2010-2011高等数学A第一学期试卷(参考答案).pdf

1 诚实考试吾心不虚诚实考试吾心不虚 公平竞争方显实力 公平竞争方显实力 考试失败尚有机会考试失败尚有机会 考试舞弊前功尽弃 考试舞弊前功尽弃 上海财经大学 上海财经大学 高等数学高等数学 I A 级级 课程考试卷 课程考试卷 A 闭闭 课程代码课程代码 105674 课程序号课程序号 2010 2011 学年第一学期学年第一学期 姓名姓名 学号学号 班级班级 题号题号 一一 二二 三三 四四 五五 六六 七七 总分总分 得分得分 一一 填空题填空题 本题共本题共 6 6 小题小题 每小题每小题 2 2 分分 满分满分 1212 分分 把答案填在各题中把答案填在各题中 横线上横线上 1 1 当当0 x时时 若无穷小量若无穷小量xx2sinsin2 与与x 等价 则常数等价 则常数 3 2 2 设函数设函数 f x有连续的导函数 有连续的导函数 0 0f 且 且 0 3f 若 若 2 si 0 n 0 f x x f xx x x A 在在0 x 处连续 则常数处连续 则常数A 5 3 3 已知已知 2 11d f dxxx 则则 3 2 f 1 3 4 4 函数函数 1 1 2 0 x F xdt x t 的单调减少区间的单调减少区间 1 0 4 5 5 1 0 lim 1 n x x n x e dx e 0 6 6 dd dfxx fx dx 二二 选择题 本题共选择题 本题共 6 6 小题 每小题小题 每小题 2 2 分 满分分 满分 1212 分分 每小题给出的四个每小题给出的四个 选项中 只有一项符合题目要求 把所选项前的字母填在括号内选项中 只有一项符合题目要求 把所选项前的字母填在括号内 1 1 设设函数函数 f x在在xa 处有二阶导数 则处有二阶导数 则 0 lim h f ahf a fa h h A A A A 1 2 fa B B fa C C 2 fa D D fa 2 2 设设 1 sin 0 0 0 xx f xx x 在 在0 x处可导 则应取处可导 则应取 D D 得分得分 得分得分 2 A A 0 B B 1 2 C C 1 D D 2 3 3 下列反常积分中下列反常积分中发散发散的是的是 C C A A 2 0 d x xex B B 1 0 dln xxx C C 3 ln lnln 1 dx xxx D D 2 3 d ln x xx 4 4 设设 2 0 22 s t Itf t x dx 其中其中0t 0s 则则I的值的值 A A A A 依赖依赖于s 不依赖于不依赖于t B B 依赖于依赖于s t C C 依赖于依赖于t x 不依赖于不依赖于s D D 依赖于依赖于s t x 5 5 若若 f xfx 在 在 0 内内 0fx 0fx 则在 则在 0 内内 f x满足满足 C C A A 0fx 0fx B B 0fx 0fx C C 0fx 0fx D D 0fx 0fx 6 6 1x 是函数是函数 1 arccot 1 f x x 的的 A A A A 连续点连续点 B B 跳跃间断点跳跃间断点 C C 可去间断点可去间断点 D D 无穷间断点无穷间断点 三 三 计算题 本题共计算题 本题共 8 8 小题小题 每小题每小题 6 6 分分 满分满分 4848 分分 1 1 设设 f x x 是以是以T为周期的连续函数 试判断定积分为周期的连续函数 试判断定积分 a T a f x dx 的值是的值是 否与否与a无关无关 解 解 令令 a T a F af x dx 注意到 注意到 f x Tf x 则有 则有 0a Tf af afF aa Taf 故有故有 F aC 常数常数 a 特别令特别令0a 得 得 0 0 T CFf x dx 从而 从而 0 a TT a f x dxf x dx 与与a无关 无关 2 2 讨论函数讨论函数 0 n k x k x f xe k 的单调性和极值的单调性和极值 解解 显然函数显然函数 f x在在 内连续 且内连续 且 1 00 nn k kkn xx k x xxx fxeee kkn 令令 0fx 得驻点 得驻点0 x 没有导数不存在的点 没有导数不存在的点 当当n为偶数时 为偶数时 0fx 且仅当 且仅当0 x 时时 0fx 故函数在 故函数在 内单调内单调 减 无极值 减 无极值 若若n为奇数时 当为奇数时 当0 x 时 时 0fx 当 当0 x 时 时 0fx 故在故在 0 内函内函 数单调增 在数单调增 在 0 内函数单调减 内函数单调减 0 x 是极大点 极大值为是极大点 极大值为 0 1f 得分得分 3 3 3 求函数求函数 2 ln 1 x e I xdt t t 在区间在区间 2 e e上的最大值上的最大值 解 解 2 0 1 n l x I x x 2 xe e 所以所以 I x在区在区间间 2 e e上为增函数 于是我们可上为增函数 于是我们可 得得 2 2 max e e I xI e 下求下求 I x 2 2 2 ln 1 e e I edt t t 2 1 ln 1 e e td t 2 2 1 1 ln 1 e e e dt tt t t e 2 2 2111 111 e e dt eett 2 lnln 1 1 1 11 ete e teee 即即 2 max ln 1 1 e e e I xe e 4 4 设设 yy x 由由 2 2 arctan 5 t x ytye t 所确定 求所确定 求 dy dx 解 解 2 1 1 dx dtt 2 220 t dydy ytye dtdt 2 2 1 t dyye dtty 因此 因此 22 1 2 1 t dyyt dxt e y 5 5 设函数设函数 f x连续 连续 1 1f 且 且 0 2 1 2 2 arctan x tfxt dxt 求 求 2 1 f x dx 解解 令令2uxt 则 则dtdu 02 2 2 xx x tfxt dtxu f u du 22 2 xx xx xf u duuf u du 于是于是 2 2 2 1 2 arctan 2 xx xx xf u duuf uxdu 上式两边对上式两边对x求导得求导得 2 4 2 2 2 2 2 2 2 1 x x x f u duxfxf xxfx x xf x 即即 2 4 2 1 x x x f u duxf x x 令令1x 得 得 2 1 113 2 1 1 222 f u duf 于是有于是有 2 1 3 4 f x dx 4 6 6 求定积分求定积分 1 1 1 1 2 12 x x dx 解解 令 1 1 11 21 1 dxI x 1 1 1 1 1 1 12 21 2 21 1 dxdxI x x x 所以 21 II 21 21 21 2 1 1 1 1 1 1 121 dxdxIII x x 所以 1 1 1 1 2 1 12 x x dx 7 7 计算不定积分计算不定积分 22 tan1 x exdx 解 原式解 原式 22 tan2tan1 x xedxx 22 set2ca n x exxx d 22 tantan xx xxe dde 222 tantantan xxx xxdexdee 2 tan x exC 8 8 求曲线求曲线 2 2 1 1 x x y x 的凹向区间 拐点以及渐近线的凹向区间 拐点以及渐近线 解解 42 22 41 1 xx y x 2 23 4 3 1 x x y x 而当3x 时 0y 当30 x 时 0y 当03x 时 0y 当3x 时 0y 所以 xf在 3 0 3 上凹 在 3 0 3 下凹 3 3 2 0 0 和 3 3 2 为其拐点 yx 是曲线的斜渐近线 四四 本题满分本题满分 6 6 分分 设设 yf x 是区间是区间 0 1 上上任一非负连续函数 试证任一非负连续函数 试证 存在存在 0 0 1 x 使得在区间使得在区间 0 0 x上以上以 0 f x为高的矩形面积 等于在区为高的矩形面积 等于在区 间间 0 1 x上以上以 yf x 为曲边的曲边梯形面积为曲边的曲边梯形面积 证明证明 设设 1 x F xxf t dt 则 则 0 1 0FF 且 且 1 x F xf t dtxf x 对对 F x在区间在区间 0 1 上应用罗尔定理知 存在一点上应用罗尔定理知 存在一点 0 0 1 x 使使 0 0F x 因而 因而 0 0 1 0 0 x f x dxx f x 即矩形面积 即矩形面积 00 x f x等于曲边梯形面积等于曲边梯形面积 0 1 x f x dx 五五 本题满分本题满分 8 8 分分 设设 yf x 在在0 x 时为连续的非负函数 且时为连续的非负函数 且 0 0f V t表示表示 yf x 0 xt 及及x轴所围成图形绕直线轴所围成图形绕直线 xt 旋转一周所成旋转体体积 证明旋转一周所成旋转体体积 证明 2 Vf tt 并求并求 2 V 得分得分 得分得分 5 解解 由微元法可得由微元法可得d2 dVtx f xx 则 则 0 2 d t V ttx f xx 0 2 d t tf xx 0 2 d t x f xx 0 2 d t V tf xx 2 tf t 2 tf t 故故 2 V tf t 进一步 有进一步 有 2 0V 六六 本题满分本题满分 6 6 分分 计算广义积分计算广义积分 22 00 ln dlsincosn dxxxx 解解 242 00 4 lnsinlnsinlnsindxxdxdxxx 242 00 4 lncoslncoslncosdxxdxdxxx 2 4 lnsin xdx 0 4 0 4 lnco 2 slncosxuududuu 2 4 lncosxdx 0 4 0 4 lnsi 2 nlnsinxuududuu 因此 22 00 ln dlsincosn dxxxx 又 2 0 ln indsxx 44 00 lnsinlncosxdxxdx 0 4 0 4 ln sincos lnsin2ln2 xx dxxdx 2 0 lnsin 4 1 2 ln22uduxu 于是有 2 0 ln indsxx ln2 2 这样我们可得 22 00 ln dlsincosn dxxxx ln2 七七 本题共本题共 2 2 小题小题 每小题每小题 4 4 分分 满分满分 8 8 分分 1 1 我们知道我们知道 若函数若函数 f x是定义在闭区间是定义在闭区间 a b上的连续函数 则变上的连续函数 则变 上限函数上限函数 x a xf x dt 是是 f x在在 a b上的一个原函数上的一个原函数