安徽省2006-2014年高考理科数学试卷汇总.pdf

1 2006 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 安徽卷安徽卷 理科数学理科数学 参考公式 如果时间 A B 互斥 那么 P ABP AP B 如果时间 A B 相互独立 那么 P A BP A P B 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P 那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 1 n k kk nn P kC PP 球的表面积公式 2 4SR 其中 R 表示球的半径 球的体积公式 3 4 3 VR 其中 R 表示球的半径 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是 符合题目要求的 1 复数1 3 3 i i 等于 A i B i C 3i D 3i 2 设集合 22 Ax xxR 2 12By yxx 则 R CAB 等于 A R B 0 x xR x C 0 D 3 若抛物线 2 2ypx 的焦点与椭圆 22 1 62 xy 的右焦点重合 则p的值为 A 2 B 2 C 4 D 4 4 设 aR b 已知命题 p ab 命题 2 22 22 abab q 则p是q成立的 A 必要不充分条件 B 充分不必要条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 5 函数 2 2 0 0 x x y xx 的反函数是 A 0 2 0 x x y x x B 2 0 0 x x y x x C 0 2 0 x x y x x D 2 0 0 x x y x x 6 将函数sin 0 yx 的图象按向量 0 6 a 平移 平移后的图象如图所示 则平移后的图象所对应函数的 解析式是 A sin 6 yx B sin 6 yx C sin 2 3 yx D sin 2 3 yx 7 若曲线 4 yx 的一条切线l与直线480 xy 垂 直 则l的方程为 A 430 xy B 450 xy C 430 xy D 430 xy 8 设0a 对于函数 sin 0 sin xa f xx x 下列结论正确的是 A 有最大值而无最小值 B 有最小值而无最大值 2 C 有最大值且有最小值 D 既无最大值又无最小值 9 表面积为2 3 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上 则此球的体积为 A 2 3 B 1 3 C 2 3 D 2 2 3 10 如果实数xy 满足条件 10 10 10 xy y xy 那么2xy 的最大值为 A 2 B 1 C 2 D 3 11 如果 111 ABC 的三个内角的余弦值分别等于 222 A B C 的三个内角的正弦值 则 A 111 ABC 和 222 A B C 都是锐角三角形 B 111 ABC 和 222 A B C 都是钝角三角形 C 111 ABC 是钝角三角形 222 A B C 是锐角三角形 D 111 ABC 是锐角三角形 222 A B C 是钝角三角形 12 在正方体上任选 3 个顶点连成三角形 则所得的三角形是直角非等腰 三角形的概率为 A 1 7 B 2 7 C 3 7 D 4 7 第 卷 非选择题 共 90 分 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 把答案填写在答题卡的相应位置 13 设常数0a 4 2 1 ax x 展开式中 3 x的系数为 3 2 则 2 lim n n aaa 14 在ABCD 中 3ABa ADb ANNC M 为 BC 的中点 则MN 用a b 表示 15 函数 f x对于任意实数x满足条件 1 2f x f x 若 15 f 则 5ff 16 多面体上 位于同一条棱两端的顶点称为相邻的 如图 正方体的一个顶点 A 在平面 内 其余顶点在 的同侧 正方体上与顶点 A 相邻的三个顶点到 的距离分别为 1 2 和 4 P 是正方体的其 余四个顶点中的一个 则 P 到平面 的距离可能是 3 4 5 6 7 以上结论正确的为 写出所有正确结论的编号 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本大题满分 12 分 已知 310 tancot 43 求tan 的值 求 22 5sin8sincos11cos8 2222 2sin 2 的值 18 本大题满分 12 分 在添加剂的搭配使用中 为了找到最佳的搭配方案 需要对各种不同的 搭配方式作比较 在试制某种牙膏新品种时 需要选用两种不同的添加剂 现有芳香度分别为 0 1 2 3 4 5 的六种添加剂可供选用 根据试验设计原理 通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配 试验 用 表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和 写出 的分布列 以列表的形式给出结论 不必写计算过程 A B C D A1 B1 C1 D1 第 16 题图 3 求 的数学期望E 要求写出计算过程或说明道理 19 本大题满分 12 分 如图 P 是边长为 1 的正六边形 ABCDEF 所在平面外一点 1PA P 在 平面 ABC 内的射影为 BF 的中点 O 证明PA BF 求面APB与面DPB所成二面角的大小 20 本大题满分 12 分 已知函数 f x在 R 上有定义 对任何实数0a 和任何实数x 都有 f axaf x 证明 00f 证明 0 0 kx x f x hx x 其中k和h均为常数 当 中的0k 时 设 1 0 g xf xx f x 讨论 g x在 0 内的单调性 并求极值 21 本大题满分 12 分 数列 n a的前n项和为 n S 已知 2 1 1 1 1 2 2 nn aSn an nn 写出 n S与 1n S 的递推关系式 2n 并求 n S关于n的表达式 设 1 n n nnn S fxxbfppR n 求数列 n b的前n项和 n T 22 本大题满分 14 分 如图 F 为双曲线 C 22 22 10 0 xy ab ab 的右焦点 P 为双曲线 C 右支上一点 且位于x轴上方 M 为左准线上一点 O为坐标原点 已知四边形OFPM为平行四边形 PFOF 写出双曲线 C 的离心率e与 的关系式 当1 时 经过焦点 F 且平行于 OP 的直线交 双曲线于 A B 点 若12AB 求此时的双曲线方程 1 解 1 3131 3 13 ii i iiii 故选 A 2 解 0 2 A 4 0 B 所以 0 RR CABC 故选 B 3 解 椭圆 22 1 62 xy 的右焦点为 2 0 所以抛物线 2 2ypx 的焦点为 2 0 则4p 故选 D 4 解 命题 p ab 是命题 2 22 22 abab q 等号成立的条件 故选 B 5 解 有关分段函数的反函数的求法 选 C 6 解 将函数sin 0 yx 的图象按向量 0 6 a 平移 平移后的图象所对应的解析式为 sin 6 yx 由图象知 73 1262 所以2 因此选 C O F x y P M 第 22 题图 H 4 7 解 与直线480 xy 垂直的直线l为40 xym 即 4 yx 在某一点的导数为 4 而 3 4yx 所以 4 yx 在 1 1 处导数为 4 此点的切线为430 xy 故选 A 8 解 令sin 0 1 tx t 则函数 sin 0 sin xa f xx x 的值域为函数1 0 1 a yt t 的 值域 又0a 所以1 0 1 a yt t 是一个减函减 故选 B 9 解 此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形 所以由 2 3 82 3 4 a 知 1a 则此球的 直径为2 故选 A 10 解 当直线2xyt 过点 0 1 时 t最大 故选 B 11 解 111 ABC 的三个内角的余弦值均大于 0 则 111 ABC 是锐角三角形 若 222 A B C 是锐角三角 形 由 211 211 211 sincossin 2 sincossin 2 sincossin 2 AAA BBB CCC 得 21 21 21 2 2 2 AA BB CC 那么 222 2 ABC 所以 222 A B C 是 钝角三角形 故选 D 12 解 在正方体上任选 3 个顶点连成三角形可得 3 8 C个三角形 要得直角非等腰 三角形 则每个顶 点上可得三个 即正方体的一边与过此点的一条面对角线 共有 24 个 得 3 8 24 C 所以选 C 13 解 1 48 2 2 14 r rrr r TC axx 由 1 8 23 2 2 r r xxxr 得 4 4 31 22 rr C a 由知a 所以 2 1 2 lim 1 1 1 2 n n aaa 所以为 1 14 解 343A 3 ANNCANCab 由得 1 2 AMab 所以 3111 4244 MNababab 15 解 由 1 2f x f x 得 1 4 2 f xf x f x 所以 5 1 5ff 则 11 5 5 1 12 5 ffff f 16 解 如图 B D A1到平面 的距离分别为 1 2 4 则 D A1的 中点到平面 的距离为 3 所以 D1到平面 的距离为 6 B A1的中点到 平面 的距离为 5 2 所以 B1到平面 的距离为 5 则 D B 的中点到平面 的距离为 3 2 所以 C 到平面 的距离为 3 C A1的中点到平面 的距 离为 7 2 所以 C1到平面 的距离为 7 而 P 为 C C1 B1 D1中的一点 所以选 A B C D A1 B1 C1 D1 第 16 题图 5 17 解 由 10 tancot 3 得 2 3tan10tan30 即 1 tan3tan 3 或 又 3 4 所以 1 tan 3 为所求 22 5sin8sincos11cos8 2222 2sin 2 1 cos1 cos 54sin118 22 2cos 55cos8sin11 11cos16 2 2cos 8sin6cos8tan6 2 2cos2 2 5 2 6 18 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 P 1 15 1 15 2 15 2 15 3 15 2 15 2 15 1 15 1 15 112232221 1234567895 151515151515151515 E 19 解 在正六边形 ABCDEF 中 ABF 为等腰三角形 P 在平面 ABC 内的射影为 O PO 平面 ABF AO 为 PA 在平 面 ABF 内的射影 O 为 BF 中点 AO BF PA BF PO 平面 ABF 平面 PBF 平面 ABC 而 O 为 BF 中点 ABCDEF 是正六边形 A O D 共线 且直线 AD BF 则 AD 平面 PBF 又 正六边形 ABCDEF 的边长为 1 1 2 AO 3 2 DO 3 2 BO 过 O 在平面 POB 内作 OH PB 于 H 连 AH DH 则 AH PB DH PB 所以AHD 为所求二面角平面角 在AHO 中 OH 21 7 1 2 tan 21 7 AO AHO OH 7 2 21 在DHO 中 3 21 2 tan 221 7 DO DHO OH 而 721 4 282 2 21 tantan 7213 21 1 22 21 AHDAHODHO 以 O 为坐标原点 建立空间直角坐标系 P 0 0 1 A 0 1 2 0 B 3 2 0 0 D 0 2 0 1 0 1 2 PA A B C D E F O P 第 19 题图 H A B C D E F O P 第 19 题图 H 6 3 0 1 2 PB 0 2 1 PD 设平面 PAB的法向量为 111 1 nx y 则 1 nPA 1nPB 得 1 1 1 10 2 3 10 2 y x 1 2 3 2 1 3 n 设平面 PDB 的法向量为 222 1 nxy 则 2 nPD 2 nPB 得 2 2 210 3 10 2 y x 2 2 3 1 1 32 n 12 12 12 cos n n n n nn 20 证明 令0 x 则 00faf 0a 00f 令xa 0a 0 x 则 2 f xxf x 假设0 x 时 f xkx kR 则 22 f xkx 而 2 xf xx kxkx 2 f xxf x 即 f xkx 成立 令xa 0a 0 x 2 fxxf x 假设0 x 时 f xhx hR 则 22 fxhx 而 2 xf xx hxhx 2 fxxf x 即 f xhx 成立 0 0 kx x f x hx x 成立 当0 x 时 11 g xf xkx f xkx 2 22 11 x g xk kxkx 令 0g x 得11xx 或 当 0 1 x 时 0g x g x是单调递增函数 所以当1x 时 函数 g x在 0 内取得极小值 极小值为 1 1 gk k 21 解 由 2 1 nn Sn an n 2n 得 2 1 1 nnn SnSSn n 即 22 1 1 1 nn nSn Sn n 所以 1 1 1 1 nn nn SS nn 对2n 成立 由 1 1 1 1 nn nn SS nn 12 1 1 12 nn nn SS nn 21 32 1 21 SS 相加得 1 1 21 n n SSn n 又 11 1 2 Sa 所以 2 1 n n S n 当1n 时 也成立 由 11 1 nn n n Sn fxxx nn 得 n nn bfpnp 而 231 23 1 nn n Tpppnpnp 2341 23 1 nn n pTpppnpnp 7 23111 1 1 1 n nnnn n pp P Tpppppnpnp p 22 解 四边形OFPM是 OFPMc 作双曲线的右准线交 PM 于 H 则 2 2 a PMPH c 又 22 22222 22 22 PFOFcce e aaPHcae cc cc 2 20ee 当1 时 2e 2ca 22 3ba 双曲线为 22 22 1 43 xy aa 四边形OFPM是菱形 所以直线 OP 的斜率为3 则直线 AB 的方程为3 2 yxa 代入到双曲线方程得 22 948600 xaxa 又12AB 由 22 1212 1 4ABkxxx x 得 2 2 4860 122 4 99 aa 解得 2 9 4 a 则 2 27 4 b 所以 22 1 27 9 4 xy 为所求 8 2007 年年高考高考 安徽卷安徽卷 数数 学学 理科理科 一一 选择题选择题 本大题共本大题共 11 小题小题 每小题每小题 5 分分 共共 55 分分 在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合只有一项是符合 题目要求的题目要求的 1 下列函数中 反函数是其自身的函数为 A 0 3 xxxf B 3 xxxf C xexf x D 0 1 x x xf 2 设 l m n均为直线 其中 m n在平面 内 l 是lm 且ln 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 3 若对任意 xR 不等式xax 恒成立 则实数a的取值范围是 A 1a B a 1 C a 1 D 1a 4 若a为实数 i ai 21 2 2i 则a等于 A 2 B 2 C 22 D 22 5 若 822 2 x xA 1logR 2 xxB 则 CRBA 的元素个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 6 函数 3 2sin 3 xxf的图象为 C 图象C关于直线 12 11 x对称 函数 xf在区间 12 5 12 内是增函数 由xy2sin3 的图象向右平移 3 个单位长度可以得到图象C 以上三个论断中 正确论断的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 7 如果点P在平面区域 02 012 022 yx yx yx 上 点Q在曲线1 2 22 yx上 那么QP 的最小值为 9 A 15 B 1 5 4 C 122 D 12 8 半径为 1 的球面上的四点DCBA 是正四面体的顶点 则A与B两点间的球面距离为 A 3 3 arccos B 3 6 arccos C 3 1 arccos D 4 1 arccos 9 如图 1 F和 2 F分别是双曲线 0 0 1 2 2 2 2 ba b r a x 的两个焦点 A和B是以O为圆心 以 1 FO为半径的圆与该双曲线左支的两个交 点 且 ABF2是等边三角形 则双曲线的离心率为 A 3 B 5 C 2 5 D 31 10 以 x 表示标准正态总体在区间 x 内取值的概率 若随机变量 服从正态分布 2 N 则概率 P等于 A B 1 1 C 1 D 2 11 定义在 R 上的函数 xf既是奇函数 又是周期函数 T是它的一个正周期 若将方程0 xf在闭 区间 TT 上的根的个数记为n 则n可能为 A 0 B 1 C 3 D 5 二二 填空题填空题 本大题共本大题共 4 小题小题 每小题每小题 4 分分 共共 16 分分 把答案填在答题卡的相应位置把答案填在答题卡的相应位置 12 若 3 1 2 n x x 的展开式中含有常数项 则最小的正整数n等 于 13 在四面体 O ABC 中 OAa OBb OCc D 为 BC 的中点 E 为 AD 的中点 则OE 用 a b c 表示 14 如图 抛物线 2 1yx 与 x 轴的正半轴交于点 A 将线段 OA 的 n 等分点从左至右依次记为 P1 P2 Pn 1 过这些分点分别作 x 轴的垂线 与抛物线的交点依次为 Q1 Q2 Qn 1 从而得到 n 1 个直角三角形 Q1OP1 Q2P1P2 Qn 1Pn 1Pn 1 当 n 时 10 这些三角形的面积之和的极限为 15 在正方体上任意选择 4 个顶点 它们可能是如下各种几何形体的 4 个顶点 这些几何形体是 写出所有正确结论的编号 矩形 不是矩形的平行四边形 有三个面为等腰直角三角形 有一个面为等边三角形的四面体 每个面都是等边三角形的四面体 每个面都是直角 三角形的四面体 三三 解答题解答题 本大题共本大题共 6 小题小题 共共 79 分分 解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程证明过程或演算步骤或演算步骤 16 本小题满分 12 分 已知 0 cos 2 48 f xx 为的最小正周期 1 tan 1 4 a cos 2b 且a bm 求 sincos 2sincos2 2 的值 17 本小题满分 14 分 如图 在六面体 ABCD A1B1C1D1中 四边 形 ABCD 是边长为 2 的正方形 四边形 A1B1C1D1是边长为 1 的正方 形 DD1 平面 A1B1C1D1 DD1 平面 ABCD DD1 2 求证 A1C1与 AC 共面 B1D1与 BD 共面 求证 平面 A1ACC1 平面 B1BDD1 求二面角 A BB1 C 的大小 18 本小题满分 14 分 设0a 2 1 ln2 ln0f xxxax x 令 F xxfx 讨论 F x 在 0 内的单调性并求极值 求证 当 x 1 时 恒有 2 ln2 ln1xxax 11 19 本小题满分 12 分 如图 曲线 G 的方程为 y2 2x y 0 以原点为圆心 以 t t 0 为半径的圆分别与曲线 G 和 y 轴的 正半轴相交于点 A 与点 B 直线 AB 与 x 轴相交于点 C 求点 A 的横坐标 a 与点 C 的横坐标 c 的关系式 设曲线 G 上点 D 的横坐标为 a 2 求证 直线 CD 的斜率为定值 20 本小题满分 13 分 在医学生物学试验中 经常以果蝇作为试验对象 一个关有 6 只果蝇的笼子里 不慎混入了两只苍蝇 此时笼内共有 8 只蝇子 6 只果蝇和 2 只苍蝇 只好把笼子打开一个小孔 让蝇 子一只一只地往外飞 直到 两只苍蝇都飞出 再关闭小孔 以 表示笼内还剩下的果蝇 的只数 写出 的分布列 不要求写出计算过程 求数学期望 E 求概率 P E 21 本小题满分 14 分 某国采用养老储备金制度 公民在就业的第一年就交纳养老储备金 数目为 a1 以后每年交纳的数目均比上一年增加 d d 0 因此 历年所交纳的储务金数目 a1 a2 是一个公差 为 d 的等差数列 与此同时 国家给予优惠的计息政策 不仅采用固定利率 而且计算复利 这就是说 如果固定年利率为 r r 0 那么 在第 n 年末 第一年所交纳的储备金就变为 a1 1 r n 1 第二年 所交纳的储备金就变为 a2 1 r n 2 以 T n表示到第 n 年末所累计的储备金总额 写出 Tn与 Tn 1 n 2 的递推关系式 求证 Tn An Bn 其中 An 是一个等比数列 Bn 是一个等差数列 一一 选择题选择题 本题考查基本知识和基本运算本题考查基本知识和基本运算 每小题每小题 5 分分 满分满分 55 分分 1 D 2 A 3 B 4 B 5 C 6 C 7 A 8 C 9 D 10 B 11 D 12 二二 填空题填空题 本题考查基本知识和基本运算本题考查基本知识和基本运算 每小题每小题 4 分分 满分满分 16 分分 12 7 13 cba 4 1 4 1 2 1 14 3 1 15 三三 解答题解答题 16 本小题满分 12 分 本小题主要考查周期函数 平面向量数量积与三角函数基本关系式 考查运算能力和推理能力 本小 题满分 12 分 解 因为 为 8 2cos xxf的最小正周期 故 因 a b m 又 a b 2 4 1 tan cos aa 故 2 4 1 tan cos maa 由于 4 0 a 所以 sincos 22sin cos2 sincos 2sincos2 22 a sincos sin coscos2 sincos 2sincos2 2 1tan 2cos2costan 2 2 1tan4 m 17 本小题满分 14 分 本小题主要考查直线与平面的位置关系 平面与平面的位置关系 二面角及其平面角等有关知识 考查空间想象能力和思维能力 应用向量知识解决立体几何问题的能力 本小题满分 14 分 解法解法 1 向量法向量法 以 D 为原点 以 DA DC 1 DD所在直线分别为 x 轴 y 轴 z 轴建立空间直角坐标系xyzD 如图 则有 13 A 2 0 0 B 2 2 0 C 0 2 0 2 0 0 2 1 0 2 1 1 2 0 1 1111 DCBA 证明 0 2 2 0 1 1 11 ACCA 0 2 2 0 1 1 11 DBBD 2 2 1111 BDDBCAAC 平行 与平行 与 1111 BDDBCAAC 于是 11C A与 AC 共面 11D B与 BD 共面 证明 0022200 1 ACDD 0022022 ACDB 1 ACDBACDD 是平面与 111 BDDBDBDD内的两条相交直线 11BDD BAC平面 又平面 过ACACCA 11 1111 BDDBACCA平面平面 解 210211201 111 CCBBAA 设的法向量 为平面 11111 ABBAzyxn 14 02 02 1111111 zyxBBnzxAAn 于是 1 0 2 2 1 0 111 nzzy则取 设的法向量 为平面 11222 BCCBzyxm 02 02 2212221 zyCCmzyxBBm 于是 1 2 0 2 1 0 222 myzx则取 1 cos 5 m n m n m n 1 1 arccos 5 ABBC 二面角的大小为 解法解法 2 综合法综合法 证明 平面平面ABCDDDDCBADD 111111 111111 DCBADCDDDADD平面 平面 ABCD 于是 11D C CD 11A D DA 设 E F 分别为 DA DC 的中点 连结 EF 11 FCEA 有EA1 FCDD 11 1 1 1 DFDEDD EA1 1F C 15 于是 11C A EF 由 DE DF 1 得 EF AC 故 11C A AC 11C A与 AC 共面 过点 连结 则于点平面作OFOEFCOBEAOBOABCDOBB 111111 于是 1111 OFOECBOFABOE 1111 ADOEDAAB 1111 CDOFDCCB 所以点 O 在 BD 上 故 11 共面与DBBD 证明 11 ACDDABCDDD 平面 又 BD AC 正方形的对角线互相垂直 111 BDDBBDDD是平面与内的两条相交直线 11BDD BAC平面 又平面 111111 BDDBACCAACACCA平面平面 过 解 直线 DB 是直线 1 DBACABCDBB 上的射影 在平面 根据三垂线定理 有 AC 1B B 过点 A 在平面 111 MOMCMBBAMAABB 连结于内作 则 平面AMCBB 1 于是 MOBBMCBB 11 16 所以 AMC 是二面角 1 的一个平面角CBBA 根据勾股定理 有 6 5 5 111 BBCCAA 有 1B BOM 3 10 3 10 3 2 3 2 1 1 CMAMBM BB OBOB OM 5 1 2 cos 222 CMAM ACCMAM AMC 5 1 arccos AMC 二面角 1 1 arccos 5 ABBC 的大小为 18 本小题满分 14 分 本小题主要考查函数导数的概念与计算 利用导数研究函数的单调性 极值和证明不等式的方法 考查综合运用有关知识解决问题的能力 本小题满分 14 分 解 根据求导法则得 0 2In2 1 x x a x x xf 故 0 2In2 xaxxxxfxF 于是 0 22 1 x x x x xF 列表如下 x 0 2 2 2 F x 0 F x 极小值 F 2 故知 F x 在 0 2 内是减函数 在 2 内是增函数 所以 在 x 2 处取得极小值 F 2 2 2In2 2a 证明 由 022In2 2 0 aFxFa 的极小值知 17 于是由上表知 对一切 0 0 xxfxFx 恒有 从而当 0 0 0 内单调增加在 故时 恒有 xfxfx 所以当 0 In2In1 0 1 1 2 xaxxfxfx 即时 故当 1In2In1 2 xaxxx 时 恒有 19 本小题满分 12 分 本小题综合考查平面解析几何知识 主要涉及平面直角坐标系中的两点间距离公式 直线的方程与 斜率 抛物线上的点与曲线方程的关系 考查运算能力与思维能力 综合分析问题的能力 本小题满分 12 分 解 由题意知 A aa2 因为 22 2OAtaat 所以 由于 1 2 0 2 aatt 故有 由点 B 0 t C c 0 的坐标知 直线 BC 的方程为 1 t y c x 又因点 A 在直线 BC 上 故有 1 2 t a c a 将 1 代入上式 得 1 2 2 aa a c a 18 解得 2 22 aac 因为的斜率为所以直线CDaaD 2 2 2 1 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 a a aaa a ca a kCD 所以直线 CD 的斜率为定值 20 本小题满分 13 分 本小题主要考查等可能场合下的事件概率的计算 离散型随机变量的分布列 数学期望的概念及其 计算 考查分析问题及解决实际问题的能力 本小题满分 13 分 解 1 的分布列为 数学期望为 E 2 435261 28 2 所求的概率 28 15 28 12345 2 PEP 21 本小题满分 14 分 本小题主要考查等差数列 等比数列的基本概念和基本方法 考查学生阅读资料 提取信息 建立 数学模型的能力 考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力 本小题满分 14 分 解 我们有 2 1 1 narTT nnn 得反复使用上述关系式 对2 11 naT nannnn ararTarTT 1 1 1 1 2 21 1 1 1 1 2 2 1 1nn aa ararara 19 在 式两端同乘 1 r 得 1 1 1 1 1 2 1 1 21 rarararaTr nn na n 得 n nnn n arrrdrarT 1 1 1 1 21 1 1 1 1 1n nn ararr r d 即 11 22 1 n n a rda rdd Trn rrr 如果记 1 2 1 2 1 n r d r dra Br r dra A n n n 则 nnn BAT 其中 是以为公比的等比数列为首项 以是以 nn Brrr r dra A 0 1 1 2 1 1 2 a rddd rrr 为首项 为公差的等差数列 2008 年全年全国统一考试国统一考试 安徽卷安徽卷 数 学 理科 一一 选择题选择题 本大题共本大题共 12 小题小题 每小题每小题 5 分分 共共 60 分分 在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合只有一项是符合 题目要求的题目要求的 1 复数 32 1 ii A 2 B 2 C 2i D 2i 2 集合 lg 1AyR yx x 2 1 1 2B 则下列结论正确的是 A 2 1AB B 0 R C AB C 0 AB D 2 1 R C AB 20 3 在平行四边形 ABCD 中 AC 为一条对角线 若 2 4 AB 1 3 AC 则BD A 2 4 B 3 5 C 3 5 D 2 4 4 已知 m n是两条不同直线 是三个不同平面 下列命题中正确的是 A mnmn 若则 B 若则 C mm 若则 D mnmn 若则 5 将函数sin 2 3 yx 的图象按向量 平移后所得的图象关于点 0 12 中心对称 则向量 的坐 标可能为 A 0 12 B 0 6 C 0 12 D 0 6 6 设 88 018 1 xaa xa x 则 0 18 a aa 中奇数的个数为 A 2 B 3 C 4 D 5 7 0a 是方程 2 210axx 至少有一个负数根的 A 必要不充分条件 B 充分不必要条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 8 若过点 4 0 A的直线l与曲线 22 2 1xy 有公共点 则直线l的斜率的取值范围为 A 3 3 B 3 3 C 33 33 D 33 33 9 在同一平面直角坐标系中 函数 yg x 的图象与 x ye 的图象关于直线yx 对称 而函数 yf x 的图象与 yg x 的图象关于y轴对称 若 1f m 则m的值是 A e B 1 e C e D 1 e 10 设两个正态分布 2 111 0 N 和 2 222 0 N 的密度函数图像如图所示 则有 A 1212 B 1212 C 1212 D 1212 11 若函数 f x g x分别是R上的奇函数 偶函数 且满足 x f xg xe 则有 21 A 2 3 0 ffg B 0 3 2 gff C 2 0 3 fgf D 0 2 3 gff 12 12 名同学合影 站成前排 4 人后排 8 人 现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前排 若其他人的 相对顺序不变 则不同调整方法的总数是 A 22 83 C A B 26 86 C A C 22 86 C A D 22 85 C A 二二 填空题填空题 本大题共本大题共 4 小题小题 每小题每小题 4 分分 共共 16 分分 把答案填在答题卡的相应位置把答案填在答题卡的相应位置 13 函数 2 21 log 1 x f x x 的定义域为 14 在数列 n a在中 5 4 2 n an 2 12n aaaanbn nN 其中 a b为常数 则lim nn nn n ab ab 的值是 15 若A为不等式组 0 0 2 x y yx 表示的平面区域 则当a从 2 连续变化到 1 时 动直线xya 扫 过A中的那部分区域的面积为 16 已知 A B C D在同一个球面上 ABBCD 平面 BCCD 若6 AB 2 13 AC 8AD 则 B C两点间的球面距离是 三三 解答题解答题 本大题共本大题共 6 小题小题 共共 74 分分 解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 17 本小题满分本小题满分 12 分分 已知函数 cos 2 2sin sin 344 f xxxx 求函数 f x的最小正周期和图象的对称轴方程 求函数 f x在区间 12 2 上的值域 18 本小题满分本小题满分 12 分分 如图 在四棱锥OABCD 中 底面ABCD 四边长为 1 的菱形 4 ABC OAABCD 底面 2OA M为 OA的中点 N为BC的中点 证明 直线MNOCD平面 求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小 求点 B 到平面 OCD 的距离 22 19 本小题满分本小题满分 12 分分 为防止风沙危害 某地决定建设防护绿化带 种植杨树 沙柳等植物 某人 一次种植了 n 株沙柳 各株沙柳成活与否是相互独立的 成活率为 p 设 为成活沙柳的株数 数学期 望3E 标准差 为 6 2 求 n p的值并写出 的分布列 若有 3 株或 3 株以上的沙柳未成活 则需要补种 求需要补种沙柳的概率 20 本小题满分本小题满分 12 分分 设函数 1 01 ln f xxx xx 且 求函数 f x的单调区间 已知 1 2 a x x 对任意 0 1 x 成立 求实数a的取值范围 21 本小题满分本小题满分 13 分分 设数列 n a满足 3 11 0 1 nn aacac nNc 其中为实数 证明 0 1 n a 对任意 nN 成立的充分必要条件是 0 1 c 设 1 0 3 c 证明 1 1 3 n n acnN 设 1 0 3 c 证明 222 12 2 1 1 3 n aaannN c 23 22 本小题满分本小题满分 13 分分 设椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 过点 2 1 M 且着焦点为 1 2 0 F 求椭圆C的方程 当过点 4 1 P的动直线l与椭圆C相交与两不同点 A B时 在线段AB上取点Q 满足 AP QBAQ PB 证明 点Q总在某定直线上 2008 年高考安徽年高考安徽理科数学试题参考答案理科数学试题参考答案 一一 选择题选择题 1A 2D 3B 4D 5C 6A 7B 8C 9B 10A 11D 12C 二二 13 3 14 1 15 7 4 16 4 3 三三 解答题解答题 17 解解 1 cos 2 2sin sin 344 f xxxx 24 Q E N M A B D C O P 13 cos2sin2 sincos sincos 22 xxxxxx 22 13 cos2sin2sincos 22 xxxx 13 cos2sin2cos2 22 xxx sin 2 6 x 2 T 2 周期 由2 6223 k xkkZxkZ 得 函数图象的对称轴方程为 3 xkkZ 2 5 2 12 2636 xx 因为 sin 2 6 f xx 在区间 12 3 上单调递增 在区间 3 2 上单调递减 所以 当 3 x 时 f x取最大值 1 又 31 12222 ff 当 12 x 时 f x取最小值 3 2 所以 函数 f x在区间 12 2 上的值域为 3 1 2 18 方法一方法一 综合法综合法 1 取 OB 中点 E 连接 ME NE MECDMECD AB AB 又 NEOCMNEOCD 平面平面 MNOCD 平面 2 CD AB MDC 为异面直线AB与MD所成的角 或其补角 25 xy z N M A B D C O P 作 APCDP 于连接MP 平面ABCD OA CDMP 2 42 ADP DP 22 2MDMAAD 1 cos 23 DP MDPMDCMDP MD 所以 AB与MD所成角的大小为 3 3 AB平面 OCD 点 A 和点 B 到平面 OCD 的距离相等 连接 OP 过点 A 作 AQOP 于点 Q APCD OACDCDOAPAQCD 平面 又 AQOPAQOCD 平面 线段 AQ 的长就是点 A 到平面 OCD 的距离 22222 13 2 4 1 22 OPODDPOAADDP 2 2 APDP 2 2 2 2 33 2 2 OA AP AQ OP 所以点 B 到平面 OCD 的距离为 2 3 方法二方法二 向量法向量法 作APCD 于点 P 如图 分别以 AB AP AO 所在直线为 x y z轴建立坐标系 22222 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 1 1 0 22244 ABPDOMN 1 22222 1 1 0 2 2 44222 MNOPOD 设平面OCD的法向量为 nx y z 则0 0n OPn OD 即 2 20 2 22 20 22 yz xyz 取2z 解得 0 4 2 n 22 1 1 0 4 2 0 44 MN n 26 MNOCD 平面 2 设AB与MD所成的角为 22 1 0 0 1 22 ABMD 1 cos 23 AB MD ABMD AB与MD所成角的大小为 3 3 设点 B 到平面 OCD 的距离为d 则d为OB 在向量 0 4 2 n 上的投影的绝对值 由 1 0 2 OB 得 2 3 OB n d n 所以点 B 到平面 OCD 的距离为 2 3 19 1 由 2 3 3 1 2 Enpnpp 得 1 1 2 p 从而 1 6 2 np 的分布列为 0 1 2 3 4 5 6 P 1 64 6 64 15 64 20 64 15 64 6 64 1 64 2 记 需要补种沙柳 为事件 A 则 3 P AP 得 1 6 152021 6432 P A 或 156 121 1 3 1 6432 P AP 20 解解 1 22 ln1 ln x fx xx 若 0 fx 则 1 x e 列表如下 x 1 0 e 1 e 1 1 e 1 fx 0 f x 单调增 极大值 1 f e 单调减 单调减 2 在 1 2 a x x 两边取对数 得 1 ln2lnax x 由于01 x 所以 1 ln2ln a xx 1 由 1 的结果可知 当 0 1 x 时 1 f xfe e 为使 1 式对所有 0 1 x 成立 当且仅当 ln2 a e 即ln2ae 27 21 解解 1 必要性必要性 12 0 1aac 又 2 0 1 011ac 即 0 1 c 充分性充分性 设 0 1 c 对 nN 用数学归纳法证明 0 1 n a 当1n 时 1 0 0 1 a 假设 0 1 1 k ak 则 3 1 111 kk acaccc 且 3 1 110 kk acacc 1 0 1 k a 由数学归纳法知 0 1 n a 对所有 nN 成立 2 设 1 0 3 c 当1n 时 1 0a 结论成立 当2n 时 32 1111 1 1 1 1 nnnnnn acacacaaa 1 0 3 C 由 1 知 1 0 1 n a 所以 2 11 13 nn aa 且 1 10 n a 1 13 1 nn aca 211 121 13 1 3 1 3 1 3 nn nnn acacacac 1 1 3 n n acnN 3 设 1 0 3 c 当1n 时 2 1 2 02 1 3 a c 结论成立 当2n 时 由 2 知 1 1 3 0 n n ac 21 212 1 1 1 3 12 3 3 12 3 nnnn n acccc 2222221 122 12 3 3 3 n nn aaaaanccc 2 1 3 2 11 1 31 3 n c nn cc 22 解解 1 由题意 2 22 222 2 21 1 c ab cab 解得 22 4 2ab 所求椭圆方程为 22 1 42 xy 2 方法一方法一 28 设点 Q A B 的坐标分别为 1122 x yx yxy 由题设知 APPBAQ QB 均不为零 记 APAQ PBQB 则0 且1 又 A P B Q 四点共线 从而 APPB AQQB 于是 12 4 1 xx 12 1 1 yy 12 1 xx x 12 1 yy y 从而 222 12 2 4 1 xx x 1 222 12 2 1 yy y 2 又点 A B 在椭圆 C 上 即 22 11 24 3 xy 22 22 24 4 xy 1 2 2 并结合 3 4 得424sy 即点 Q x y总在定直线220 xy 上 方法二方法二 设点 1122 Q x yA x yB xy 由题设 PAPBAQ QB 均不为零 且 PAPB AQQB 又 P A Q B四点共线 可设 0 1 PAAQ PBBQ 于是 11 41 11 xy xy 1 22 41 11 xy xy 2 由于 1122 A x yB xy在椭圆 C 上 将 1 2 分别代入 C 的方程 22 24 xy 整理得 222 24 4 22 140 xyxy 3 222 24 4 22 140 xyxy 4 4 3 得 8 22 0 xy 0 220 xy 29 即点 Q x y总在定直线220 xy 上 30 2009 年全国统一考试 安徽卷 数学 理科 一 选择题 本大题 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 1 i 是虚数单位 若1 7 2 i abi a bR i 则乘积ab的值是 A 15 B 3 C 3 D 15 2 若集合 21 21 3 0 3 x AxxBx x 则 A B 是 A 1 123 2 xxx 或 B 23xx C 1 2 2 xx D 1 1 2 xx 3 下列曲线中离心率为 6 2 的是 A 22 1 24 xy B 22 1 42 xy C 22 1 46 xy D 22 1 410 xy 4 下列选项中 p 是 q 的必要不充分条件的是 A p ac b d q a b 且 c d B p a 1 b 1 q 10 x f xaba 的图像不过第二象限 C p x 1 q 2 xx D p a 1 q log 10 a f xxa 在 0 上为增函数 5 已知 n a为等差数列 1 a 3 a 5 a 105 246 aaa 99 以 n S表示 n a的前n项和 则使得 n S达 到最大值的n是 A 21 B 20 C 19 D 18 6 设a b 函数 2 yxaxb 的图像可能是 7 若不等式组 0 34 34 x xy xy 所表示的平面区域被直线 4 3 ykx 分为面积相等的两部分 则k的值是 A 7 3 B 3 7 C 4 3 D 3 4 8 已知函数 3sincos 0 f xxx yf x 的图像与直线2y 的两个相邻交点的距离等于 则 f x的单调区间是 31 A 5 1212 kkkZ B 511 1212 kkkZ C 36 kkkZ D 2 63 kkkZ 9 已知函数 f x在 R 上满足 2 2 2 88f xfxxx 则曲线 yf x 在点 1 1 f处的切 线方程是 A 21yx B yx C 32yx D 23yx 10 考察正方体 6 个面的中心 甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线 乙也从这 6 个点中任意选两 个点连成直线 则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于 A 1 75 B 2 75 C 3 75 D 4 75 二二 填空题填空题 本大题共本大题共 5 小题小题 每小题每小题 5 分分 共共 25 分分 11 若随机变量X 2 则 P X 12 以直角坐标系的原点为极点 x轴的