡 双曲线的生成方式之一 结论 直线 交于 是 夹角平 分线上异于 的一定点 线段 过定点 且其 两端点分别在 上滑动 则该线段中点的轨迹 是双曲线 其实轴为线段 两条渐近线分别与 平行 若设两相交直线的夹角为 则双曲线的虚轴长为 离心率 槡 证明 以 夹角的平分线为 轴 以线段 的中点为原点建立直角坐标系 如图 设 则 的方程可分别设为 其 则由条件有 图 所以 数学通报 年 第 卷 第 期 因为 四点共线 所以 即 即 即 化简变形可得 故点 的轨迹是双曲线 其实 半轴长为 虚半轴长为 渐近线方程为 双曲线的离心率 槡 槡 槡 双曲线的生成方式之二 结论 一线段的两端点分别在两相交直线 上滑动 且该线段与两相交直线围成三角形的面 积为定值 则该线段中点的轨迹是一对共轭双 曲线 证明 以 的交点为原点 以 夹角 的平分线为 轴建立直角坐标系 如图 设 则 的方程分 别为 其中 面积 即 又 图 即 得 变形得 故 点的轨迹方程为 抛物线的生成方式 结论 动线段 的两端点分别在两条互 相垂直的直线上滑动 且 其中 为定值 则线段 中点的轨迹为两条 抛物线 证明 分别以 所在直线为 轴 轴建 立直角坐标系 如图 设 则 由 有 图 又 烅 烄 烆 消去 得 故线段 中点 的轨迹方程为 得出此结论后 马上有学生主动要求发言 生 此结论不美 生 此结论价值不大 生 此结论的发现者 很平静地回答 此结 论得出后 并没有想象中的兴奋 因为表达式失去 了某种对称的美 不过由于抛物线本身不是中心 对称图形 这种结果也是可以预见的了 掌声 四起 其中既有理解 更有赞赏 师 结论美不美或者价值大不大并不重要 重 要的是同学们所体现出来的主动探索精神 最大 的价值在于探究本身 年 第 卷 第 期 数学通报 两端点在两相交直线上滑动的动线段还满足 什么条件 它的中点轨迹是抛物线 笔者和学生 还在研究这个问题 但目前尚未得出令人赏心悦 目的结论 有兴趣的读者不妨一试 生成其他平面曲线 图 结论 动 线 段 的 两端点分别在两条互相 垂直的直线上滑动 且垂 足到动线段所在直线的 距离为定值 则 动线段中点的轨迹方程 为 证明 分别以这两 条互相垂直的直线为 轴 轴建 立直角坐标系 如图 设 则由条件有 则 故直线 的方程为 即 由点到直线的距离公式 槡 变形 得 即点 的轨迹方程 师 该轨迹是什么曲线 生 我们首先发现 它关于 轴 轴 直线 直线 及原点对称 然后用描点法画 出了它的大致图象 如图 图 师 给它取个名吧 生 既然它有四支 类比 双曲线 的名字 就叫它 四曲线 吧 满堂爆笑 结论汇总 下课前 分钟 我与学生一道整理并总结本 次探究课得出的所有结论 两相交直线 的夹角 动线段 所满足的条件 在线段 上的位置 轨迹轨迹方程 为定长 中点圆 为定长 中点椭圆 为定长 椭圆 直线 过定点 定点位于 夹角平分线上 异于 中点双曲线 的面积为定值 中点一对共轭双曲线 中点一对抛物线 点到直线 的距离为 定值 中点 四曲线 延伸思考 本次临时设计的探究课取得了意想不到的收 获 学生的探究热情 能力和成果均超乎我当初的 下转第 页 数学通报 年 第 卷 第 期 这位教师说 那可不行 那样就出现了圆内 角和圆外角的概念 超出了 课标 要求 增加概念 就增加了学生的负担 我问其他老师 同意这位老师的意见吗 有几个教师点头同意 面对这种现状 我确实感到遗憾 学生甲的出 现给数学教育赋予了多么好的良机 如果让学生 的 鼠标探索 进一步 将 明显地拽回到圆内 一个事实出来了 一条弧所对的圆内角大于圆周 角 再将 拉到圆外 另一个事实有了 一条弧 所对的圆外角小于圆周角 虽然在探索和归纳上述结论时出现了圆内 角 圆外角的概念 但是它绝不会给学生带来负 担 相反 会给理解和掌握圆周角的性质带来帮 助 有比较才有鉴别 一件事物的特征往往在与另 外事物的比较中才显得更加清晰 另外 我们把三个结论 同弧所对的的圆周角 相等 同弧所对的圆内角大于圆周角 同弧所对的 圆外角小于圆周角 综合到一起 便得到结论 同 弧所对的圆周角相等 且同弧所对的相等的角的 顶点是共圆的 这个结论蕴含了四点共圆的判定 定理 这个定理的得到如此自然 在不知不觉中浮 现出来 也许有的教师又说 判定四点共圆不是 课 标 内容 没错 我们并没有刻意去学习四点共圆 的判定定理 我们也不准备围绕它做大量的习题 但毋容置疑的是 它是课堂上学习过程的自然 导出 如果教师无视课堂上学生活生生的操作活动 和思维活动 刻意地捍卫教师课前设计的教学流 程 那么课堂教学就死水一潭 表面上活跃的学生 活动 也只不过是教师导演的木偶剧 如果 课标 安排了什么就教什么 考纲 有什么就要求什么 其它内容一概 屏蔽 那么 课标 考纲 上的内 容学起来也费劲 学生在老师的严控下渐渐沉闷 了 是不会有大出息的 数学教育要让学生的思维展开翅膀 不要搞 那么多禁区 只有不断地放飞 才能变得结实 才 能飞得高 才能扩大视野 才能越飞越高兴 参考文献 张筑生 让解题的思路来的自然 中等数学 乔治 波利亚著 阎育苏译 怎样解题 北京 科学出版 社 上接第 页 想象 在欣喜之余 笔者感触良多 最大的感触是 我们给学生创设的探究机会太少了 我们常常低 估了学生的能力 未给他们充分提供展示才能的 机会 却抱怨学生动手能力 主动性差 其实问题 的根子在于我们教师自身 学问学问 是学 问 而不是学 答 我们的 学生天天都忙着学会解答老师给出的问题 几乎 没有自己独立提出问题 然后尽己之力解决它的 机会 即我们的学生只学 答 从不学 问 这才 是我们培养出的人才缺乏创新能力的真正根源 创设尽可能多的机会让学生去自主探究 应 成为中学教师的自觉行为与追求 探究性学习是 在学生不知道相关知识的前提下 让学生通过一 个个科学探究性实验来完成求知的过程 这是一 种区别于传统教育的全新的课程理念 教师应努 力成为数学探究课题的创造者 应该为学生提供 较为丰富的数学探究课题的案例和背景材料 爱 因斯坦说过 提出一个问题往往比解决一个问题 更重要 因为解决问题也许仅仅是一个教学上或 实验上的技能而已 而提出新的问题 新的可能 性 从新的