普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案-.pdf

2008 年普通高等学校招生全国统一考试 四川卷 数 学 2008 年普通高等学校招生全国统一考试 四川卷 数 学 理工农医类 理工农医类 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 第 卷第 1 至第 2 页 第 卷第 3 至第 4 页 全卷满分 150 分 考试时间 120 分钟 考生注意事项 1 答题前 务必在试题卷 答题卡规定的地方填写自己的座位号 姓名 并认真核对答题 卡上所粘贴的条形码中 座位号 姓名 科类 与本人座位号 姓名 科类是否一致 2 答第 卷时 每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如 需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 3 答第 卷时 必须用 0 5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 书写 在试题卷上作答无效 4 考试结束 监考员将试题卷和答题卡一并收回 参考公式 如果事件 A B 互斥 那么 球的表面积公式 P ABP AP B 2 4SR 如果事件 A B 相互独立 那么 其中 R 表示球的半径 P A BP AP B 球的体积公式 如果事件A在一次实验中发生的概率是p 那么 3 4 3 VR n次独立重复实验中事件A恰好发生k次的概率 其中 R 表示球的半径 1 0 1 2 n k kk nn P kC ppkn 第 卷第 卷 一 选择题 设集合 1 2 3 4 5 1 2 3 2 3 4UAB 则 U AB 2 3 1 4 5 4 5 1 5 复数 2 2 1ii 4 4 4i 4i 2 tancotcosxxx tan x sin x cosx cot x 直线3yx 绕原点逆时针旋转 0 90 再向右平移 个单位 所得到的直线为 11 33 yx 1 1 3 yx 33yx 1 1 3 yx 设02 sin3cos 若 则 的取值范围是 3 2 3 4 33 3 32 从甲 乙等 10 个同学中挑选 4 名参加某项公益活动 要求甲 乙中至少有 1 人参加 则不同的挑选方法共有 70种 112种 140种 168种 7 已知等比数列 na中 2 1a 则其前 3 项的和 3 S的取值范围是 1 01 3 13 设 M N是球O半径OP上的两点 且NPMNOM 分别过 N M O作垂直于OP 的平面 截球面得三个圆 则这三个圆的面积之比为 3 5 6 3 6 8 5 7 9 5 8 9 直线l 平面 经过平面 外一点A与 l 都成 0 30角的直线有且只有 条 条 条 条 10 设 sinf xx 其中0 则 f x是偶函数的充要条件是 01f 00f 01f 00f 11 设定义在R上的函数 f x满足 213f xf x 若 12f 则 99f 13 2 13 2 2 13 12 已知抛物线 2 8C yx 的焦点为F 准线与x轴的交点为K 点A在C上且 2AKAF 则AFK 的面积为 4 8 16 32 第 卷第 卷 二 填空题 本大题共 4 个小题 每小题 4 分 共 16 分 把答案填在题中横线上 13 34 121xx 展开式中 2 x的系数为 14 已知直线 40l xy 与圆 22 112Cxy 则C上各点到l距离的最小值 为 15 已知正四棱柱的对角线的长为6 且对角线与底面所成角的余弦值为 3 3 则该正四 棱柱的体积等于 16 设等差数列 n a的前n项和为 n S 若 45 10 15SS 则 4 a的最大值为 三 解答题 本大题共 6 个小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 求函数 24 74sin cos4cos4cosyxxxx 的最大值与最小值 18 本小题满分 12 分 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0 5 购买乙种商品的概率为0 6 且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立 各顾客之间购买商品也是相互独立的 求进入商场的 1 位顾客购买甲 乙两种商品中的一种的概率 求进入商场的 1 位顾客至少购买甲 乙两种商品中的一种的概率 记 表示进入商场的 3 位顾客中至少购买甲 乙两种商品中的一种的人数 求 的 分布列及期望 19 本小题满分 12 分 如图 平面ABEF 平面ABCD 四边形ABEF与ABCD都是直角梯形 0 90 BADFABBC 1 2 AD BE 1 2 AF 证明 C D F E四点共面 设ABBCBE 求二面角AEDB 的大小 20 本小题满分 12 分 设数列 n a的前n项和为 n S 已知 21 n nn babS 证明 当2b 时 1 2n n an 是等比数列 求 n a的同项公式 21 本小题满分 12 分 设椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的左右焦点分别为 12 F F 离心率 2 2 e 右准线为l M N是l上的两个动点 12 0FM F N 若 12 2 5FMF N 求 a b的值 证明 当MN取最小值时 12 FMF N 与 12 FF 共线 22 本小题满分 14 分 已知3x 是函数 2 ln 110f xaxxx 的一个极值点 求a 求函数 f x的单调区间 若直线yb 与函数 yf x 的图象有 3 个交点 求b的取值范围 2008 年普通高等学校招生全国统一考试 四川卷 数学参考答案 2008 年普通高等学校招生全国统一考试 四川卷 数学参考答案 理工农医类 理工农医类 第 卷第 卷 一 选择题 B A D A C C 7 D D B 10 D 11 C 12 B 第 卷第 卷 二 填空题 13 6 14 2 15 2 16 4 三 解答题 17 解 解 24 74sin cos4cos4cosyxxxx 22 72sin24cos1 cosxxx 22 72sin24cossinxxx 2 72sin2sin 2xx 2 1 sin26x 由于函数 2 16zu 在 11 中的最大值为 2 max 1 1610z 最小值为 2 min 1 166z 故当sin21x 时y取得最大值10 当sin21x 时y取得最小值6 18 解 解 记A表示事件 进入商场的 1 位顾客购买甲种商品 记B表示事件 进入商场的 1 位顾客购买乙种商品 记C表示事件 进入商场的 1 位顾客购买甲 乙两种商品中的一种 记D表示事件 进入商场的 1 位顾客至少购买甲 乙两种商品中的一种 CA BA B P CP A BA B P A BP A B P AP BP AP B 0 5 0 40 5 0 6 0 5 DA B P DP A B P AP B 0 5 0 4 0 2 10 8P DP D 3 0 8B 故 的分布列 3 00 20 008P 12 3 10 8 0 20 096PC 22 3 20 80 20 384PC 3 30 80 512P 所以3 0 82 4E 19 解法一 解法一 延长DC交AB的延长线于点G 由BC 1 2 AD得 1 2 GBGCBC GAGDAD 延长FE交AB的延长线于 G 同理可得 1 2 G EG BBE G FG AAF 故 G BGB G AGA 即G与 G重合 因此直线CDEF 相交于点G 即 C D F E四点共面 设1AB 则1BCBE 2AD 取AE中点M 则BMAE 又由已知得 AD 平面ABEF 故ADBM BM与平面ADE内两相交直线ADAE 都垂直 所以BM 平面ADE 作MNDE 垂足为N 连结BN 由三垂线定理知BNEDBNM 为二面角AEDB 的平面角 213 223 ADAE BMMN DE 故 6 tan 2 BM BNM MN 所以二面角AEDB 的大小 6 arctan 2 解法二 解法二 由平面ABEF 平面ABCD AFAB 得FA 平面ABCD 以A为坐标原点 射线AB为x轴正半轴 建立如图所示的直角坐标系Axyz 设 ABa BCb BEc 则 0 0 0 0 0 2 0 0 0 2B aC a bE acDbFc 0 0 2 2ECbcFDbc 故 1 2 ECFD 从而由点EFD 得 ECFD 故 C D F E四点共面 设1AB 则1BCBE 1 0 0 1 1 0 0 2 0 1 0 1BCDE 在DE上取点M 使5DMME 则 5 1 5 6 3 6 M 从而 115 636 MB 又 1 2 1 0 DEMB DEMBDE 在DE上取点N 使2DNNE 则 2 2 2 3 3 3 N 从而 222 0 333 NANA DENADE 故MB 与NA 的夹角等于二面角ADEB 的平面角 10 cos 5 MB NA MB NA MBNA 所以二面角ADEB 的大小 10 arccos 5 20 解 解 由题意知 1 2a 且 21 n nn babS 1 11 21 n nn babS 两式相减得 11 21 n nnn b aaba 即 1 2n nn aba 当2b 时 由 知 1 22n nn aa 于是 1 1 2221 2 nnn nn anan 1 22n n an 又 1 1 1 210 n a 所以 1 2n n an 是首项为 1 公比为 2 的等比数列 当2b 时 由 知 11 22 nn n an 即 1 1 2n n an 当2b 时 由由 得 11 1 11 222 22 nnn nn aba bb 2 2 n n b ba b 1 2 2 n n b a b 因此 1 1 11 22 22 nn nn ab a bb 2 1 2 n b b b 得 1 21 1 2222 2 n nn n a b bn b 21 解 解 由 222 abc 与 2 2 a e c 得 22 2ab 12 22 00 22 FaFa l的方程为2xa 设 12 22MayNay 则 1122 3 22 22 FMayF Nay 由 12 0FM F N 得 2 12 3 0 2 y ya 由 12 2 5FMF N 得 2 2 1 3 2 2 5 2 ay 2 2 2 2 2 5 2 ay 由 三式 消去 12 y y 并求得 2 4a 故 2 2 2 2 ab 22 222 121212121212 22246MNyyyyy yy yy yy ya 当且仅当 12 6 2 yya 或 21 6 2 yya 时 MN取最小值6a 此时 12121212 3 22 2 2 2 2 02 22 FMF Nayaya yyaFF 故 12 FMF N 与 12 FF 共线 22 解 解 因为 210 1 a fxx x 所以 36 100 4 a f 因此16a 由 知 2 16ln 110 1 f xxxx x 2 243 1 xx fx x 当 1 13 x 时 0fx 当 1 3x 时 0fx 所以 f x的单调增区间是