2006年高考理科数学试题及答案(湖北卷).pdf

2006 年普通高等学校招生全国统一考试 湖北卷 数学数学 理工农医类 理工农医类 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 第 卷 1 至 2 页 第 卷 3 至 4 页 共 4 页 共 150 分 考试用时 120 分钟 祝考试顺利 祝考试顺利 第 卷第 卷 选择题 共 50 分 注意事项 1 答卷前 考生务必将自己的姓名 准考证号填写在试题卷和答题卡上 并将准考证号条形码 粘贴在答题卡上的指定位置 2 每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干 净后 再选涂其他答案标号 答在试题卷上无效 3 考试结束 监考人员将本试题卷和答题卡一并收回 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项 是符合题目要求的 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项 是符合题目要求的 1 已知向量 1 3 a b是不平行于x轴的单位向量 且3 ba 则b A 2 1 2 3 B 2 3 2 1 C 4 33 4 1 D 0 1 2 若互不相等的实数a b c成等差数列 c a b成等比数列 且103 cba 则a A 4 B 2 C 2 D 4 3 若 ABC的内角A满足 3 2 2sin A 则 AAcossin A 3 15 B 3 15 C 3 5 D 3 5 4 设 x x xf 2 2 lg 则 x f x f 2 2 的定义域为 A 4 00 4 B 4 11 4 C 2 11 2 D 4 22 4 5 在 24 3 1 x x的展开式中 x的幂的指数是整数的项共有 A 3 项 B 4 项 C 5 项 D 6 项 6 关于直线m n与平面 有下列四个命题 nm且 则nm nm 且 则nm nm 且 则nm nm 且 则nm 其中真命题的序号是 A B C D 7 设过点 yxP 的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A B两点 点Q与点P关 于y轴对称 O为坐标原点 若PABP2 且1 ABOQ 则P点的轨迹方程是 A 0 01 2 3 3 22 yxyx B 0 01 2 3 3 22 yxyx C 0 013 2 3 22 yxyx D 0 013 2 3 22 yxyx 8 有限集合S中元素个数记作 card S 设A B都为有限集合 给出下列命题 BA 的充要条件是 card BA card A card B BA 的必要条件是 card Acard B BA 的充分条件是 card Acard B BA 的充要条件是 card Acard B 其中真命题的序号是 A B C D 9 已知平面区域D由以 3 1A 2 5B 1 3C为顶点的三角形内部和边界组成 若在区域D 上 有无穷多个点 yx 可使目标函数myxz 取得最小值 则 m A 2 B 1 C 1 D 4 10 关于x的方程 011 2 2 2 kxx 给出下列四个命题 存在实数k 使得方程恰有 2 个不同的实根 存在实数k 使得方程恰有 4 个不同的实根 存在实数k 使得方程恰有 5 个不同的实根 存在实数k 使得方程恰有 8 个不同的实根 其中假假命题的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 第 卷第 卷 非选择题 共 100 分 注意事项 注意事项 第 卷用 0 5 毫米黑色的签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上 答在试题卷上无效 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 5 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 25 分分 把答案填在答题卡相应位置上把答案填在答题卡相应位置上 11 设x y为实数 且 ii y i x 31 5 211 则x y 12 接种某疫苗后 出现发热反应的概率为 0 80 现有 5 人接种该疫苗 至少有 3 人出现发热反 应的概率为 精确到 0 01 13 已知直线0125 ayx与圆02 22 yxx相切 则a的值为 14 某工程队有 6 项工程需要先后单独完成 其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行 工程丙 必须在工程乙完成后进行 又工程丁必须在丙完成后立即进行 那么安排这 6 项工程的不同 的排法种数是 用数字作答 15 将杨辉三角中的每一个数 r n C都换成分数 r n Cn1 1 就得到一个如右图所示的分数三角形 称为莱布尼茨三角 形 从莱布尼茨三角形可以看出 r n x n r n nCCnCn 1 1 1 1 1 1 其中x 令 22 1 1 11 60 1 30 1 12 1 3 1 nn n CnnC a 则 n n a lim 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本小题满分 12 分 设函数 cbaxf 其中向量 xxbxxacos3 sin cos sin Rxxxc sin cos 求函数 xf的最大值和最小正周期 将函数 xfy 的图像按向量d平移 使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称 求长度最小的d 17 本小题满分 13 分 已知二次函数 xfy 的图像经过坐标原点 其导函数为 26 xxf 数列 n a的前n 项和为 n S 点 NnSn n 均在函数 xfy 的图像上 求数列 n a的通项公式 设 1 3 nn n aa b n T是数列 n b的前n项和 求使得 20 m Tn 对所有 Nn 都成立 的最小正整数m 18 本小题满分 12 分 如图 在棱长为 1 的正方体 1111 DCBAABCD 中 p是侧棱 1 CC上的一点 mCP 试确定m 使得直线AP与平面 11B BDD所 成角的正切值为23 在线段 11C A上是否存在一个定点Q 使得对 任意的m QD1在平面 1 APD上的射影垂直于AP 并证明你的结论 19 本小题满分 10 分 在某校举行的数学竞赛中 全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布 100 70N 已知成 绩在 90 分以上 含 90 分 的学生有 12 名 试问此次参赛的学生总数约为多少人 若该校计划奖励竞赛成绩排在前 50 名的学生 试问设奖的分数线约为多少分 可供查阅的 部分 标准正态分布表可供查阅的 部分 标准正态分布表 00 xxPx 0 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 1 3 1 4 1 9 0 8849 0 9032 0 9192 0 9713 0 8869 0 9049 0 9207 0 9719 0 8888 0 9066 0 9222 0 9726 0 8907 0 9082 0 9236 0 9732 0 8925 0 9099 0 9251 0 9738 0 8944 0 9115 0 9265 0 9744 0 8962 0 9131 0 9278 0 9750 0 8980 0 9147 0 9292 0 9756 0 8997 0 9162 0 9306 0 9762 0 9015 0 9177 0 9319 0 9767 2 0 2 1 0 9772 0 9821 0 9778 0 9826 0 9783 0 9830 0 9788 0 9834 0 9793 0 9838 0 9798 0 9842 0 9803 0 9846 0 9808 0 9850 0 9812 0 9854 0 9817 0 9857 20 本小题满分 14 分 设A B分别为椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左 右顶点 椭圆长半轴的长等于焦距 且 4 x为它的右准线 求椭圆的方程 设P为右准线上不同于点 4 0 的任意一点 若直线AP BP分别与椭圆相交于 异于A B的点M N 证明点B在以MN为直径的圆内 此题不要求在答题卡上画图 21 本小题满分 14 分 设3 x是函数 Rxebaxxxf x 32 的一个极值点 求a与b的关系式 用a表示b 并求 xf的单调区间 设0 a x eaxg 4 25 2 若存在 4 0 21 使得 1 21 gf成立 求a的取值范围 湖北省湖北省 2006 高考试题理科答案及解析高考试题理科答案及解析 一 选择题 1 5 BDABC 6 10 DDBCB 二 填空题 11 4 12 0 94 13 8 或 18 14 20 15 r 1 1 2 部分试题解析 10 解 本题考查换元法及方程根的讨论 要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能 力 据题意可令 2 1xt 0 t 则方程化为 2 0ttk 作出函数 2 1yx 的图象 结合函数的图象可知 1 当 t 0 或 t 1 时方程 有 2 个不等的根 2 当 0 t 1 时方程 有 4 个根 3 当 t 1 时 方程 有 3 个根 故当 t 0 时 代入方程 解得 k 0 此时方程 有两个不等根 t 0 或 t 1 故此时原方程有 5 个根 当方程 有两个不等正根时 即 1 0 4 k 此时方程 有两根且均小于 1 大于 0 故相应 的满足方程 2 1xt 的解有 8 个 即原方程的解有 8 个 当 1 4 k 时 方程 有两个相等正根 t 1 2 相应的原方程的解有 4 个 故选 B 14 解 考查有条件限制的排列问题 其中要求部分元素间的相对顺序确定 据题意由于 丁必需在丙完成后立即进行 故可把两个视为一个大元素 先不管其它限制条件使其与其他四 人进行排列共有 5 5 A种排法 在所在的这些排法中 甲 乙 丙相对顺序共有 3 3 A种 故满足条 件的排法种数共有 5 5 3 3 20 A A 15 解 本题考查考生的类比归纳及推理能力 第一问对比杨辉三角的性质通过观察 类 比 归纳可知莱布尼茨三角形中每一行中的任一数都等于其 脚下 两数的和 故此时1xr 第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数第三项的和 即 01232 2341 11111 3451 n nn nn a CCCnCnC 根据第一问所推出的结论只需在原式基础 上增加一项 1 1 1 n n nC 则由每一行中的任一数都等于其 脚下 两数的和 结合给出的数表 可逐次向上求和为 1 2 故 1 11 21 n n n a nC 从而 1 111 limlim 212 n n xx n a nC 三 解答题 三 解答题 16 点评 本小题主要考查平面向量数量积的计算方法 三角公式 三角函数的性质及图像的 基本知识 考查推理和运算能力 解 由题意得 f x a b c sinx cosx sinx cosx sinx 3cosx sin2x 2sinxcosx 3cos2x 2 cos2x sin2x 2 2sin 2x 4 3 所以 f x 的最大值为 2 2 最小正周期是 2 2 由 sin 2x 4 3 0 得 2x 4 3 k 即 x 8 3 2 k k Z 于是 d 8 3 2 k 2 4 8 3 2 2 k dk Z 因为 k 为整数 要使d最小 则只有 k 1 此时 d 8 2 即为所求 17 点评 本小题考查二次函数 等差数列 数列求和 不等式等基础知识和基本的运算 技能 考查分析问题的能力和推理能力 解 设这二次函数 f x ax2 bx a 0 则 f x 2ax b 由于 f x 6x 2 得 a 3 b 2 所以 f x 3x2 2x 又因为点 n n SnN 均在函数 yf x 的图像上 所以 n S 3n2 2n 当 n 2 时 an Sn Sn 1 3n2 2n 1 2 13 2 nn 6n 5 当 n 1 时 a1 S1 3 12 2 6 1 5 所以 an 6n 5 nN 由 得知 1 3 nn n aa b 5 1 6 56 3 nn 16 1 56 1 2 1 nn 故 Tn n i i b 1 2 1 16 1 56 1 13 1 7 1 7 1 1 nn 2 1 1 16 1 n 因此 要使 2 1 1 16 1 n 20 m nN 成立的 m 必须且仅须满足 2 1 20 m 即 m 10 所以满足要求的最小正整数 m 为 10 18 点评 本小题主要考查线面关系 直线于平面所成的角的有关知识及空间想象能力和推 理运算能力 考查运用向量知识解决数学问题的能力 解法 1 连 AC 设 AC 与 BD 相交于点 O AP 与平面 11 BDD B相交于点 连结 OG 因为 PC 平面 11 BDD B 平面 11 BDD B 平面 APC OG 故 OG PC 所以 OG 2 1 PC 2 m 又 AO BD AO BB1 所以 AO 平面 11 BDD B 故 AGO 是 AP 与平面 11 BDD B所成的角 在 Rt AOG 中 tan AGO 23 2 2 2 m GO OA 即 m 3 1 所以 当 m 3 1 时 直线 AP 与平面 11 BDD B所成的角的正切值为3 2 可以推测 点 Q 应当是 AICI的中点 O1 因为 D1O1 A1C1 且 D1O1 A1A 所以 D1O1 平面 ACC1A1 又 AP 平面 ACC1A1 故 D1O1 AP 那么根据三垂线定理知 D1O1在平面 APD1的射影与 AP 垂直 解法二 建立如图所示的空间直角坐标系 则 A 1 0 0 B 1 1 0 P 0 1 m C 0 1 0 D 0 0 0 B1 1 1 1 D1 0 0 1 所以 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 BDBBAPmAC 又由 1 0 0AC BDAC BB 知 AC 为平面 11 BB D D的一个法向量 设AP 与 平 面 11 BB D D所 成 的 角 为 则 2 2 sincos 2 22 AP AC APACm 依题 j P O1 D1 C1 B1 A1 D C BA z y x O D1 C1 C D A B A1 B1 P G 意有 2 2 23 2 221 3 2 m 解得 1 3 m 故当 1 3 m 时 直线 AP 与平面 11 BB D D所成 的角的正切值为3 2 若在 A1C1上存在这样的点 Q 设此点的横坐标为x 则 Q x 1 x 1 1 1 0 DQxx 依题意 对任意的 m 要使 D1Q 在平面 APD1上的射影垂直于 AP 等价于 D1Q AP 1 1 0 1 0 2 AP DQxxx 即 Q 为 A1C1的中点时 满足题设要求 19 点评 本小题主要考查正态分布 对独立事件的概念和标准正态分布的查阅 考查运 用概率统计知识解决实际问题的能力 解 设参赛学生的分数为 因为 N 70 100 由条件知 P 90 1 P 90 1 F 90 1 10 7090 1 2 1 0 9772 0 228 这说明成绩在 90 分以上 含 90 分 的学生人数约占全体参赛人数的 2 28 因此 参赛总人数约为 0228 0 12 526 人 假定设奖的分数线为 x 分 则 P x 1 P x 1 F x 1 10 70 x 526 50 0 0951 即 10 70 x 0 9049 查表得 10 70 x 1 31 解得 x 83 1 故设奖得分数线约为 83 1 分 20 点评 本小题主要考查直线 圆和椭圆等平面解析几何的基础知识 考查综合运用数 学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力 解 依题意得 a 2c c a 2 4 解得 a 2 c 1 从 而 b 3 故椭圆的方程为 1 34 22 yx 解法 1 由 得 A 2 0 B 2 0 设 M x0 y0 2 1 1 2 3 4 224 BA M N M 点在椭圆上 y0 4 3 4 x02 1 又点 M 异于顶点 A B 2 x00 BM BP 0 则 MBP 为锐角 从而 MBN 为钝角 故点 B 在以 MN 为直径的圆内 解法 2 由 得 A 2 0 B 2 0 设 M x1 y1 N x2 y2 则 2 x1 2 2 x2 2 又 MN 的中点 Q 的坐标为 2 21 xx 2 21 yy 依题意 计算点 B 到圆心 Q 的距离与半径的差 2 BQ 2 4 1 MN 2 21 xx 2 2 2 21 yy 2 4 1 x1 x2 2 y1 y2 2 x1 2 x2 2 y1y1 3 又直线 AP 的方程为 y 2 2 1 1 x x y 直线 BP 的方程为 y 2 2 2 2 x x y 而点两直线 AP 与 BP 的交点 P 在准线 x 4 上 2 6 2 6 2 2 1 1 x y x y 即 y2 2 23 1 12 x yx 4 又点 M 在椭圆上 则1 34 2 1 2 1 yx 即 4 4 3 2 1 2 1 xy 5 于是将 4 5 代入 3 化简后可得 2 BQ 2 4 1 MN 0 2 2 4 5 21 xx 从而 点 B 在以 MN 为直径的圆内 21 点评 本小题主要考查函数 不等式和导数的应用等知识 考查综合运用数学知识 解决问题的能力 解 f x x2 a 2 x b a e3 x 由 f 3 0 得 32 a 2 3 b a e3 3 0 即得 b 3 2a 则 f x x2 a 2 x 3 2a a e3 x x2 a 2 x 3 3a e3 x x 3 x a 1 e3 x 令 f x 0 得 x1 3 或 x2 a 1 由于 x 3 是极值点 所以 x a 1 0 那么 a 4 当 a3 x1 则 在区间 3 上 f x 0 f x 为增函数 在区间 a 1 上 f x 4 时 x2 3 x1 则 在区间 a 1 上 f x 0 f x 为增函数 在区间 3 上 f x 0 时 f x 在区间 0 3 上的单调递增 在区间 3 4 上单调 递减 那么 f x 在区间 0 4 上的值域是 min f 0 f 4 f 3 而 f 0 2a 3 e30 f 3 a 6 那么 f x 在区间 0 4 上的值域是 2a 3 e3 a 6 又 2 25 4 x g xae 在区间 0 4 上是增函数 且它在区间 0 4 上的值域是 a2 4 25 a2 4 25 e4 由于 a2 4 25 a 6 a2 a 4 1 2 1 a 2 0 所以只须仅须 a2 4 25 a 6 0 解得 0 a 2 3 故 a 的取值范围是 0 2 3 湖北省湖北省 2006 高考试题理科命题点评高考试题理科命题点评 试卷在对数学基础知识全面考查的同时 不刻意追求知识点的全面覆盖 突出了对支撑数学学科知识体系的 重点知识进行重点考查 选择题和填空题的前几题都相当容易 对于稳定考生情绪 鼓舞答卷士气具有强烈的 推进作用 注重考查考生的基础知识 基本技能 全卷的区分度比较好 与去年相比 全卷难度有所增