电磁场与电磁波(第四版)谢处方 第六章习题解答.pdf

电磁场与电磁波 第四版 谢处方电磁场与电磁波 第四版 谢处方 第第第六章第六章 时变电磁场时变电磁场 6 1 有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动 整个装置位于正弦时变磁场 5cosmT z et B 之中 如题 6 1 图所示 滑片的位置由 0 35 1 cos mxt 确定 轨 道终端接有电阻 0 2R 试求电流 i R0 2m 0 7m a d b c i x y 题 6 1 图 解解 穿过导体回路 abcda 的磁通为 5cos0 2 0 7 cos 0 70 35 1 cos 0 35cos 1 cos zz dBadabtx tttt BSee 故感应电流为 1 1 0 35 sin 12cos 1 75 sin 12cos mA in d i RR dt tttt R E 6 2 一根半径为 a 的长圆柱形介质棒放入均匀磁场 0zB Be 中与 z 轴平行 设棒以角 速度 绕轴作等速旋转 求介质内的极化强度 体积内和表面上单位长度的极化电荷 解解 介质棒内距轴线距离为 r 处的感应电场为 00zr rr B EvBee Be 故介质棒内的极化强度为 00000 1 errr r Br B PEeeX 极化电荷体密度为 2 00 00 11 2 P rPrB r rr r B P 极化电荷面密度为 0000 Prrr a era B P nB e 则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为 22 00 2 00 12 212 PP PSP QaaB QaaB 6 3 平行双线传输线与一矩形回路共面 如题 6 3图所示 设 0 2am 0 1mbcd 7 1 0cos 210 Ait 求 回路中的感应电动势 i i b d c a 题 6 3 图 解解 由题给定的电流方向可知 双线中的电流产生的磁感应强度的方向 在回路中都是 垂直于纸面向内的 故回路中的感应电动势为 dd dd dd in dSBSBS tt 左右 BE 式中 00 22 ii BB rbcdr 左右 故 00 00 ddln 22 ddln 2 2 b c b s c d d s iaibc BSa r rb iaibc BSa r bcdrb 左 右 则 0 722 0 7 77 7 d 2ln d2 d ln 1 0cos 210 d 4100 2 ln2sin 210 210 3 484sin 210 in aibc tb abc tab bt tV t V E 6 4 有一个环形线圈 导线的长度为 l 分别通过以直流电源供应电压 U0和时变电源 供应电压 U t 讨论这两种情况下导线内的电场强度 E 解解 设导线材料的电导率为 横截面积为 S 则导线的电阻为 l R S 而环形线圈的电感为 L 故电压方程为 d d i URiL t 当 U U0时 电流 i 也为直流 d 0 d i t 故 0 ll URiJSJlE S 此时导线内的切向电场为 0 U E l 当 U U t 时 d 0 d i t t 故 d d dd d d i t U tRi tLR E t SLE t S tt lE t E t SL S St 即 d d E tlE tU t tL SL S 求解此微分方程就可得到 tE 6 5 一圆柱形电容器 内导体半径为 a 外导体内半径为 b 长为 l 设外加电压为 0sin Ut 试计算电容器极板间的总位移电流 证明它等于电容器的传导电流 解解 当外加电压的频率不是很高时 圆柱形电容器两极板间的电场分布与外加直流电压 时的电场分布可视为相同 准静态电场 即 0sin ln r Ut rb a Ee 故电容器两极板间的位移电流密度为 0cos ln dr Ut trb a D Je 则 2 0 00 cos dd d ln l ddrr s Ut irz rb a JSee 00 2 coscos ln l UtC Ut b a 式中 2 ln l C b a 是长为 l 的圆柱形电容器的电容 流过电容器的传导电流为 0 d cos d c U iCC Ut t 可见 dc ii 6 6 由麦克斯韦方程组出发 导出点电荷的电场强度公式和泊松方程 解 点电荷 q 产生的电场满足麦克斯韦方程 0 E 和 D 由 D 得 dd D 据散度定理 上式即为 d s q DS 利用球对称性 得 2 4 r q r De 故得点电荷的电场表示式 2 4 r q r Ee 由于 0 E 可取 E 则得 2 DE 即得泊松方程 2 6 7 试将麦克斯方程的微分形式写成八个标量方程 1 在直角坐标中 2 在圆柱 坐标中 3 在球坐标中 解 1 在直角坐标中 y xz x y xz y y xz z H DH J yzt D HH J zxt H HD J xyt y xz y xz y xz E HE yzt H EE zxt E EH xyt 0 y xz y xz B BB xyz D DD xyz 2 在圆柱坐标中 1 11 zr r rz rz z H HD J rzt D HH J zrt HD rHJ rrrt 1 11 zr rz rz E EH rzt H EE zrt EH rE rrrt 11 0 11 z r z r B B rB rrrz D D rD rrrz 3 在球坐标系中 1 sin sin 11 sin 1 r r r r HD HJ rt DH rHJ rrt D H rHJ rrt 1 sin sin 11 sin 1 r r r EH E rt HE rE rrt H E rE rrt 2 2 2 2 111 sin 0 sinsin 111 sin sinsin r r B r BB rrrr D r DD rrrr 6 8 已知在空气中 9 0 1sin10cos 610 y xtz Ee 求H和 提示提示 将 E 代入直角坐标中的波方程 可求得 解解 电场 E 应满足波动方程 2 2 00 2 0 t E E 将已知的 yy E Ee 代入方程 得 222 00 222 0 yyy EEE xzt 式中 2 29 2 2 29 2 2 929 0000 2 0 1 10 sin10cos 610 0 1sin10 cos 610 0 1sin10 610 cos 610 y y y E xtz x E xtz z E xtz t 故得 229 2 00 10 610 0 则 30054 41rad m 由 0 t H E 得 00 9 0 9 11 1 0 1 sin10sin 610 0 1 10 cos10cos 610 yy xz x z EE tzx xtz xtz H Eee e e 将上式对时间 t 积分 得 9 9 0 9 49 49 1 0 1 sin10cos 610 610 cos10sin 610 2 3 10sin10cos 61054 41 1 33 10cos10sin 61054 41 A m x z x z xtz xtz xtz xtz e e e e 6 9 已知自由空间中球面波的电场为 0 sincos E tkr r e 求 H 和 k 解解 可以和前题一样将 E 代入波动方程来确定 k 也可以直接由麦克斯韦方程求与 E 相伴的磁场 H 而此磁场又要产生与之相伴的电场 同样据麦克斯韦方程求得 将两个电场 比较 即可确定 k 的值 两种方法本质上是一样的 由 0 t H E 得 00 0 0 0 0 11 1 sincos sinsin rE trr Etkr rr k Etkr r e H E e e 将上式对时间 t 积分 得 0 0 sincos k Etkr r He 1 将式 1 代入 0 t E H 得 0 2 0 1 111 sin sin sinsin r t rHrH rrr E H ee 2 00 2 000 2sin1 cos sin r kEk E tkrtkr rr ee 将上式对时间 t 积分 得 2 00 222 000 21 sin sincos r kEk E tkrtkr rr Eee 2 将已知的 0 sincos E tkr r Ee 与式 2 比较 可得 含 2 1 r项的 Er分量应略去 且 2 00 k 即 00 k 将 00 k 代入式 1 得 00 0 0 00 0 sincos sincos Etkr r E tkr r He eA 6 10 试推导在线性 无损耗 各向同性的非均匀媒质中用 E 和 B 表示麦克斯韦方程 解解 注意到非均匀媒质的参数 是空间坐标的函数 因此 2 11 11 B HBB BB 而 ttt DEE JJJ 因此 麦克斯韦第一方程 t D HJ 变为 1 t E BJB 又 DEEE 故麦克斯韦第四方程 D 变为 1 EE 则在非均匀媒质中 用 E 和 B 表示的麦克斯韦方程组为 1 1 t t E BJB B E B EE 6 11 写出在空气和 的理想磁介质之间分界面上的边界条件 解解 空气和理想导体分界面的边界条件 为 0 s nE nHJ 根据电磁对偶原理 采用以下对偶形式 sms EHHE JJ 即可得到空气和理想磁介质分界面上的边界条 件 0 ms nH nEJ 式中 Jms为表面磁流密度 6 12 提出推导 1s nHJ 的详细步骤 解解 如题 6 12 图所示 设第 2 区为理想导体 2 在分界面上取闭合路径 0abcda abcdl bcdah 对该闭合路径应用麦克斯韦第一方程可得 2 0 dddd lim dd bcda abcd C h SS d t HlHlHlHlHl D HlHlJSS 1 因为 t D 为有限值 故上式中 0 limd0 h S t D S 而 1 式中的另一项 0 limd h S J S 为闭合路径所包围的传导电流 取 N 为闭合路径所围面积的单位矢量 其指向与闭合路径 的绕行方向成右手螺旋关系 则有 0 limd s h S J SJN l 因 l lNn 故式 1 可表示为 12 s ll HHNnJN 2 a d b c n l h H2 H1 题 6 12 图 应用矢量运算公式 A B CCA B 式 2 变为 12 s nHHNJN 故得 12 s nHHJ 3 由于理想导体的电导率 2 故必有 22 0 0 EH 故式 3 变为 1s nHJ 6 13 在由理想导电壁 限定的区域0 xa 内存在一个由以下各式表示的电 磁场 0 0 0 sin sin sin sin cos cos y x z ax EHkzt a ax HH kkzt a x HHkzt a 这个电磁场满足的边界条件如何 导电壁上的电流密度 的值如何 解解 如题 6 13 图所示 应用理想导体的边界条件可以得 出 在 x 0 处 0 0 yx EH 0cos z HHkzt 在 x a 处 0 0 yx EH 0cos z HHkzt 上述结果表明 在理想导体的表面 不存在电场的切向 分量 Ey和磁场的法向分量 Hx 另外 在 x 0 的表面上 电流密度为 00 0 0 cos sxxxxzzx xzzy x HH HHkzt JnHeee eee 在 x a 的表面上 电流密度则为 0 cos sx axxxzzx a xzzy x a HH HHkzt JnHeee eee 6 14 海水的电导率 4S m 在频率 f 1GHz 时的相对介电常数 81 r 如果把海水 视为一等效的电介质 写出 H 的微分方程 对于良导体 例如铜 7 1 5 7 10 S m r 比较在 f 1GHz 时的位移电流和传导电流的幅度 可以看出 即使在微波频率下 良导体中 的位移电流也是可以忽略的 写出 H 的微分方程 解解 对于海水 H 的微分方程为 jjjj HJDEEE 即把海水视为等效介电常数为 c j 的电介质 代入给定的参数 得 o a x 题 6 13 图 9 9 9 104 210 81 36210 4 54 44 5 jj jjj EE EE 对于铜 传导电流的幅度为 E 位移电流的幅度 E 故位移电流与传导电流的幅度 之比为 9 13 0 7 1 210 2 36 9 75 10 5 7 10 r f f f 可见 即使在微波频率下 铜中的位移电流也是可以忽略不计的 故对于铜 H 的微分方程 为 7 5 7 10 HEE 6 15 计算题 6 13 中的能流密度矢量和平均能流密度矢量 解 瞬时能流密度矢量为 2 0 2222 0 2 0 222 0 sin cos sin cos sin sin 1 sin cos sin2 2 1 sin 1 cos2 2 yyxxzzxyzzyx x z x z EHHE HE H axx Hkztkzt aa ax Hkkzt a axx Hkzt aa ax Hkkzt a SEHeeeee e e e e 为求平均能流密度矢量 先将电磁场各个分量写成复数形式 2 0 2 0 0 sin sin cos jkzj y jkzj x jkz z ax EHe a ax HH ke a x HHe a 故平均能流密度矢量为 2 2 0 222222 00 11 Re Re 22 1 Re sin cos 2 1 sin sin 2 avxyzzyx j x zz E HE H axx He aa axax HkHk aa SEHee e ee 6 16 写出存在电荷 和电流密度J 的无损耗媒质中 E 和 H 的波动方程 解解 存在外加源 和 J 时 麦克斯韦方程组为 t E HJ 1 t H E 2 0 H 3 E 4 对式 1 两边取旋度 得 t HJE 而 2 HHH 故 2 t HHJE 5 将式 2 和式 3 代入式 5 得 2 2 2 t H HJ 这就是 H 的波动方程 是二阶非齐次方程 同样 对式 2 两边取旋度 得 t EH 即 2 t EEH 6 将式 1 和式 4 代入式 6 得 2 2 2 1 tt EJ E 此即 E 满足的波动方程 对于正弦时变场 可采用复数形式的麦克斯韦方程表示 j HJE 7 j EH 8 0 H 9 E 10 对式 7 两边取旋度 得 j HJE 利用矢量恒等式 2 HHH 得 2 j HHJE 11 将式 8 和式 9 代入式 11 得 22 H HJ 此即 H 满足的微分方程 称为非齐次亥姆霍兹方程 同样 对式 8 两边取旋度 得 j EH 即 2 j EHH 12 将式 7 和式 10 代入式 12 得 22 1 j E EJ 此即 E 满足的微分方程 亦称非齐次亥姆霍兹方程 6 17 在应用电磁位时 如果不采用洛伦兹条件 而采用所谓的库仑规范 令 A 试导出 A 和 所满足的微分方程 解解 将电磁矢量位 A 的关系式 BA 和电磁标量位 的关系式 t A E 代入麦克斯韦第一方程 t D HJ 得 1 t tt E HAJ A J 利用矢量恒等式 2 AAA 得 2 tt A AA J 1 又由 D 得 t A E 即 2 t A 2 按库仑规范 令 0 A 将其代入式 1 和式 2 得 2 2 2 tt A AJ 3 2 4 式 3 和式 4 就是采用库仑规范时 电磁场 A 和 所满足的微分方程 6 18 设电场强度和磁场强度分别为 0 0 cos cos e m t t EE HH 证明其坡印廷矢量的平均值为 00 1 cos 2 avem SEH 解解 坡印廷矢量的瞬时值为 00 00 00 cos cos 1 cos cos 2 1 cos 2 cos 2 em emem emem tt tttt t SEHEH EH EH 故平均坡印廷矢量为 0 00 0 00 1 11 cos 2 c