高等数学习题答案4.doc

四、导数的应用1. 验证函数 在上满足罗尔定理的条件，并求出相应的，使.解：在上连续，在上可导，且，显然满足罗尔定理的三个条件.，若令，则有.2. 下列函数在指定区间上是否满足罗尔定理的三个条件?有没有满足定理结论中的 ?解：，且连续、可导，满足罗尔定理中的三个条件. ，若令，则有.解：函数在点的导数不存在，故不满足罗尔定理的条件.解：函数在点不连续，故不满足罗尔定理的条件.3. 不用求出函数的导数，说明方程有几个实根，并指出它们所在的区间.解：，根据罗尔定理知：存在，使得;同理，根据罗尔定理知：存在，使得;又由于是二次方程，最多只有两个不相等的实根，故的两个实根分别为，.4. 验证拉格朗日中值定理对函数在区间上的正确性.解：割线的斜率， ，若令，则有.5. 已知函数在上连续，在内可导，且,试证：在内至少存在一点，使得证明：构造函数，显然在上连续，在内可导， 且，根据罗尔定理：在内至少存在一点，使得，进而得到.6. 若方程有一个正根,证明方程必有一个小于的正根.解：令， 方程有正根，即，同时，得到，根据罗尔定理，存在，使得，即必有一个小于的正根.7. 设,且,在上存在，证明在内至少存在一点，使解：，根据罗尔定理：存在，使得;，根据罗尔定理：存在，使得;由在上存在，得到在上连续且可导，又，根据罗尔定理知：存在，使得.8. 利用洛必达法则求下列极限.(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 9设=5,求常数m,n的值解：由，得到; 由，得到.10设f(x)具有二阶连续导数，且f(0)=0,试证g(x)= 可导，且导函数连续解：当时，显然连续;当时，; 在点的函数值和极限值相等，故在点也连续;综上得到可导，且导函数连续.11求下面函数的单调区间与极值(1) 解：单调增区间为，; 单调减区间为; (2)解：单调增区间为; 单调减区间为; 12. 试证方程只有一个根.解：构造函数，显然连续. ， 因此，根据零点定理：存在，使得. 又，只在一些孤立点上的值为，因此严格单调递减，只能存在唯一的一个根.13. 已知，若f(0) = 0, f (x)在内存在且单调增加，证明在内也单调增加.解：令，则， 其中 由于函数在单调递增，故，即单调增加.14.证明下列不等式(1) 1+x, x0； 解：构造函数，即函数单调增加，且，则时恒成立，即证.(2) x-ln(1+x)x, x0解：构造函数 构造函数15. 试问为何值时，在处取得极值?是极大值还是极小值?并求出此极值.解：，令，则; ，该点是极大点.16.讨论下列函数的凸性，并求曲线的拐点：(1) 解：， 当时，函数下凸;当时，函数上凸;拐点为.(2) 解：(3) 解：17.利用函数的凸性证明下列不等式：(1) ， xy解：构造函数，得到函数下凸;根据下凸的定义有：，即.(2) xlnx+ylny(x+y)ln,x0,y0,xy解：构造函数18 当a，b为何值时，点(1，3)为曲线y=a+b的拐点 解：，复习题四 一、填空1设，则在之间满足拉格朗日中值定理结论的.2设函数在上连续，内可导，则至少存在一点，使 成立3的单增区间是，单减区间是.4若点为曲线为拐点，则 ，5曲线的水平渐近线为，铅垂渐近线为二、选择1函数具有下列特征：当时，(0,1)oyx，则其图形为 B yx(0,1)o（A） （B） ox(0,1)yoyx(0,1)（C） （D） 2设在上连续，且不恒为常数，则在内 A （A）必有最大值或最小值 （B）既有极大值又有极小值 （C）既有最大值又有最小值 （D）至少存在一点，使三求极限解：洛必达法则得到极限为.四证明