第2章 习题解答.pdf

1 习题2详解 1 解验证是否满足下列两个条件 i p 2 1 0 ipi1 i i p 1 中的数列为随机变量的分布律 2 中的数列不是随机变量的分布律 因为 3 0 6 4 6 95 3 p 中的数列不是随机变量的分布律 这是因为 5 1 1 25 20 i i p 2 解依题意可能取到的值为 事件表示随机取出的 3 个球的最大号码为 3 则另两个球的只X3 4 5 3 X 能为 1 号 2 号 即 事件表示随机取出的 3 个球的最大号码为 4 因此另外 2 3 5 11 3 10 P X C 4 X 个球可在号球中任选 此时 同理可得 1 2 3 2 3 3 5 13 4 10 C P X C 2 4 3 5 16 5 10 C P X C 3 解令表示子弹剩余的数目 则可能取值 根据题意得XX0 1 2 3 4 2 4 0 7 3 0 3 0 70 21 2 0 30 70 063P XP XP X 4 3 1 1 0 30 70 0189 0 1 0 0081 i P XP XP Xi 的分布律为X 4 解要使成为某个随机变量的分布律 必须有 由此解得 i c 2 1 2 4 0 i i c 31 16 c 2 2 0 1 2 P XP XP XP X 31 28 4 1 2 1 1 31 16 3 15 1 2 22 PXP XP X 31 12 4 1 2 1 31 16 5 解可能取的值为 且 即的分布律为X3 1 2 111 3 1 2 326 P XP XP X X X345 P 10 1 10 3 10 6 X01234 P0 00810 01890 0630 210 7 X3 12 P 3 1 2 1 6 1 2 的分布函数X 0 3 1 31 3 5 12 6 1 2 x x F xP Xx x x 6 解可以看出取值为 且在每点取值的概率是该点的跳跃高度 所以X1 1 3 X 1 1 1 0 1 0 0 4 00 4P XFFFF 1 1 10 1 1 0 8040 4P XFFFF 3 3 3 0 3 1 1 0 80 2P XFFFF 所以其分布列为 7 解由于 因此 6 XBp 6 6 1 0 1 6 kkk P XKC ppk 由此可算得即解得 55 1 6 1 5 6 1 P XppP Xpp 55 6 1 6 1 pppp 2 1 p 此时 26 2 2 6 1115 2 2264 P XC 8 解设为 1000 辆汽车中出事故的次数 依题意 服从的二项分布 即XX0001 0 1000 pn 1000 0 0001 XB 由于较大 较小 因此也可以近似地认为服从的泊松分布 即 npX1 00001 01000 np 0 1 XP 所求概率为 01 0 10 1 0 10 1 2 1 0 1 110 9048370 0904840 004679 0 1 P XP XP Xee 9 解设为电话总机每分钟收到呼唤的次数 依题意 则X 4 XP 1 8 4 4 8 0 0298 8 P Xe 2 3 44 40 44 3 110 43350 5665 kk kk P Xee kk X 113 P0 40 40 2 3 10 解设为取消的人数 依题意 则X 4 XP 1 2 4 4 4 4 0 1953 4 P Xe 3 4 0 4 3 0 4335 k k P Xe k 3 4 5 44 60 44 6 110 78510 2149 kk kk P Xee kk 0 4 4 0 0 0183 0 P Xe 11 解 1 1 1 23 0 0 10 1 222 AAA f x dxAxdxx 2A 解得 密度函数为 其它0 102 xx xf 2 0 50 5 0 5 2 0 00 00 5 20 25PXf x dxxdxx 3 0 252 0 251 12 PXPXPX 12 0 251 200 9375xdxdx 12 解 因为 随机变量的密度函数为 F xf x X 1 1 00 0 00 0 xx x exxex x f x x 所以 11 1 1 1 1 1 12P XFee 13 解 1 由于 即 1 dxxf dxxf 1 33 3 3 1 0 33 0 3 0 K e K xdKedxKe xxx 得 于是的概率密度 3K X 0 0 0 3 3 x xe xf x 2 0 1 P X 1 0 dxxf7408 0 3 3 1 0 dxe x 3 由定义 当时 0 当时 F x x dttf 0 x F x0 x F x x dttf xx x edxe 33 0 13 所以 0 0 0 1 3 x xe xF x 14 解 方程有实根的条件是 2 10tt 2 4022 或 4 由于在上服从均匀分布 其密数度函为 1 6 1 16 5 0 x f x 其它 所以有实根的概率为 6 2 1 2 2 0 8 5 PPdx 15 解 使用寿命的密度函数为 X 1 12000 2000 0 0 0 x ex f x x 所以 11 1200020000 5 1000 1000 1000 2000 0 607 xx P xedxee 16 解 1 5323 25 1 0 5 0 5328 22 PX 10343 410 3 5 3 5 0 9996 22 PX 2 2 2 2 5 1 0 5 0 6977PXP XP X 3 1 3 1 0 0 5P XP x 2 由题意可知 即 查表可知 0 5P XcP Xc 3 0 5 2 c 3c 3 因为 可知 得 33 0 9 0 9 22 Xd P XdP 3 0 1 2 X 33 1 0 1 0 9 22 XX 查表可知 所以 1 29 0 90150 9 0 42d 17 解 设股票价格为 由题意可知 X 2 30 8 XN 1 4030 40 1 40 1 1 1 25 0 1056 8 P XP X 2 2630 26 0 5 0 3085 8 P X 3 可 设 股 票 价 格 为美元 由 题 意 知 即 查 表 可 知k 0 9P Xk 30 0 9 8 k 所以 1 29 0 90150 9 40 32k 18 解 1 2 Y5 2 147 P 0 10 20 30 30 1 5 19 解 由题意可知的概率密度为X 1 02 2 0 x f x 其它 函数 其值域为 单调且有唯一反函数 且 3 yg xx 0 8 3 xh yy 0 8 y 2 3 1 3 xh y y 得的概率密度函数为Y 2 3 2 3 11 1 08 08 2 3 6 0 0 Y x yy fyf yy 其它 其它 20 解 由题意可知的概率密度为X 2 02 00 x xe f x x 函数 其 值 域 为 单 调 且 有 唯 一 反 函 数 且 x yg xe 1 lnxh yy 1 y 得的概率密度函数为 1 xh yy Y 2ln13 1 2 2 0 0 0 y yeyyy f yf y 其它其它 21 解 1 先求的分布函数 注意到的值域是 因此 Y Y Fy 2 21YX 1Y 当时 1y 0 Y FyP YyP 当时 1y 2 11 21 22 Y yy FyP YyPXyPX 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 x yy X yy fx dxedx 再用求导的方法求出的密度函数Y 1 4 1 1 2 1 0 y YY ey fyFyy 其它 Z028 P 0 30 50 2 6 2 先求的分布函数 注意到的值域是 因此 Z Z Fz ZX 0Z 当时 0z 0 Z FzP ZzP 当时 0z Z FzP ZzPXzPzXz 2 2 1 2 x zz X zz fx dxedx 再用求导的方法求出的密度函数Z 2 2 2 2 22 0 0 2 0 0 z z ZZ ezez fzFzf x 其它其它 自测题2详解 一 1 2 0 5 3 0 5 0 8 4 0 3 5 0 6 6 3 P Xx 7 8 9 10 ln0 95 65 81 8 27 1 27 9 200 N 二 1 A2 D3 C4 B5 C 三 1 解 由题意知 0 0 0 40 4ln2 5 0 P Xee 所以 2 1 0 1 P XP XP X ln2 5 1 0 40 40 2335 1 2 解 1 11 11 0 0 1 1 1 1 1 bb f x dxkx dxk bxk b 1 11 1 1 0 5 2 1 0 75 1 0 75 2 bb P Xxbxkkx d 11 1 1 0 5 0 75 b k b 综上两式可推出2 1kb 3 解 85 1 85 P XP X 8565 1 1 2 0 0228 10 4 解 由题意可知的概率密度为函数 其值域为 X 1 11 2 0 x f x 其它 x yg xe 1 ee 单调且有唯一反函数 且 得的概率密度函数为 lnxh yy 1 yee 1 xh yy Y 7 1 1 2 0 eye yf y 其它 5 解 1 0 12 10 5