苏汝铿量子力学课后习题及答案chapter5.pdf

第五章 近似方法 典型例题分析 5 1 设哈密顿量在能量表象中的矩阵为 1 2 Eb bEa 1 用微扰法求能级至二级修正值 2 求准确地能级值 与 1 的结果进行比较确定微扰法的准确度及适用条件 解题思路 解法 1 和解法 2 有一点区别 H 是一样的 0 H有一点点不同 1 是利用非简 并定态微扰论公式求得能级至二级修正值 2 准确地求能级值 应从久期方程解出 再 把它展开成多项式 解法 1 1 体系的哈密顿量可写为 0 HH H 取 1 0 2 0 0 E H E 0 0 b H b 为微扰项 有非简并定态微扰论公式 体系能级的零级近似 0 11 E 0 22 E 能级的一级修正 1 111 0H 1 222 Ha 能级的二级修正 2 2 12 2 1 1212 Hb EEEE 2 2 21 2 2 2121 Hb EEEE 能级的二级近似为 2 11 21 b E EE 2 22 21 b Ea EE 1 2 准确的能级值由方程 1 2 0 Eb bEa 解出 其中 为能量本征值 从而得到 2 1221 2 21 14 1 2 b EEaEEa EEa i 2 当 21 EEa 且 21 EEb 时 将 2 21 2 21 4 1 b EEa EEa i 展开 2 21 2 21 4 1 b EEa EEa i 2 21 21 2 b EEa EEa 22 21 2 2121 22 bab EEa EEEE 代入 2 式后 22 11 2 2121 bab E EEEE 22 22 2 2121 bab Ea EEEE 3 3 式与 1 相比较可看出 准确度 2 2 21 ab E EE 微扰法使用条件 21 1 a EE 21 1 b EE 解法 2 1 取 1 0 2 0 0 E H Ea 0 0 b H b 能级的零级近似 0 11 E 0 22 Ea 能级的一级修正 1 111 0H 1 222 0H 能级的二级修正 2 2 12 2 1 1221 Hb EEaEaE 2 2 21 2 2 2121 Hb EaEEaE 所以 2 11 21 2 22 21 b E Ea E b E Ea E 4 2 当 21 2EEab 时 将 严格 解中 2 21 2 21 4 1 b EEa EaE i 展开 2 21 2 21 4 1 b EEa EaE i 24 21 3 2121 22 bb EEa EaEEaE 代入 1 式中 24 11 3 21 21 24 22 3 21 21 22 22 bb E Ea E Ea E bb E Ea E Ea E 5 5 式与 4 式比较 准确度 4 3 21 2 b E EaE 使用条件为 21 1 b EEa 由上面可以看出 解法 1 较解法 2 的准确度低 5 2 1 试证明在定态变分法中 对任意尝试波函数 x 求得基态能量 E 总是不低于 实际的基态能量 E 2 设一维势场为 4 V xx 今用变分法求粒子 质量为 m 在其中运动的基态能 量 问在下列尝试波函数中应选取哪一个 说明理由 并算出结果 a x e b 2 2 2x e c 2 2ax xe d 2 2 2 ax axbx e e 2 2ikxax e e 其中 a b k 等都是常数 解题思路 证 1 就是先把波函数按基态波函数展开 再应用一般的求平均值公式征得 2 先判断出哪一个波函数为尝试波函数 一维势场 4 V xx 具有空间反射不变性 即 0H p p 为宇称算符 所以能量本征态有确定的宇称 基态波函数应为偶函数 在所给尝试函数中 c d e 不满足此要求 不应取为尝试波函数 势场 V x 在有限 区域内处处连续 a 所示波函数在 x 0 处 一阶导数不连续 不满足此要求 由束缚态边 界条件和连续性条件可取 b 为尝试波函数 然后再依据变分原理得到基态的能量 解 1 设体系的包括在内的一组力学量完全集的共同本征态为 0 1 2 相应的能量本征值为 0 E 1 E 2 E 将任意尝试波函数 x 按其展开 得 nn n xcx EHdxdx nnnnnnn nnnn c cHdxxc c 2222 0 nnnnn nnnn cEcEcc 0 E 所以 0 EE 2 一维势场 4 V xx 具有空间反射不变性 即 0H p p 为宇称算符 所以能量本征态有确定的宇称 基态波函数应为偶函数 在所给尝试函数中 c d e 不满足此要求 不应取为尝试波函数 势场 V x 在有限区域内处处连续 a 所示波函数在 x 0 处 一阶导数不连续 不满足此要求 由束缚态边界条件和连续性条件可取 b 为尝试波 函数 2 2 2 x xe 其中 为变分参数 222 2 22 24 2 2 2 xx d Eex edx m dx 222 2 2 4224 2 xx xx edxedx m 2222 22 224 00 1 2 xx xxedxedx m 22 4 113511 222222m 22 4 3 44m 由 0 E 得 21 3 2 6 m 代入的表达式求得基态能量 2 1 3 0 2 36 8 m E m 5 3 一系统的哈密顿算符为 0 HHV 已知 0 E为 0 H的一个二重简并能级 当对应的本 征态取为 0 1 和 0 2 时 微扰矩阵是 62 23 V 1 求一级近似能量和正确的零级近似波函数 2 设在0t 时刻 系统处于状态 0 1 求在微扰作用下 某一时刻 t 跃迁到状态 0 2 中的几率 解法 1 1 由简并微扰论公式 能量的一级修正 1 E满足久期方程 1 1 62 0 23 E E 解出 1 1 2E 1 2 7E 简并解除 所以一级近似能量为 0 1 2EE 0 2 7EE 设正确的零级近似波函数为 0 a b 在正确的零级近似波函数 0 张成的两维子空间中 微扰矩阵 V 应是对角化的 其对角元 即为能量的一级修正 1 62 23 aa E bb 将 1 1 2E 代入 可求得 2 b a 由归一化条件 0 0 1 i 得到归一化的 正确的零级近似波函数为 0 1 1 1 25 同样可解出 1 2 7E 时 0 2 2 1 15 3 设 t 时刻体系的状态为 c t t d t 在由 0 1 和 0 2 为基矢张成的两维态空间中的体系的哈密顿算符为 0 0 0 62 23 E HHV E 所以 态 t 满足的薛定谔方程和初值条件为 0 0 0 62 23 0 1 0 0 t t cEc d i ddd E c d 为简化方程 令 00 6 1 1 i Etc tc e d td 代入薛定谔方程后可得到 11 111 2 23 ci d dicd 解上述一阶微分方程组 得 4 1 i ti t dAeBe 4 1 2 2 itit A cBee 其中 A B为待定常数 由初值条件 0 0 1 1 0 t 得 1 0 1c 1 0 0d 即 0 42 A B B A 解得 2 5 A 2 5 B 所以 0 4 6 4 41 55 22 55 i ti t i Et i ti t ee te ee 而 0 0 12 c t tc td t d t 因此 t时刻体系由 0 1 态跃迁到 0 2 态的几率为 2 2 4 12 2 5 i ti t Wd tee 8 1 cos5 25 t 解法2 由含时微扰论的跃迁几率公式 2 0 1 t i k kt kkkk WtHedt 将 12 2H 12 0 代入得 2 2 2 1 2 2 1 24Wtt 1 t 讨论 在解法1中 是严格求解含时间的薛定谔方程得到由 0 1 态跃迁到 0 2 态的几率 解法2是由微扰论的一级近似得到的由 0 1 态跃迁到 0 2 态的几率 但运用微扰近似处理 时必须满足微扰近似的条件 这可以严格解的展开式中看出 1 2 8 1 cos5 25 Wt 2 24 825 5 11 252 4 tt 2 24 4 25 4 3 tt 仅当是 略去高阶小量 保留到一级近似 其结果与微扰法相同 5 4在一维无限深势阱 0 0 0 x a x a x V 中运动的粒子 受到微扰 H 的作用 0 2 2 a bx a bx a H 讨论粒子在空间几率分布的改变 解题思路 首先把没有受到微扰 H 的作用时的能量本征值和本征函数写出来 再根据微扰 论修正公式得到波函数一级修正公式 从而得到粒子在空间几率分布的改变 解 一维无限深势阱中的粒子能量本征值和本征函数是 222 0 2 2 n n E ma 0 2 sin 0 n n x xa aa 其它的 0 0 n 其中m为粒子 为质量 n 1 2 3 微扰论的波函数一级修正公式为 1 0 0 0 nk k n nk k H n EE 计算矩阵元 2 0 2sinsin a bk xn x k H ndx aaa 2 2sinsin a a bk xn x dx aaa 利用积分公式 2 1 2sinsin S S k xn x dx aa 21 sin sin a knskns knaa 21 sin sin a knskns knaa 2 sinsin 22 baknakn k H n aknkn 当kn 为偶数时 0k H n kn 为奇数时 1 2 2 1 1 1 kn b k H n knkn i 1 2 22 1 2 22 4 1 4 1 k k bn k nk bk k nk i i 为奇 n为偶 为偶 n为奇 波函数的一级修正 1 2 2 322 2 1 2 2 322 2 8 1 2 sin n 1 8 1 2 sin n