高等数学(B)(1)第三单元辅导.doc

高等数学（B）（1）第三单元辅导一、导数与微分1 导数概念导数概念是微积分最重要的概念之一，读者应从下列几方面加以理解。（1）导数定义的实质导数是函数在处的变化率（即瞬时变化率），它反映了函数在处相对于自变量变化的快慢程度。例如，变速直线运动的瞬时速度，反映了质点在时刻，位移相对于时间变化的快慢，在自然科学和工程技术的许多问题中，都要涉及到变化率的概念（即导数概念）。 （2）三种等价形式导数定义中，若令，则，且当时，有，从而 这就是函数在点处的导数的一种等价定义。另一种等价形式是，在导数定义中令，则就是。从而又有 的不同形式为讨论不同问题提供了多种手段。（3）导函数上面定义的是函数在点处的导数概念。如果函数在区间，内任意一点处都可导，就说函数在区间，内可导。这时，对于每一点，都有导数值与之对应，所以也是的函数，称为的导函数，也可记作 ，或计算导函数的公式为 显然，知道了导函数，要求函数在处的导数只要把代入导函数中去求值就行了。所以，函数在处的导数 实际上就是导函数在处的值。导函数也简称为导数。（4）导数的几何意义函数在处的导数就是曲线在对应点处的切线的斜率。根据上述导数的几何意义，得到曲线在点处的切线方程和法线方程分别为： 当时，法线平行于轴，其方程为 当曲线在点处的切线平行于轴时，法线平行与轴，其方程为 2 微分概念 （1）微分定义的实质在自然科学与工程技术中，常会遇到于导数密切相关的一种问题：在运动或变化过程中，当子变量有一个微小的改变量时，要计算相应的函数改变量。设随均匀变化，即，则函数的改变量与自变量的改变量之间成简单的线性（正比）关系： 对于一般的函数，与之间的关系是比较复杂的，但是能否用线性关系去近似呢？近似后所产生的误差有怎样呢？现在就可导函数来研究这个问题。当函数在可导时，有 或写成 上式表明，是当时的无穷小，因此写为 即 其中为当时的无穷小，可见，是由两项之和构成，其中第一项与成线性关系，且当，时，它是的同阶无穷小；而第二项，由于 （）故它是的高阶无穷小。这就表明：当充分小，且时，第二项的绝对值比第一项的绝对值要小得多。从而与成线性关系的构成了的主要部分，简称为的线性主部。由上面分析，可以看出，如果取作为的近似值，即不但得到了与之间的近似线性关系，而且还可以知道近似后的误差是的高阶无穷小。对于的线性主部（这就是微分定义的实质）， 函数在的微分可以写成=当函数在有微分时，我们说在可微。当在区间内的每一点都可微时，我们就说在该区间内可微，这时，上述微分表达式中，的下标可以去掉，写成 =由微分定义可知，一个可微函数一定可导；同时，一个可导函数也一定可微，因为求出了导数后，只要乘上，就是相应的微分。因此，可导是可微的充要条件。引入微分后，导数也叫做“微商”，即函数的微分与自变量的微分之商。（2）微分的几何意义图2中，和是曲线上邻近的两点，是曲线在点处的切线，它的倾角为。由图容易得：=它表示，当自变量有改变量时，曲线在对应点的切线上纵坐标的改变量就是微分。3 导数与微分运算（1）显函数的微分法求显函数的导数或微分，只要直接应用和、差、积、商及复合函数的求导法（或微分法）即可。（2）复合函数微分法复合函数求导时，先要搞清复合关系，可以“由外往里层层剥”地设置中间变量。4 高阶导数函数的导数的导数，叫做的二阶导数，记作 ，或通常把二阶和二阶以上的导数称为高阶导数。求高阶导数只要反复地用求一阶导数的方法。二、导数的应用 前面我们研究了导数和微分概念，确立了微分法。这节将应用导数来研究函数及其图像的性质（包括函数的增减性、凹凸性、极值等），并运用这些性质解决最大（小）值问题。因此，它的重点是“应用”，应用时要注意各种条件与结论（包括必要条件、充分条件等），以及各类问题的解题步骤。我们知道，函数的导数表示函数在一点处（瞬时）随自变量变化快慢的程度。利用它，可以直接研究函数及其图像在一点处的变化性质（例如瞬时速度、切线斜率等）。为了应用导数研究函数在区间上的变化性质，先要熟悉微分学的中值定理。1 中值定理微分学中有费马引理、罗尔定理和拉格朗日中值定理。拉格朗日定理 如果函数满足：（）在闭区间，上连续；（）在开区间，内可导，则在，内至少存在一点，使 需要注意的是，拉格朗日定理并没有给出求值的具体方法，它只是肯定了值的存在，并且至少有一个。如图3中的函数，在，有与两个。拉格朗日定理的意义是：建立了函数在区间，上的改变量与函数在区间，内某一点处的导数之间的关系，从而为用导数去研究函数在区间上的性质提供了理论基础。2 用导数研究函数的性质为了使论述方便，我们将使用记号和，它们分别表示开区间，和闭区间，。函数单调性的判别法。设在区间上连续且在区间上可导，则（1） 如果函数在区间上满足，则函数在区间为递增函数；（2） 如果函数在区间上满足 ，则函数在区间为递减函数。（3） 如果函数在区间上满足 ，则函数在区间为常数。3曲线的上下凹性函数曲线的向上凹或向下凹、曲线的拐点可以用函数的二阶导数来确定。设在区间上连续且在区间上可导，则（1） 如果函数在区间上满足，则函数在区间为递增函数，函数曲线上凹；（2） 如果函数在区间上满足 ，则函数在区间为递减函数，函数曲线下凹。4局部极值性我们说在点达到极大值，指的是在的领域内为最大， 同样，在点达到极小值，指的是在的领域内为最小， 函数的极大值和极小值概念是局部性的。如果是函数的一个极大值（或极小值），那只是就点附近一个局部范围来说，是函数的一个极大值（或极小值），如果就函数整个定义域来说，不见得是函数极大值（或极小值）。我们在微分中值定理一节曾经提到，如果函数可导，并且点是它的极值点，那么点必定是它的驻点，但是函数的驻点未必是它的极值点。如函数，点=0是它的驻点，但是在内函数是单调增加的，所以点=0不是它的极值点，可见，函数的驻点只是可能的极值点。此外，函数在它不可导点处也可能取得极值，如函数在点=0处不可导，但是在该点取得极小值。最大值与最小值现在设函数在闭区间，上连续，在开区间，可导，根据闭区间上连续函数的性质可知，函数在闭区间，的最大值、最小值必定存在；其次，如果最大值或最小值在开区间，内的某一点取得，那么这个最大值或最小值必定是函数的一个极大值或极小值。于是，点必定为函数的驻点；最后，函数的最大值或最小值也可能是在或处取得。我们通过一个例子来看一看最大值或最小值的求法过程。例： 求函数在闭区间，上的最大值与最小值。解 首先求函数的导数。 可见，在，内是的驻点，又，是的不可导点。由于=2，=，=0，=，可见，在时取得最小值0，在时取得最大值。5洛必达法则 用洛必