直线与方程、 圆与方程单元测试卷(3)菁优网.doc

直线与方程、 圆与方程单元测试卷（3）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）过点P（1，2），且方向向量=（1，1）的直线的方程为（）Axy3=0Bx+y+3=0Cx+y3=0Dxy+3=02（5分）将直线l1：y=2x绕原点逆时针旋转60得直线l2，则直线l2到直线l3：x+2y3=0的角为（）A30B60C120D1503（5分）（2001江西）设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为xy+1=0，则直线PB的方程是（）Ax+y5=0B2xy1=0C2yx4=0D2x+y7=04（5分）过两点（1，1）和（0，3）的直线在x轴上的截距为（）ABC3D35（5分）直线x+a2y+6=0和（a2）x+3ay+2a=0无公共点，则a的值是（）A3B0C1D0或16（5分）两直线2xmy+4=0和2mx+3y6=0的交点在第二象限，则m的取值范围是（）Am2Bm2Cm2Dm27（5分）（2009福建）在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为（）A5B1C2D38（5分）（2009陕西）过原点且倾斜角为60的直线被圆x2+y24y=0所截得的弦长为（）AB2CD29（5分）（2013东城区模拟）与直线xy4=0和圆x2+y2+2x2y=0都相切的半径最小的圆的方程是（）A（x+1）2+（y+1）2=2B（x+1）2+（y+1）2=4C（x1）2+（y+1）2=2D（x1）2+（y+1）=410（5分）（2012长春模拟）已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且|=|，其中O为原点，则实数a的值为（）A2B2C2或2D或11（5分）（2006海淀区二模）若直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1有两个不同交点，则点P（a，b）与圆C的位置关系是（）A点在圆上B点在圆内C点在圆外D不能确定12（5分）从原点向圆x2+（y6）2=4作两条切线，则这两条切线夹角的大小为（）ABCarccosDarcsin二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）已知直线l1：ax+y+2a=0，直线l2：axy+3a=0若l1l2，则a=_14（5分）点P（a，3）到直线4x3y+1=0的距离等于4，且在不等式2x+y4表示的平面区域内，则P点的坐标为_15（5分）（2009朝阳区一模）已知动直线l平分圆C：（x2）2+（y1）2=1，则直线l与圆：（为参数）的位置关系是_16（5分）直线y=kx与圆x2+y2=2相交于P、Q两点，且POQ=120（其中O为原点），k的值为_三、解答题（共6小题，满分70分）17（10分）求经过7x+8y=38及3x2y=0的交点且在两坐标轴上截得的截距相等的直线方程18（12分）已知直线l经过点P（3，1），且被两平行直线l1；x+y+1=0和l2：x+y+6=0截得的线段之长为5，求直线l的方程19（12分）设圆上的点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上，且与直线xy+1=0相交的弦长为2，求圆的方程20（12分）某集团准备兴办一所中学，投资1200万元用于硬件建设为了考虑社会效益和经济利益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据列表（以班为单位）如下：班级学生数配备教师数硬件建设（万元）教师年薪（万/人）初中602.0281.2高中402.5581.6根据有关规定，除书本费、办公费外，初中生每年可收取学费600元，高中生每年可收取学费1500元因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜根据以上情况，请你合理规划办学规模使年利润最大，最大利润多少万元？（利润=学费收入年薪支出）21（12分）直线y=kx与圆x2+y26x4y+10=0相交于两个不同点A、B，当k取不同实数值时，求AB中点的轨迹方程22（12分）已知mR，直线l：mx（m2+1）y=4m和圆C：x2+y28x+4y+16=0（1）求直线l斜率的取值范围；（2）直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？ 直线与方程、圆与方程单元测试卷(3)参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）过点P（1，2），且方向向量=（1，1）的直线的方程为（）Axy3=0Bx+y+3=0Cx+y3=0Dxy+3=0考点：直线的一般式方程菁优网版权所有专题：计算题分析：根据方向向量求得直线的斜率，进而根据点斜式求得直线的方程解答：解：方向向量为=（1，1），直线的斜率为1，直线方程为y2=（x1）即x+y3=0，故选C点评：本题主要考查了直线的一般方程，属基础题2（5分）将直线l1：y=2x绕原点逆时针旋转60得直线l2，则直线l2到直线l3：x+2y3=0的角为（）A30B60C120D150考点：直线的斜率菁优网版权所有专题：计算题；作图题分析：结合图象，由题意知直线l1l3互相垂直，不难推出l2到直线l3：x+2y3=0的角解答：解：记直线l1的斜率为k1，直线l3的斜率为k3，注意到k1k3=1，l1l3，依题意画出示意图，结合图形分析可知，直线l2到直线l3的角是30，故选A点评：本题考查直线与直线所成的角，以及到角公式，是基础题3（5分）（2001江西）设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为xy+1=0，则直线PB的方程是（）Ax+y5=0B2xy1=0C2yx4=0D2x+y7=0考点：与直线关于点、直线对称的直线方程菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：求出PA的斜率，PB的倾斜角，求出P的坐标，然后求出直线PB的方程解答：解：由于直线PA的倾斜角为45，且|PA|=|PB|，故直线PB的倾斜角为135，又当x=2时，y=3，即P（2，3），直线PB的方程为y3=（x2），即x+y5=0故选A点评：本题考查与直线关于点、直线对称的直线方程，考查逻辑推理能力，计算能力，转化思想的应用，是基础题4（5分）过两点（1，1）和（0，3）的直线在x轴上的截距为（）ABC3D3考点：直线的两点式方程菁优网版权所有分析：先由两点式写出直线方程，再求截距解答：解：由两点式，得=，即2xy+3=0，令y=0，得x=，即在x轴上的截距为点评：要掌握直线的五种方程形式，并学会相互转化5（5分）直线x+a2y+6=0和（a2）x+3ay+2a=0无公共点，则a的值是（）A3B0C1D0或1考点：两条直线平行的判定菁优网版权所有专题：分类讨论分析：首先讨论a是否为0，然后由两直线平行的条件解之解答：解：当a=0时，两直线方程分别为x+6=0和x=0，显然无公共点；当a0时，解得a=1所以a=0或1故选D点评：本题考查两直线平行的条件及分类讨论的方法6（5分）两直线2xmy+4=0和2mx+3y6=0的交点在第二象限，则m的取值范围是（）Am2Bm2Cm2Dm2考点：两条直线的交点坐标菁优网版权所有分析：两条直线的交点在第二象限，联立方程组解出交点坐标，交点的横坐标小于零，同时纵坐标大于零，解不等式组可求m的范围解答：解：由，解得两直线的交点坐标为（，），由交点在第二象限知横坐标为负、纵坐标为正，故0且0m2故选B点评：本题考查直线交点的求法，以及点所在象限问题，是基础题目7（5分）（2009福建）在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为（）A5B1C2D3考点：简单线性规划菁优网版权所有专题：计算题；数形结合分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，根据已知条件中，表示的平面区域的面积等于2，构造关于a的方程，解方程即可得到答案解答：解：不等式组所围成的区域如图所示其面积为2，|AC|=4，C的坐标为（1，4），代入axy+1=0，得a=3故选D点评：平面区域的面积问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合有关面积公式求解8（5分）（2009陕西）过原点且倾斜角为60的直线被圆x2+y24y=0所截得的弦长为（）AB2CD2考点：直线的倾斜角；直线和圆的方程的应用菁优网版权所有专题：计算题分析：本题考查的知识点是直线与圆方程的应用，由已知圆x2+y24y=0，我们可以将其转化为标准方程的形式，求出圆心坐标和半径，又直线由过原点且倾斜角为60，得到直线的方程，再结合半径、半弦长、弦心距满足勾股定理，即可求解解答：解：将圆x2+y24y=0的方程可以转化为：x2+（y2）2=4，即圆的圆心为A（0，2），半径为R=2，A到直线ON的距离，即弦心距为1，ON=，弦长2，故选D点评：要求圆到割线的距离，即弦心距，我们最常用的性质是：半径、半弦长（BE）、弦心距（OE）构成直角三角形，满足勾股定理，求出半径和半弦长，代入即可求解9（5分）（2013东城区模拟）与直线xy4=0和圆x2+y2+2x2y=0都相切的半径最小的圆的方程是（）A（x+1）2+（y+1）2=2B（x+1）2+（y+1）2=4C（x1）2+（y+1）2=2D（x1）2+（y+1）=4考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系菁优网版权所有专题：计算题分析：由题意先确定圆心的位置，再结合选项进行排除，并得到圆心坐标，再求出所求圆的半径解答：解：由题意圆x2+y2+2x2y=0的圆心为（1，1），半径为，过圆心（1，1）与直线xy4=0垂直的直线方程为x+y=0，所求的圆的圆心在此直线上，排除A、B，圆心（1，1）到直线xy4=0的距离为=3，则所求的圆的半径为，故选C点评：本题主要考查了由题意求圆的标准方程，作为选择题可结合选项做题，这样可提高做题的速度10（5分）（2012长春模拟）已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且|=|，其中O为原点，则实数a的值为（）A2B2C2或2D或考点：直线和圆的方程的应用；向量的模；向量在几何中的应用菁优网版权所有专题：计算题分析：条件“|=|”是向量模的等式，通过向量的平方可得向量的数量积|2=|2，=0，可得出垂直关系，接下来，如由直线与圆的方程组成方程组求出A、B两点的坐标，势必计算很繁，故采用设而不求的方法解答：解：由|=|得|2=|2，=0，三角形AOB为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为，即=，a=2，故选C点评：若非零向量，满足|=|，则模的处理方法一般进行平方，转化成向量的数量积向量是既有大小，又有方向的量，它既有代数特征，又有几何特征，通过向量可以实现代数问题与几何问题的互相转化，所以向量是数形结合的桥梁11（5分）（2006海淀区二模）若直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1有两个不同交点，则点P（a，b）与圆C的位置关系是（）A点在圆上B点在圆内C点在圆外D不能确定考点：点与圆的位置关系菁优网版权所有专题：计算题分析：ax+by=1与圆C：x2+y2=1有两个不同交点说明圆心到直线的距离小于圆的半径，得到关于a，b的不等式，判断结论是否成立解答：解：直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1有两个不同交点，则1，a2+b21，点P（a，b）在圆C外部，故选C点评：本题考查直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系12（5分）从原点向圆x2+（y6）2=4作两条切线，则这两条切线夹角的大小为（）ABCarccosDarcsin考点：两直线的夹角与到角问题；圆的切线方程菁优网版权所有专题：计算题分析：根据ABOB以及圆的方程求出|OA|，|AB|，|AC|，在直角三角形中求出sinAOB，然后根据OABOAC求出BOC，其中BOC为AOB的两倍解答：解：如图，从原点向圆A引两条切线：OB，OC，连接AB，ACABOB，ACOC圆x2+（y6）2=4|OA|=6，|AB|=|AC|=2且OABOAC在RTAOB中：sinAOB=，由OABOACcosBOC=cos2AOB=12sin2AOB=1=，BOC=arccos，故选C点评：本题考查2倍角的正弦和余弦公式的利用，涉及到直线与圆相切，三角形相似等内容，属于难题二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）已知直线l1：ax+y+2a=0，直线l2：axy+3a=0若l1l2，则a=1考点：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系菁优网版权所有专题：计算题分析：求出两条直线的斜率，利用两条直线的垂直关系，求出a的值解答：解：因为两条直线的斜率都存在，且l1l2，kl1kl2=1，即（a）a=1，a=1故答案为：1点评：本题考查两条直线的垂直条件的应用，是基础题14（5分）点P（a，3）到直线4x3y+1=0的距离等于4，且在不等式2x+y4表示的平面区域内，则P点的坐标为（3，3）考点：点到直线的距离公式；二元一次不等式（组）与平面区域菁优网版权所有分析：利用点到直线的距离公式求出a，验证点P是否在不等式2x+y4表示的平面区域内，即可解答：解：因=4，a=7，a=3当a=7时，不满足2x+y4（舍去），a=3故答案为：（3，3）点评：本题考查点到直线的距离公式，线性规划，是中档题15（5分）（2009朝阳区一模）已知动直线l平分圆C：（x2）2+（y1）2=1，则直线l与圆：（为参数）的位置关系是相交考点：圆的参数方程；直线与圆的位置关系菁优网版权所有专题：计算题分析：先将圆的参数方程转化成圆的标准方程，求出两圆心之间的距离与两半径进行比较，可得两圆的位置关系解答：解：动直线l平分圆C：（x2）2+（y1）2=1，即圆心（2，1）在直线上，又圆O：即x2+y2=9，且22+129，（2，1）在圆O内，则直线l与圆O：（为参数）的位置关系是相交，故答案为相交点评：本题主要考查了圆的参数方程，以及直线与圆的位置关系，属于基础题16（5分）直线y=kx与圆x2+y2=2相交于P、Q两点，且POQ=120（其中O为原点），k的值为考点：直线和圆的方程的应用菁优网版权所有专题：计算题分析：作出图形，由图可知，点P的坐标为（0，），OPQ=30，由此可知k的值解答：解：由图可知，点P的坐标为（0，），OPQ=30，直线y=kx的倾斜角为60或120，k=点评：作出图形，数形结合，事半功倍三、解答题（共6小题，满分70分）17（10分）求经过7x+8y=38及3x2y=0的交点且在两坐标轴上截得的截距相等的直线方程考点：直线的一般式方程菁优网版权所有专题：计算题分析：要求经过7x+8y=38及3x2y=0的交点的直线方程，我们可以用直线系方程来处理，即设所求直线为7x+8y38+（3x2y）=0，然后由直线在两坐标轴上截得的截距相等构造关于的方程，解方程求出，代入即可求出满足条件的直线方程但要注意该直线系方程不能表示直线3x2y=0，故最后要判断一下3x2y=0是否符合要求解答：解：易得交点坐标为（2，3）设所求直线为7x+8y38+（3x2y）=0，即（7+3）x+（82）y38=0，令x=0，y=，令y=0，x=，由已知，=，=，即所求直线方程为x+y5=0又直线方程不含直线3x2y=0，而当直线过原点时，在两轴上的截距也相等，故3x2y=0亦为所求点评：如果两条直线的方程为：L1、A1x+B1y+C1=0及L2、A2x+B2y+C2=0，则经过两条直线交点的直线系方程为：A1x+B1y+C1+（A2x+B2y+C2）=0，但该直线系方程中不包含L2、A2x+B2y+C2=0在内18（12分）已知直线l经过点P（3，1），且被两平行直线l1；x+y+1=0和l2：x+y+6=0截得的线段之长为5，求直线l的方程考点：两直线的夹角与到角问题；直线的点斜式方程；两条平行直线间的距离菁优网版权所有专题：计算题；分类讨论分析：法一如图，若直线l的斜率不存在，直线l的斜率存在，利用点斜式方程，分别与l1、l2联立，求得两交点A、B的坐标（用k表示），再利用|AB|=5可求出k的值，从而求得l的方程法二：求出平行线之间的距离，结合|AB|=5，设直线l与直线l1的夹角为，求出直线l的倾斜角为0或90，然后得到直线方程就是用l1、l2之间的距离及l与l1夹角的关系求解法三：设直线l1、l2与l分别相交于A（x1，y1），B（x2，y2），则通过求出y1y2，x1x2的值确定直线l的斜率（或倾斜角），从而求得直线l的方程解答：解：解法一：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=3，此时与l1、l2的交点分别为A（3，4）或B（3，9），截得的线段AB的长|AB|=|4+9|=5，符合题意若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k（x3）+1解方程组得A（，）解方程组得B（，）由|AB|=5得（）2+（+）2=52解之，得k=0，直线方程为y=1综上可知，所求l的方程为x=3或y=1解法二：由题意，直线l1、l2之间的距离为d=，且直线L被平行直线l1、l2所截得的线段AB的长为5，设直线l与直线l1的夹角为，则sin=，故=45由直线l1：x+y+1=0的倾斜角为135，知直线l的倾斜角为0或90，又由直线l过点P（3，1），故直线l的方程为：x=3或y=1解法三：设直线l与l1、l2分别相交A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+y1+1=0，x2+y2+6=0两式相减，得（x1x2）+（y1y2）=5又（x1x2）2+（y1y2）2=25联立、可得或由上可知，直线l的倾斜角分别为0或90故所求的直线方程为x=3或y=1点评：本题是中档题，考查直线与直线的位置关系，直线与直线所成的角，直线的点斜式方程，斜率是否存在是容易出错的地方，注意本题的三种方法19（12分）设圆上的点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上，且与直线xy+1=0相交的弦长为2，求圆的方程考点：直线与圆的位置关系菁优网版权所有专题：综合题分析：设出圆的方程为（xa）2+（yb）2=r2，由圆上的点关于直线的对称点还在圆上得到圆心在这条直线上，设出圆心坐标，代入到x+2y=0中得到；把A的坐标代入圆的方程得到；由圆与直线xy+1=0相交的弦长为2，利用垂径定理得到弦的一半，圆的半径，弦心距成直角三角形，利用勾股定理得到，三者联立即可求出a、b和r的值，得到满足题意的圆方程解答：解：设所求圆的圆心为（a，b），半径为r，点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点A仍在这个圆上，圆心（a，b）在直线x+2y=0上，a+2b=0，（2a）2+（3b）2=r2又直线xy+1=0截圆所得的弦长为2，圆心（a，b）到直线xy+1=0的距离为d=，则根据垂径定理得：r2（）2=（）2解由方程、组成的方程组得：或所求圆的方程为（x6）2+（y+3）2=52或（x14）2+（y+7）2=244点评：此题要求学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用垂径定理及对称知识化简求值，是一道中档题学生做题时注意满足题意的圆方程有两个20（12分）某集团准备兴办一所中学，投资1200万元用于硬件建设为了考虑社会效益和经济利益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据列表（以班为单位）如下：班级学生数配备教师数硬件建设（万元）教师年薪（万/人）初中602.0281.2高中402.5581.6根据有关规定，除书本费、办公费外，初中生每年可收取学费600元，高中生每年可收取学费1500元因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜根据以上情况，请你合理规划办学规模使年利润最大，最大利润多少万元？（利润=学费收入年薪支出）考点：简单线性规划的应用菁优网版权所有专题：应用题；数形结合分析：利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用设初中x个班，高中y个班，年利润为s，根据题意找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解解答：解：设初中x个班，高中y个班，则设年利润为s，则s=600.06x+400.15y21.2x2.51.6y=1.2x+2y作出、表示的平面区域，如上图，易知当直线1.2x+2y=s过点A时，s有最大值由解得A（18，12）smax=1.218+212=45.6（万元）即学校可规划初中18个班，高中12个班，可获得最大年利润为45.6万元点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解21（12分）直线y=kx与圆x2+y26x4y+10=0相交于两个不同点A、B，当k取不同实数值时，求AB中点的轨迹方程考点：直线与圆的位置关系；轨迹方程菁优网版权所有专题：计算题；综合题；转化思想分析：法一为参数法，适当引入参数，设出中点坐标，通过联立方程组，利用韦达定理，再消去参数得所求轨迹；法二为“差分法”，设出A（x1，y1），B（x2，y2），代入圆的方程，作差，利用中点公式，结合直线的斜率，消去参数求中点轨迹方程解答：解：法一：由消去y，得（1+k2）x2（6+4k）x+10=0设此方程的两根为x1、x2，AB的中点坐标为P（x，y）