线性代数第一版习题4答案.doc

习题4 P1251设3（1-）+2（2-）=5(3+) 其中，1=，2=，3=。求解：由3（1-）+2（2-）=5(3+)31-3+22+2=53+5(5+3-2) =31+22-536=31+22-53=1+2+3=+-=+-=2设=,=,=,求-,3+-2,解：-=-=.3+-2=3+-2=+-=3将下列各题中的向量用其余向量线性表示。（1） =，1=，2=，3=，4=。（2） =，1=，2=，3=，4=。解：设有数，使1+2+3+4=即 （1，2，3，4）=得线性方程组解此线性方程，对增广矩阵作行初等变换，化成行最简形矩阵=B可见=3，因此向量B可由1，2，3，4线性表示。由行最简形，有 即 令=C，（C为任意实数）有即从而得表示式=（1，2，3，4）=（1，2，3，4）= ,其中，.取C=0，则有=31+53。（2）设有数，使1+2+3+4=即 （1，2，3，4）=得线性方程组： 。解此线性方程组，对增广矩阵作行初等变换，化成行最简形矩阵，可见R(A)=R(A非）=4，因此向量可由1，2，3，4线性表示，由行最简形，有从而得表示式：=（1，2，3，4）=（1，2，3，4）=4问下列向量组是线性相关还是线性无关，并说明理由。（1）=，=；（2）=，=，,=，=（3）=，=，；（4）=，=，=。解：对由向量组，构成矩阵A=(,)施以行初等转换，化为阶梯型矩阵，求A的秩。A=.因为R(A)=1，小于向量组中所含向量个数，所以向量组，线性相关，因为对应分量成比例，（2）向量组，线性相关，因为向量组的个数m=4，维数n=3.向量组的个数维数，故向量组线性相关。P101 推论2（3） 对由向量组，构成矩阵A=（，）施以行初等变换，化为行阶梯形矩阵，求矩阵A的秩A= 因为R（A）=3，等于向量组中所含向量的个数，故向量组线性无关。法2： =30 向量组线性无关 P101 推论1（4） 对由向量组，构成的矩阵A=（，）施以行初等变换，化为行阶梯形矩阵，求矩阵A的秩A=因为R（A）=3，等于向量组中所含向量的个数，故向量组线性无关。5.问a取什么值时下列向量组线性相关？ ， ，解：法一：对由向量组构成的矩阵A=（）施行行初等变换，化为行阶梯形矩阵，求矩阵A的秩。A= 所以当a=-1及a=2时，R(A)=2，小于向量组中所含向量的个数，此时，向量组线性相关。法二：设由构成的矩阵为A，则= = -（a+1）(a-2)=0所以当a=-1及a=2时，R(A)=2，小于向量组中所含向量个数，此时，向量组线性相关。6. 设向量组线性相关，向量组，线性无关，证明（1） 能由，线性表示，且表示式唯一。（2） 不能由，线性表示。证明：（1），线性相关 有不全为零的数，使+=0.下证0.若=0，则，不全为零，并且+=0. ，线性相关，从而，也线性相关，矛盾. 0.从而有=（-）+（-）.可由，线性表示，且表示式唯一.（2） （反证法） 若可由，线性表示，则有一组数，使=+.而由（1）知，可由，线性表示，从而有一组数，使=+. 从而有：=（+）+ =（+）+（+）. (+)+(+)=0.而 +，+，-1为不全为零的数，因此，线性相关.矛盾，所以不能由，线性表示。7. 设1=1+2，2=2+3，3=3+4，4=4+1，证明向量组1，2，3，4线性相关 。证明一：1-2+3-4=(1+2)-(2+3)+(3+4)-(4+1)=0.由定义知向量组1，2，3，4线性相关.证明（法二）：由题设（1，2，3，4）=（1，2，3，4）记作B=AK.=-=1-1=0. 故R(K)4.由矩阵秩的性质可知R(1，2，3，4)R(K)4.由定理知，向量组1，2，3，4线性相关.证明(法三)：设有x1,x2,x3,x4,使x11+x22+x33+x44=0即 x1（1+2）+x2（2+3）+x3（3+4）+x4（4+1）=0也即 （x1+x4）1+（x1+x2）2+（x2+x3）3+（x3+x4）4=0考察线性方程组 ，因为齐次线性方程组系数矩阵的行列式=0. 因而有非零解.即向量等式x11+x22+x33+x44=0有非零解，故向量组1，2，3，4线性相关.8.9. 求向量组的秩及其一个最大无关组。（1） ， ，（2） ， ， ，解：（1）设构成矩阵对施以行初等变换，化为行阶梯形矩A= 可知K(A)=3,所以向量组，的秩为3，A的一个最高阶非零子式为 =150(2) ,.解：设构成矩阵A=，对A施以行初等变换，化A为行阶梯型矩阵。A=B可知R(A)=2，所以向量组的秩为2。B中的二阶子式D=2.因此，是B的列向量的一个最大无关组，从而，是A中的列向量的一个最大无关组。10、问a取何值时，向量组的秩等于3， ， 解：设构成矩阵A=，对A施以行初等变换，化A为行阶梯型矩阵。A=故当且时，R11.求向量组的一个最大无关组，并将其余向量由此最大无关组线性表示。（1）=, = (2)解（1）设，构成矩阵A=（），对A施以行初等变换，可得：A=B可知R（A）=3，所以向量组D=因此， 由此可知。继续施以行初等变换，化为行最简形矩阵，B在矩阵R中且所以，A的列向量也有线性关系：(2)设，构成矩阵A=（），对A施以行初等变换，可得：A=B可知R（A）=2,所以向量组的秩为2。B中2阶子式D=-20因此，是B的列向量组无关组，从而是A的列向量组的一个最大无关组。继续施以初等行变换，化为行最简矩阵，B=R在矩阵R中，是列向量组的最大无关组，且所以，A的列向量也有关系式：12. 设是一组n维向量，已知n维单位坐标向量能由它们线性表示，证明线性无关。证明：由题可知， ，有E=AK.从而n=R(E)=maxR(A),R(K)=R(A)=n得R(A)=n,从而，.，线性无关。13设向量组B：，., 能由向量组A：，线性表示为 （）=（）K， 其中，K为sr矩形，且A组线性无关，证明B组线性无关的充分必要条件是矩形K的秩R（K）=r。证明：（法一）记A=（），B=（），则有B=AK 必要性：设向量组B线性无关，知K(B)=r.又由B=AK,知 R(K)R(B).但K含r列，R(K)r，于是 r=R(B)R(K)r,即R(K)=r,K为列满秩矩阵。充分性：设R(B)=r,要证B组线性无关.由于 =0 =0 =0 (因R(A)=S) =0 (因R(K)=r) 因此，向量组B线性无关。（法二）由=AK,因R(A)=S. A为列满秩矩阵，知R(B)=R(K)于是，B组线性无关R(B)=rR(K)=r。(法三) 线性无关，即()=0 只有零解（）K=0只有零解，线性无关K=0只有零解R(K)=r。14.设向量组，证明向量组与秩相等。证明：由题设 （）=（）记B=AK,(K)0，K可逆。从而有（）=（），记A=B,向量组与等价，从而秩相等。15.设四阶方阵A=()，B=(),如果R(A)=4，试证明齐次线性方程组B=0有非零解。证明：齐次线性方程组B=0有非零解矩阵B的秩R(B)4B的四个列向量线性无关。设有数，使 ，即有，由题设R(A)=4,所以向量组线性无关，从而得： （线性无关定义）因为齐次线性方程组系数矩阵的行列式 =16.求齐次线性方程组的一个基础解系，P113.例4.13 知R（A）=24。基础解系，有两个线性无关的解构成。原方程组的同解线性方程组为：分别取代入上式，得：.合在一起得齐次线性方程组的基础解系： 从而方程组的通解为： （2）对系数矩阵A施以行初等变换，化矩阵A为行最简形矩阵。知R（A）=23，基础解系由一个解组成，原方程组的同解方程为：取得齐次方程组的基础解系为：从而得方程组的通解为： （3） 对系数矩阵A施以行初等变换，化矩阵A为行最简形矩阵。知R（A）=24，基础解系有两个线性无关的解组成，原方程组的同解方程为：分别取代入上式得：合在一起得齐次线性方程组的基础解系为：从而得方程组的通解为：（4）对系数矩阵A施以行初等变换，化矩阵A为行最简形矩阵。知R（A）=24,基础解系，由两个线性无关的解组成，原方程组的同解方程为：分别取 代入上式，得：合在一起得齐次线性方程组的基础解系：从而得方程组的通解为：17.求非齐次线性方程组的通解。（1） （2）解：（1）对增广矩阵施以行初等变换，化为行最简形矩阵。可见R（A）=3，故原方程组有唯一解，原方程组的同解方程为 故方程组的解为（2）对增广矩阵施以行初等变换，化为行最简形矩阵。可见R（A）=34，故原方程组有穷解，原方程组的同解方程为取x4为自由未知数，并令x4=0，代入上式，得方程组的一个特解： 原方程组的导出组的同解方程组为令x4=k，得导出组的通解为，其中是其导出组的一个基础解系。导出组的通解为所以非齐次线性方程组的通解为 即。18.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3。已知是它的三个解向量，且求该方程组的通解。解：设方程组为Ax=b,因为R（A）=3，所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系含1个向量，即Ax=0的任一非零解均是一个基础解系。则 所以19.设矩阵A=向量的通解。解：（法一）因为故而所以R（A）=3，从而方程Ax=0的解向量个数为1，由所以是Ax=0的一个基础解系。又因为所以的一个特解。所以方程Ax=： （法二）：令 所以即 （）即 因为解方程组可得：，的通解。20. 设a=证明：三直线相交于一点的充分必要条件为：向量a,b线性无关，且相量组a,b,c线性相关,证明：令方程组可写成：则三直线相交于一点 向量组a,b线性无关，且向量组a,b,c线性相关.21. 设n阶方阵A满足A=A，E为n阶方阵，证明： 证明：而由 所以。所以 22. 设A为阶n矩阵(n)，,证明证明：（1）当R（A）=n时，所以R（）（2）当R（A）=n-1时，A至少有一个n-1阶子式不为零，从而 所以，另外，R（A）=n-1， 则所以（3）当23. 设问解： 有 （2）任意 24. 试证：由 所生成的向量空间就是。证明，设向量组令 A则所以A可逆，从而任意. 令则.取25