初一同步辅导(数学)-相交与平行-第3周.doc

平行线与相交线【学习目标】1 熟练掌握对顶角，邻补角及垂线的概念及性质，了解点到直线的距离与两平行线间的距离的概念；2. 能利用平行线的判定与性质定理，进行图形的推理证明；3. 了解命题的概念及构成，并能通过证明或举反例判定命题的真假；4. 了解平移的概念及性质.【知识网络】一、重难点要点梳理：【知识点一、相交线】1.对顶角、邻补角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表：图形顶点来源:边的关系大小关系对顶角121与2有公共顶点1的两边与2的两边互为反向延长线对顶角相等即1=2邻补角有公共顶点3与4有一条边公共，另一边互为反向延长线.邻补角互补即3+4=1802.垂线及性质、点到直线的距离（1）垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作：“ ABCD，垂足为O.”（2）垂线的性质：垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记).垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：POAB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长.【知识点二、平行线】1平行线的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行判定方法2：内错角相等，两直线平行判定方法3：同旁内角互补，两直线平行2平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.3两条平行线间的距离如图3，直线ABCD，EFAB于E，EFCD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离.要点诠释：（1）直线ABCD，在直线AB上任取一点G，过点G作CD的垂线段GH，则垂线段GH的长度就是直线AB与CD间的距离.（2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离.（3）如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同.【知识点三、命题及平移】1. 命题：判断一件事情的语句，叫做命题每个命题都由题设、结论两部分组成.题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项.来源:2. 平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移要点诠释：平移的性质：（1）平移后，对应线段平行（或共线）且相等；（2）平移后，对应角相等；（3）平移后，对应点所连线段平行且相等；（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.二、典例精析类型一、相交线1.如图，直线AB、CD、EF相交于点O，那么互为对顶角（平角除外）的角共有 对，它们分别是 ，共有 对邻补角.【思路点拨】根据邻补角定义和对顶角定义，每一个顶点处有四个角，可以组成四对邻补角和两对对顶角，而本题图形中，三个顶点重叠在一起，所以再乘以3即可【答案】6对,AOC与BOD，AOF与BOE，COF与DOE, BOC与AOD，BOF与AOE, DOF与COE ,12对【学法总结】两条直线相交得到的四个角中，共有2对对顶角，4对邻补角. 找对顶角或邻补角，先从某一个角开始，顺时针或逆时针旋转，这样做，既不漏也不重.举一反三：【变式1】如图所示，已知AOD=BOC，请在图中找出BOC的补角,邻补角及对顶角.【答案】解： 因为BOCAOC=180（平角定义）, 所以AOC是BOC的补角. 因为AODBOD=180（平角定义）, AOD=BOC（已知）, 所以BOCBOD=180.所以BOD是BOC的补角所以BOC的补角有两个：BOD和AOC.而BOC的邻补角只有一个AOC，且BOC没有对顶角.【变式2】已知：如图，直线a、b、c两两相交，且ab，123，求4的度数.【答案与解析】解：ab,2190.又123，9023，345,又3与4互为邻补角，所以3+4180即45+4180.所以4135.【学法总结】涉及到角的运算时，充分利用已知条件和隐含条件（平角、余角、补角、对顶角等）是解题的关键类型二、平行线的性质与判定3.如图，已知ADE = B，1 =2，那么CDFG吗？并说明理由.【答案与解析】解：平行，理由如下：ADE=B，所以DEBC（同位角相等，两直线平行），1=BCD（两直线平行，内错角相等）.又1=2（已知），BCD=2.CDFG（同位角相等，两直线平行）.【学法总结】反复应用平行线的判定与性质，见到角相等或互补，就应该想到判断直线是否平行，见到直线平行就应先想到角相等或角互补.举一反三：【变式1】补全证明过程：已知：如图，ABCADC，BF、DE分别平分ABC与ADC且13求证：ABDC证明：ABCADC，( )又BF、DE分别平分ABC与ADC， ( )_( )13，( )2_(等量代换)_( )【答案】证明：ABCADC，( 等式的性质 )又BF、DE分别平分ABC与ADC， ( 角平分线的性质 )_1_2_( 等量代换 )13，( 已知 )2_3_(等量代换)_AB_DC_( 内错角相等两直线平行)【变式2】如图，已知1+2=180，3=B，试判断AED与ACB的大小关系，并说明理由【答案】AED=ACB，理由如下：12180，又14180,24.ABEF（内错角相等，两直线平行）.53.又3=B,5B.DEBC（同位角相等，两直线平行）.AED=ACB(两直线平行,同位角相等).【变式3】如图所示，ABCD，1B，2D，试说明BEDE 【答案与解析】 解：过E点作EFAB， ABCD(已知)， EFCD 4D(两直线平行，内错角相等) 又D2(已知)， 42(等量代换) 同理，由EFAB，1B，可得31 1+2+3+4180(平角定义)， 1+23+490， 即BED90故BEDE【学法总结】这是初学几何时较为复杂的题目，通常是过“拐点”(拐角处的顶点)作平行线为辅助线，把一个大角分成两个角，分别与两个已知角建立起了联系。解此题的关键是如何构造平行关系，即过哪一点作哪条直线的平行线，只有通过适当的练习才能逐步达到熟练解题的目的类型三、命题及平移4.(佛山中考)如图所示，请你填写一个适当的条件：_，使ADBC【思路点拨】欲证ADBC，结合图形，故可按同位角相等、内错角相等和同旁内角互补两直线平行来补充条件【答案】FADFBC，或ADBCBD，或ABC+BAD180.【解析】 解：本题答案不唯一，如：利用“同位角相等，两直线平行”，可添加条件FADFBC；利用“内错角相等，两直线平行”，可添加条件ADBCBD；利用“同旁内角互补，两直线平行”，可添加条件ABC+BAD180【学法总结】这是一道开放性试题，分清题设和结论：结论： ADBC，题设可根据平行线的判定方法，逐一寻找即可.举一反三：【变式】下列命题真命题是( )A互补的两个角不相等 B相等的两个角是对顶角C有公共顶点的两个角是对顶角 D同角或等角的补角相等【答案】D5.如图(1)，线段AB经过平移有一端点到达点C，画出线段AB平移后的线段CD【思路点拨】连接AC或BC便得平移的方向和距离【答案与解析】解：如图(2)，线段CD有两种情况：(1)当点A平移到点C时，则点D在点C的下方，因此下边线段CD即为所求；(2)当点B平移到点C时，则点D在点C的上方，上边线段CD即为所求【学法总结】平移是由平移的方向和距离决定的本题中未指明哪一端点(A还是B)移动到点C，故应有两种情况：即点A平移到点C或点B平移到点C举一反三：【变式】下列说法错误的是（ ）A平移不改变图形的形状和大小B平移中图形上每个点移动的距离可以不同C经过平移，图形的对应线段、对应角分别相等D经过平移，图形对应点的连线段相等【答案】B来源:类型四、实际应用6.如图，107国道上有一个出口M，想在附近公路旁建一个加油站，欲使通道最短，应沿怎样的线路施工？来源:【答案与解析】解：如图，过点M作MN，垂足为N，欲使通道最短，应沿线路MN施工.【学法总结】灵活运用垂线段最短的性质是解答此类问题的关键.名校真题一、选择题1(苏元二中)已知，如图所示，ABCD，垂足为O，EF为过点O的一条直线，则1与2的关系一定成立的是( ). A相等 B互余 C互补 D互为对顶角2一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( ) .A第一次向左拐30，第二次向右拐30.B第一次向右拐50，第二次向左拐130.C第一次向左拐50，第二次向左拐130.D第一次向左拐50，第二次向右拐130.3（省实天河）已知：如图，ABDE，E=65，则B+C的度数是( ) . A135 B115 C65 D354两条平行直线被第三条直线所截时，产生的八个角中，角平分线互相平行的两个角是（ ）.A同位角 B同旁内角 C内错角 D. 同位角或内错角5. （47中）如图所示，bc，ab，1=130，则2=（ ） A30 B. 40 C. 50 D. 60 6. （真光中学）如图，已知A=C，如果要判断ABCD，则需要补充的条件是（ ） AABD=CEF BCED=ADBABCDE CCDB=CEF DABD+CED=180(第5题) (第6题) (第7题)7.如图，则AEB=（ ） A B C D ABCDEFG8. （华师附中）把一张对面互相平行的纸条折成如图所示，EF是折痕，若EFB=32，则下列结论不正确的有（ ）A. B. AEC=148 C. BGE=64 D. BFD=116二、填空题(广州二模)如图所示，ABCD，点E在CB的延长线上若ECD110，则ABE的度数为_ 来源:10. (宁波一模)如图所示，C岛在A岛的北偏东50方向，C岛在B岛的北偏西40方向，则从C岛看A、B两岛的视角ACB等于_ 来源:11. (广雅)如图所示，ABCD，MN交AB、CD于E、F，EG和FG分别是BEN和MFD的平分线，那么EG与FG的位置关系是 12（白云广雅）如图，一块梯形玻璃的下半部分打碎了，若A125，D107，则打碎部分的两个角的度数分别为 .13.如图所示，已知ABCD，BAE3ECF，ECF28，则E的度数 14.如图，某个窗户上安装有两扇可以滑动的铝合金玻璃窗ABCD和A/B/C/D/，当玻璃窗户ABCD和A/B/C/D/重合时窗户是打开的；反之窗户是关闭的。若已知AB10，BC6，重叠部分四边形A/B/CD的面积是10，则该窗户关闭时两玻璃窗户展开的最大面积是 .三、解答题15如图所示，直线AB、MN分别与直线PQ相交于O、S，射线OGPQ，且OG将BOQ分成1:5两部分，PSN比它的同位角的2倍小60，求PSN的度数16. 如图所示，已知150，2130，450，6130，试说明ab，bc，de，ac17. 如图所示，已知ABCD，1110，2125，求x的大小 【答案与解析】一、选择题1. 【答案】B； 【解析】因为ABCD，所以1+290，因此1与2的关系是互为余角2. 【答案】A； 【解析】首先根据题意对各选项画出示意图，观察图形，根据同位角相等，两直线平行，即可得出答案.3. 【答案】C； 【解析】CFAE65，再由三角形的内角和为180，可得答案.4. 【答案】D； 【解析】三线八角中，角平分线互相平行的两角是同位角或内错角，互相垂直的两角是同旁内角.5. 【答案】B； 【解析】反向延长射线a交c于点M，则290（180130）40.6. 【答案】B；.【答案】B； 【解析】EAB752550.【答案】B 二、填空题9. 【答案】70； 【解析】因ABCD，所以ABCECD110，所以ABE180-1107010.【答案】90；【解析】过点C作CDAE，由AEBF，知CDAEBF，则有ACDEAC50，BCDCBF40，从而有ACBACD十BCD50+409011.【答案】垂直； 【解析】 解：EGFG，理由如下： 来源: ABCD， BEN+MFD180 EG和FG分别是BEN和MFD的平分线， GEN+GFM(BEN+MFD)18090 EGF180-GEN-GFM90 EGFG12【答案】55，73； 【解析】如图，将原图补全，根据平行线的性质可得答案。.13.【答案】56；【解析】来源:数理化网解：过点F作FGEC，交AC于G， ECFCFG， ABCD， BAEAFC 又 BAE3ECF，ECF28， BAE32884 CFG28，AFC84 AFGAFC-CFG56 又 FGEC， AFGE E5614.【答案】110；三、解答题15.【解析】 解：因为OGPQ(已知)， 所以GOQ90(垂直定义)， 因为BOG:GOQ1:5(已知)， 所以BOG18，所以BOQ108 因为POB+BOQ180(补角定义)， 所以POB180-BOQ180-10872 因为PSN2POB-60(已知)， 所以PSN272-6084 点拨：此题的关键是找出要求的PSN与题中的各已知量的关系来源:16.【解析】解：因为150，2130(已知)， 所以1+2180 所以ab(同旁内角互补，两直线平行) 所以3150(两直线平行，