第十届小机灵杯数学竞赛2011_年辅导资料五年级综合练习.pdf

第十届小机灵杯数学竞赛 2011 年辅导资料 五年级综合练习 5 城隍喵 第十届小机灵杯数学竞赛 2011 年辅导资料 五年级综合练习 第 1 题 22222222222 4084074064054044034024321 分析与解 平方差公式 22 ababab 方法一 22222222222 4084074064054044034024321 222222222222 4084064074054044024034014231 408406408406407405407405 4044024044024034014034014242313 1 4084062407405240440224034012422312 40840740640540440340240143212 140840822409408166872 方法二 22222222222 4084074064054044034024321 222222222222 40840740640540440340243210 2222222222222 408407406405404403402543210 2 408407406407406405404405404403402403402 545432321010 2 408407406140540414034021541321101 2 408407406405404403402543210 2 4084074064054044034024014003996543210 第十届小机灵杯数学竞赛 2011 年辅导资料 五年级综合练习 5 城隍喵 22 40840700021040840721 2 4084084084081408409166872 第2题 在自然数中 恰好有3个约数的两位数共有 个 分析与解 一个自然数有3个约数 这个约数分解质因数的形式为 2 p p 为质数 因为 2 39 2 416 2 981 2 10100 所以49p 5p 或7p 所以恰好有3个约数的两位数共有2个 2 525 2 749 第3题 2010120109 11111 99999 个个 的乘积中含有 个偶数数码 分析与解 20101201012010120101201092010020100 11111 9999911111100000111111 10000011111 1 个个个个个个个 2010120101200912010020090 111110000011111111110888889 个个个个个 2010120109 11111 99999 个个 的乘积中含有120092010 个偶数数码 第4题 两个数的最大公约数是12 最小公倍数是240 这两个数的差最大是 分析与解 如果两个正整数中如果某个数是另一个数的约数 那么这个数就是这两个数的最大公因数 如果两个正整数中如果某个数是另一个数的倍数 那么这个数就是这两个数的最小公倍数 当a是b的倍数 b是a的约数时 a与b的最大公约数 a bb a与b的最小公倍数 a ba 这两个数最大是240 最小是12 这两个数的差最大是24012228 第十届小机灵杯数学竞赛 2011 年辅导资料 五年级综合练习 5 城隍喵 第5题 1 2 3 99 100 这100个数中 除以7余数不为0的数的和是 分析与解 1007142 1 2 3 99 100 这100个数中 除以7余数为0的数有14个 7 17 7214 7321 7 1391 7 1498 1 2 3 99 100 这100个数中 除以7余数为0的数的和为 7 172737 137 147123131471 14142735 1 2 3 99 100 这100个数的和为 123991001 10010025050 1 2 3 99 100 这100个数中 除以7余数不为0的数的和是50507354315 第6题 20108ab a b均为正整数 a有 种不同的取值 分析与解 因为20108ab 所以82010ab 201082002ab 所以a是2002的约数 又因为除数大于余数 即8a 所以a是2002大于8的约数 把2002分解质因数 200227 11 13 2002有222216 个约数 2002不大于8的余数有3个 1 2 7 所以a有16313 种不同的取值 a可以取11 13 14 22 26 77 91 143 154 182 286 1001 2002 第十届小机灵杯数学竞赛 2011 年辅导资料 五年级综合练习 5 城隍喵 第7题 甲 乙 丙 丁四个旅行团分别有游客69人 85人 93人 99人 现在要把这四个旅行团分别进行分组 使每组都是A名游客 以便乘车前往参观游览 已知甲 乙 丙三个旅行团分成每组A人的若干组后 所 剩的人数都相同 那么 丁旅行团分成每组A人的若干组后还剩 人 分析与解 因为甲 乙 丙三个旅行团分成每组A人的若干组后 所剩的人数都相同 即 698593 modA 所以 8569160 modA 938580 modA 即 16A 8A 所以 8A 所以1A 或2或4或8 当1A 时 不存在剩下的游客 当2A 时 992491 丁旅行团分成每组2人的若干组后还剩1人 当4A 时 994243 丁旅行团分成每组4人的若干组后还剩3人 当8A 时 998123 丁旅行团分成每组8人的若干组后还剩3人 综上所述 丁旅行团分成每组A人的若干组后还剩1人或3人 第8题 实验室里有一只特别的钟 一圈共有20格 每过7分钟 指针跳一次 每跳一次就要跳9格 今天早晨8点 整 指针恰好从0跳到9 昨天晚上10点的时候指针指着 分析与解 昨天晚上10点到今天早晨8点共10小时600分钟 6007855 指针跳了85次 不包括今天早晨8点整 指针恰好从0跳到9这一次 每跳一次就要跳9格 共跳了9 85765 格 76520385 把指针从0回拨38圈5格 即为昨天晚上10点的时候指针指着的地方 昨天晚上10点的时候指针指着15 第十届小机灵杯数学竞赛 2011 年辅导资料 五年级综合练习 5 城隍喵 第9题 在400 401 402 800这些数中 有 个三个数字各不相同的偶数 分析与解 方法一 当三位数的百位数是4或6 百位有2种选择 个位有4种选择 十位有8种选择 由乘法原理 有24 864 个三个数字各不相同的偶数 当三位数的百位数是5或7 百位有2种选择 个位有5种选择 十位有8种选择 由乘法原理 有25 880 个三个数字各不相同的偶数 由加法原理 在400 401 402 800这些数中 有6480144 个三个数字各不相同的偶数 方法二 当三位数的个位数字是4或6 个位有2种选择 百位有3种选择 十位有8种选择 由乘法原理 有23 848 个三个数字各不相同的偶数 当三位数的百位数是0或2或8 个位有3种选择 百位有4种选择 十位有8种选择 由乘法原理 有34 896 个三个数字各不相同的偶数 由加法原理 在400 401 402 800这些数中 有4896144 个三个数字各不相同的偶数 第十届小机灵杯数学竞赛 2011 年辅导资料 五年级综合练习 5 城隍喵 第10题 如图 将四边形ABCD的四条边AB BC CD DA分别延长两倍 形成一个大的四边形EFGH 若四 边形ABCD的面积为5平方厘米 那么四边形EFGH的面积是 平方厘米 A BC D 分析与解 A B C D E F G H 如图所示 分别延长AB BC CD DA 使2BEAB 2CFBC 2DGCD 2AHDH 得到四边形EFGH 第十届小机灵杯数学竞赛 2011 年辅导资料 五年级综合练习 5 城隍喵 4b 2b b 4a 2a a H G F E D C B A 连接分别AC AG CE 设 ABC Sa ACD Sb 因为2BEAB 所以22 BCEABC SSa 因为2CFBC 所以24 CEFBCE SSa 所以6 BEFBCECEF SSSa 因为2DGCD 所以22 ADGACD SSb 因为2AHDA 所以24 AGHADG SSb 所以6 DGHADGAGH SSSb 所以 666666530 BEFDGHABCACDquadrilateralABCD SSababSSS 平方厘米 第十届小机灵杯数学竞赛 2011 年辅导资料 五年级综合练习 5 城隍喵 4d 2d d 4c 2c c A B C D E F G H 连接分别BD BH DF 设 ABD Sc BCD Sd 因为2AHDA 所以22 ABHABD SSc 因为2BEAB 所以24 BEHABH SSa 所以6 AEHABHBEH SSSc 因为2CFBC 所以22 CDFBCD SSd 因为2DGCD 所以24 DFGCDF SSd 所以6 CFGCDFDFG SSSd 所以 666666530 AEHCFGABDBCDquadrilateralABCD SScdcdSSS 平方厘米 所以 5303065 quadrilateralEFGHquadrilateralABCDBEFDGHAEHCFG SSSSSS 平方厘米 第十届小机灵杯数学竞赛 2011 年辅导资料 五年级综合练习 5 城隍喵 第11题 把一个体积为512立方厘米的正方体橡皮泥改做成棱长为整厘米数的一个长方体 表面积最多能增加 平方厘米 分析与解 因为 3 5128 所以一个体积为512立方厘米的正方体的边长为8厘米 所以一个体积为512立方厘米的正方体的表面积为 2 86384 平方厘米 设长方体的长 宽 高分别是a厘米 b厘米 c厘米 0abc 首先 在b不变的情况下 调整a和c 因为b不变 Vabc 不变 所以ac 不变 若ac 不变 当a和c的差大越大 ac 越大 则表面积 22Sabbccaacbac 越大 故令1c 然后 在a不变的情况下 调整b和c 因为a不变 Vabc 不变 所以bc 不变 若bc 不变 当b和c的差大越大 bc 越大 则表面积 22Sabbccabcabc 越大 故令1c 最后 在1c 不变的情况下 调整a和b 因为c不变 Vabc 不变 所以ab 不变 若ab 不变 当a和b的差大越大 ab 越大 则表面积 22Sabbccaabcab 越大 故令1b 所以5121 1512aVbc 综上所述 通过逐步调整的方法 当且仅当 512 1 1 a b c 时 表面积最大 max 2512 1 1 1 1 51222050Sabbcca 平方厘米 把一个体积为512立方厘米的正方体橡皮泥改做成棱长为整厘米数的一个长方体 表面积最多能增加20503841666 平方厘米 第十届小机灵杯数学竞赛 2011 年辅导资料 五年级综合练习 5 城隍喵 第12题 A B C D E五支足球队 两两各赛一场 胜一场得3分 负一场得0分 平一场两队各得1分 十场球赛完后 五个队的得分互不相同 A队未败一场 且打败了B队 可是B队得了冠军 C队也未败 一场 名次却在D队之后 那么E队得了 分 分析与解 平 得1分 至多7分 至少6分 得分 不败不败不败 不败不败 不胜 平 得1分 胜 得3分 负 得0分 AB C DE E D C B A 客队 主队 因为A队未败一场 A队且打败了B队 所以A队至少得6分 因为C队也未败一场 所以B队没有胜C队 又因为B队负于A队 所以B队至多得7分 若B队负于C队 则C队至少得6分 因为C队名次却在D队之后 则D队得分要比B队高 这与B队得了冠军矛盾 故B队与C队打平 因为B队得了冠军 所以B队的得分不少于6分 所以B队打败了D队 E队 B队得7分 因为B队得了冠军 所以A队的得分不多于7分 所以A队与D队 E队打平 A队得6分 第十届小机灵杯数学竞赛 2011 年辅导资料 五年级综合练习 5 城隍喵 至少4分 至多5分不胜 平 得1分 平 得1分 胜 得3分 平 得1分 平 得1分 平 得1分 7分 6分 得分 不败不败 负 得0分 平 得1分 胜 得3分 平 得1分 负 得0分 平 得1分 胜 得3分 负 得0分 AB C DE E D C B A 客队 主队 因为C队未败一场 所以C队至少得4分 因为D队与A打平 负于B队 不胜C队 所以D队至多5分 因为C队名次却在D队之后 所以D队得5分 C队得4分 C队与D队打平 C队与E队打平 D队打败了E 2分 平 得1分 平 得1分 平 得1分 平 得1分 主队 客队 A B C D E ED C BA 负 得0分 胜 得3分 平 得1分 负 得0分 平 得1分 胜 得3分 平 得1分 负 得0分 得分 6分 7分 平 得1分 平 得1分 平 得1分 胜 得3分 平 得1分 平 得1分 5分 4分 负 得0分 胜 得3分 E队与A队 C队打平 负于B队 D队 E队得了2分 第十届小机灵杯数学竞赛 2011 年辅导资料 五年级综合练习 5 城隍喵 第13题 若 2412483 1212123333x 个个 则整数x的所有数位上数字的和是 分析与解 方法一 2412483244230483244230483 121212333340404043333340404043 3333x 个个个 与个个个 与个个 244230489244230489244230489244230 4040404999940404041000014040404 100004040404 1 个 与个个个 与个个个 与个个个 与个 24404702442302340249235 40404000004040404404040395959596 个个个 与个个个 与个 整数x的所有数位上数字的和是 402339245236432 方法二 2412483244230483244230483244230489 121212333340404043333340404043 333340404049999x 个个个 与个个个 与个个个 与个个 2442304892442304892442302440470244230 40404041000014040404 100004040404 140404000004040404 个 与个个个 与个个个 与个个个个 与个 2440470 4040400000 个个 与 244230 4040404 个 与个 的数字之和相同 2440470244230 40404000004040404 个个个 与个 最后48位发生了借位 每借一位 数字之和增加9 故 2440470244230 40404000004040404 个个个 与个 差的数字的和是948432 即整数x的所有数位上数字的和是432 第十届小机灵杯数学竞赛 2011 年辅导资料 五年级综合练习 5 城隍喵 第14题 一个八位数 它被3除余1 被4除余2 被11恰好整除 已知这个八位数的前6位是368755 那么它的 后两位数是 分析与解 方法一 设被3除余1 被4除余2 被11恰好整除的数为n 因为n被3除余1 所以n可能是1 4 7 10 因为10422 所以n被 3 412 除余10 所以n可能是10 22 因为22112 所以n被 12 11132 除余22 因为3687559913227936079 所以这个八位数是36875599792236875542 即这个八位数的后两位数是42 方法二 设被3除余1 被4除余2 被11恰好整除的数为n 根据中国剩余定理 4 11442 mod3 4 11 22241 mod3 3 11331 mod4 3 11 21 22 mod4 34121 mod11 34 111 11110 mod11 3 4 11132 4 11 23 11 234 1128622 mod132n 因为3687559913227936079 所以这个八位数是36875599792236875542 即这个八位数的后两位数是42 第十届小机灵杯数学竞赛 2011 年辅导资料 五年级综合练习 5 城隍喵 第15题 平面上画 个圆 再画一条直线 最多可以把平面分成44部分 分析与解 方法一 平面上1个圆把平面分成2部分 增加1个圆 与原来1个圆至多有2个交点 2个交点能把这个新增加的圆分成2段弧 而每个段弧又将原来的的平面分成2个部分 即新增加1个部分 所以2段弧至多增加2个部分 当有k个圆时 再增加1个圆 与原来k个圆至多有2k个交点 2k个交点能把这个新增加的圆分成2k段弧 而每个段弧又将原来的的平面分成2个部分 即新增加1个部分 所以2k段弧至多增加2k个部分 所以n个圆最多能将平面分成 2 224212nnn 个部分 再画一条直线 最多可以与之前的每个圆有2个交点 则n个圆有2n个交点 2n个交点能把这条新增加的直线分成21n 段 其中有21n 条线段和2条射线 每段线段又将原来的的平面分成2个部分 即新增加1个部分 所以21n 段线段至多增加21n 个部分 2条射线将最外面的部分分成2个部分 即新增加1个部分 所以再画一条直线 至多增加 2112nn 个部分 所以n个圆和1条直线最多能将平面分成 22 222nnnnn 个部分 构造方法 先在平面内画一个半径为r的圆 以后每一个新增的圆的半径均为r 其圆心在第一个圆的圆内 但不与之前的圆的圆心重合 这样任意两个圆的圆心距满足02dr 圆心距 所以这些圆都两两相交 即每两个圆都有2个交点 最后的直线通过第一个圆的圆心 所有的圆的圆心到直线的距离小于r 所以这圆与直线相割 即直线与每个圆都有2个交点 因为 2 66242 所以平面上画6个圆 再画一条直线 最多可以把平面分成44部分 方法二 任意2个圆至多有2个交点 每个交点能将圆或弧分成2个段 每段弧能将平面分成2个部分 即新增加1个部分 第十届小机灵杯数学竞赛 2011 年辅导资料 五年级综合练习 5 城隍喵 n个圆至多有 2 n C个交点 每个交点能将圆或弧分成2段 至多能增加 22 1 22 2 1 n n n Cnn 个部分 原来平面上1个圆把平面分成2个部分 所以n个圆最多能将平面分成 2 2nn 个部分 再画一条直线 最多可以与之前的每个圆有2个交点 则n个圆有2n个交点 2n个交点能把这条新增加的直线分成21n 段 其中有21n 条线段和2条射线 每段线段又将原来的的平面分成2个部分 即新增加1个部分 所以21n 段线段至多增加21n 个部分 2条射线将最外面的部分分成2个部分 即新增加1个部分 所以再画一条直线 至多增加 2112nn 个部分 所以n个圆和1条直线最多能将平面分成 22 222nnnnn 个部分 构造方法 先在平面内画一个半径为r的圆 以后每一个新增的圆的半径均为r 其圆心在第一个圆的圆内 但不与之前的圆的圆心重合 这样任意两个圆的圆心距满足02dr 圆心距 所以这些圆都两两相交 即每两个圆都有2个交点 最后的直线通过第一个圆的圆心 所有的圆的圆心到直线的距离小于r 所以这圆与直线相割 即直线与每个圆都有2个交点 因为 2 66242 所以平面上画6个圆 再画一条直线 最多可以把平面分成44部分 第十届小机灵杯数学竞赛 2011 年辅导资料 五年级综合练习 5 城隍喵 第16题 自然数从1起 排成如下表 那么第80行与第80列交错位置上的数是 129102526 4381124 5671223 1615141322 1718192021 分析与解 方法一 第1行与第1列交错位置上的数比第2行与第2列交错位置上的数小01 12 第2行与第2列交错位置上的数比第3行与第3列交错位置上的数小1 124 第3行与第3列交错位置上的数比第4行与第4列交错位置上的数小2136 第4行与第4列交错位置上的数比第5行与第5列交错位置上的数小3148 因为第k行与第k列交错位置上的数 要 向上1k 次 向右1次 向下k次 或者 向左1k 次 向下1次 向右k次 到达第1k 行与第1k 列交错位置上的数 所以第k行与第k列交错位置上的数比第1k 行与第1k 列交错位置上的数小 112kkk 所以第n行与第n列交错位置上的数是 2 12468211221121nnnnn 第80行与第80列交错位置上的数是 12468158121587926321 方法二 第十届小机灵杯数学竞赛 2011 年辅导资料 五年级综合练习 5 城隍喵 2625 24 23 22 2120191718 16151413 12 11 109 8 765 43 21 从左上角向外数前n层一共有 2 n个数 前79层一共有 2 796241 个数 前80层一共有 2 806400 个数 第80层最小的数是6241 16242 第80层最大的数是6400 第80行与第80列交错位置上的数为第80层最小的数与最大的数的平均数 即为 6242640026321 谢谢 谢谢 skykiller 第十届小机灵杯数学竞赛 2011 年辅导资料 五年级综合练习 5 城隍喵 第17题 48个相同的棱长为1厘米的小正方体叠成如图的长方体 在取走A B C D四个小正方体后 这个几 何体的表面积是 平方厘米 DC B A 分析与解 48个相同的棱长为1厘米的小正方体叠成4厘米3 厘米4 厘米的长方体 其表面积为 434434280 平方厘米 先取走小立方体A 其表面积不变 再取走小立方体B 其表面积增加 2 122 平方厘米 最后同时取走小立方体C和D 其表面积增加 2 166 平方厘米 48个相同的棱长为1厘米的小正方体叠成如图的长方体 在取走A B C D四个小正方体后 这个几何体的表面积是802688 平方厘米 第十届小机灵杯数学竞赛 2011 年辅导资料 五年级综合练习 5 城隍喵 第18题 如图 长方形ABCD中 8AD 厘米 5AB 厘米 对角线AC和BD交于O 四边形OEFG的面积是4平 方厘米 则阴影部分面积的和为 平方厘米 O G F E D CB A 分析与解 因为8AD 厘米 5AB 厘米 所以8 540 rectangleABCD S 平方厘米 因为AC是长方形ABCD的对角线 所以240220 ABCrectangleABCD SS 平方厘米 因为长方形ABCD的对角线AC和BD交于O 所以由对称性 AOCO 所以 AOBBOC SS 所以220210 BOCABC SS 平方厘米 所以1046 BFGCEFBOCquadrilateralOEFG SSSS 平方厘米 因为ADF 的底AD与长方形ABCD的长相等 AD上的高与长方形ABCD的宽相等 所以240220 ADFrectangleABCD SS 平方厘米 所以402020 ABFCDFrectangleABCDADF SSSS 平方厘米 所以 shadedregionABGCDEABFBFGCDFCEF SSSSSSS 20614 ABFCDFBFGCEF SSSS 平方厘米 第十届小机灵杯数学竞赛 2011 年辅导资料 五年级综合练习 5 城隍喵 第19题 有一条长2 1米的线段 第一次把这条线段三等分后去掉中间一部分 第二次再把剩下的两线段中的每一 段都五等分后都去掉中间一部分 第三次再把剩下的所有线段的每一段都七等分后都去掉中间一部分 以 后将剩下的所有线段九等分 十一等分 继续这样的过程 至少连续 次后 才使剩下的所 有线段的长度的和小于0 8米 分析与解 第一次把这条线段三等分后去掉中间一部分 剩下的所有线段的长度和是2 12 131 4 或 17 2 11 35 米 第二次再把剩下的所有线段的每一段都五等分后都去掉中间一部分 剩下的所有线段的长度和是1 41 451 12 或 7128 1 5525 米 第三次再把剩下的所有线段的每一段都七等分后都去掉中间一部分 剩下的所有线段的长度和是1 121 127