数理统计习题与解答_习题 1.pdf

习题一习题一 1 设总体X服从泊松分布 即X的分布律为 k P Xke k 0 1 2 0 k 12 n XXX 是来自总体X的样本 试求 1 12 T n XXX 的联合分布律 2 2 2 nn EXDXESES 解 1 12 n XXX 是来自总体X的样本 X服从泊松分布 1 1122 11 12 n i ii x x nn n nnii ii in P Xx XxXxP Xxee xx xx 1 1 n i i EXDXXX n 11 111 nn ii ii E XEXEXn nnn 2 11 11 nn ii ii D XDXDX nnn 2 1 n i i XX 22 1 n i i XnX 222 11 22 22 1 1 1 1 1 nn ii ii n ninn i EXXEXnEXnDXn n SXXSS nn 2 1 n n ES n 2 n E S 2 设总体X服从对数正态分布 即X的分布密度为 2 2 1 ln 2 1 2 x f xe x 0 x 12 T n XXX 是来自总体X的样本 试求样本 12 T n XXX 的联合分布密度 解 12 n XXX 相互独立同分布 且 2 2 1 ln 2 1 2 i x i f xe x 则 2 2 1 1 ln 2 12 1 2 1 1 2 n i i nx nin n in i i f x xxf xe x 3 设对总体X得到一容量为 10 的样本值 T0 45 30 55 65 44 35 10 10 25 4 试求 样本均值x和样本方差 2 n s 解 样本均值 1 11 4 52 04 0 3 59 10 n i i xx n 样本方差 2222 11 11 13 21 111 nn nii ii n sxxxx nnn 4 设 12 n XXX 和 12 n Y YY 是两组样本 且有如下关系 0 ii YXabab 均为常数 试求样本均值Y与X之间及样本方差 2 Y S 与 2 X S之间的关系式 解 1 111 111 1 nnn i ii iii XaXa YYXa nnbb nb 222 11 22 22 1 11 1 11 nn i Yi ii n iX i XaXa SYY nnbb XXS b nb 5 设 12 T n XXX 是来自总体X的样本 现又获得第1n 个观察值 1n X 试证 1 1 1 1 1 nnn n XXXX n 2 222 11 1 11 n nnn n SSXX nn 其中nX和 2 n S是样本 12 X T n XX 的均值和方差 证明 1 根据题设有 1 1 n n i i XX n 1 1 1 1 1 n n i i XX n 1 11 1 11 1 1 1 1 11 111 1 111 1 1 111 1 1 111 111 nn ini ii nn nii ii n ni i nn nii ii XXX nnn XXX nn nn XX nnn n XXX nnn 右边 左边 2 根据题设有 11 2 2 22 11 1 11 2 2 22 11 11 11 11 nn nn nii ii nn nn nii ii SXXXX nn SXXXX nn 22 22 11 1 2 2 22 11 222 1 1 2 222 11 2 1 1 22 1 2 1 2 1 11 2 11 12 1 1 1 1 11 2 1 1 11 1 1 1 1 n nnn inn i n nn inn i n nn inn i n in i n i i n XXXXXX nnn nnn XXXXX nnnn Xn Xn XXX nn XnXX nn X n 右边 111 2 22 1 2 11 11 1 1 nn n ii ii XXX nn 左边 6 试证明 1 222 11 nn ii ii XXXn X 2 222 11 nn ii ii XXXnX 证明 1 左边 22 11 2 nn ii ii XXn 22 1 2 n i i XnXn 2222 1 2 n i i XnXnXnXn 22 1 n i i XXn X 右边 2 左边 2222222 1111 22 nnnn iiii iiii XnXX XXnXnXXnX 右边 7 设 3 2 3 4 2 3 5 7 9 3 T为来自总体X的样本 试求经验分布函数 10 Fx 解 对样本的数值按照从小到大重新排列如下 2 2 3 3