2009年全国高考文科数学试题及答案-辽宁卷.pdf

2009 年普通高等学校招生全国统一考试 重庆卷 数学试题卷 文史类 2009 年普通高等学校招生全国统一考试 重庆卷 数学试题卷 文史类 本试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟 本试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟 第 卷 第 卷 考生注意 考生注意 1 答题前 务必将自己的姓名 准考证号 填写清楚 并贴好条形码 请认真核准条 形码上的准考证号 姓名和科目 2 每小题选出答案后 用 2 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 在试题卷上作答无效 3 本卷共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是 符合题目要求的 4 所有题目必须在答题卡上作答 在试题卷上答题无效 5 考试结束后 将试题卷和答题卡一并交回 参考公式 参考公式 如果事件AB 互斥 那么 P ABP AP B 如果事件AB 相互独立 那么 P A BP A P B 如果事件A在一次试验中发生的概率是P 那么n次独立重复试验中恰好发生k次的 概率 1 01 2 kkn k nn P kC PPkn 以R为半径的球体积 3 4 3 VR 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个备选项中 只有一项是符合题目要求的 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个备选项中 只有一项是符合题目要求的 1 圆心在y轴上 半径为 1 且过点 1 2 的圆的方程为 A 22 2 1xy B 22 2 1xy C 22 1 3 1xy D 22 3 1xy 答案 A 解法 1解法 1 直接法 设圆心坐标为 0 b 则由题意知 2 1 2 1ob 解得2b 故圆的方程为 22 2 1xy 解法 2解法 2 数形结合法 由作图根据点 1 2 到圆心的距离为 1 易知圆心为 0 2 故 圆的方程为 22 2 1xy 解法 3解法 3 验证法 将点 1 2 代入四个选择支 排除 B D 又由于圆心在y轴上 排除 C 2 命题 若一个数是负数 则它的平方是正数 的逆命题是 A 若一个数是负数 则它的平方不是正数 B 若一个数的平方是正数 则它是负数 C 若一个数不是负数 则它的平方不是正数 D 若一个数的平方不是正数 则它不是负数 答案 B 解析 因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换 因此逆命题为 若 一个数的平方是正数 则它是负数 3 6 2 x 的展开式中 3 x的系数是 A 20 B 40 C 80 D 160 答案 D 解法 1 设含 3 x的为第1r 则1Tr 6 2 rrr n C x 令63r 得3r 故展开 式中 3 x的系数为 33 6 2160C 解法 2 根据二项展开式的通过公式的特点 二项展开式每一项中所含的x与 2 分得 的次数和为 6 则根据条件满足条件 3 x的项按 3 与 3 分配即可 则展开式中 3 x的系数 为 33 6 2160C 4 已知向量 1 1 2 x ab若a b与 4b2a平行 则实数x的值是 A 2 B 0 C 1 D 2 答案 D 解法 1 因为 1 1 2 abx 所以 3 1 42 6 42 abxbax 由于 ab 与42ba 平行 得6 1 3 42 0 xx 解得2x 解法 2 因为ab 与42ba 平行 则存在常数 使 42 abba 即 21 41 ab 根据向量共线的条件知 向量a与b共线 故2x 5 设 n a是公差不为 0 的等差数列 1 2a 且 136 a a a成等比数列 则 n a的前n项和 n S A 2 7 44 nn B 2 5 33 nn C 2 3 24 nn D 2 nn 答案 A 解析 设数列 n a的公差为d 则根据题意得 22 22 25 dd 解得 1 2 d 或 0d 舍去 所以数列 n a的前n项和 2 1 17 2 2244 n n nnn Sn 6 下列关系式中正确的是 A 000 sin11cos10sin168 B 000 sin168sin11cos10 C 000 sin11sin168cos10 D 000 sin168cos10sin11 答案 C 解析因为sin160sin 18012 sin12 cos10cos 9080 sin80 由于 正弦函数sinyx 在区间 0 90 上为递增函数 因此sin11sin12sin80 即 sin11sin160cos10 7 已知0 0ab 则 11 2ab ab 的最小值是 A 2 B 2 2 C 4 D 5 答案 C 解析因为 1111 2222 4ababab ababab 当且仅当 11 ab 且 1 ab ab 即ab 时 取 号 8 12 个篮球队中有 3 个强队 将这 12 个队任意分成 3 个组 每组 4 个队 则 3 个强队恰 好被分在同一组的概率为 A 1 55 B 3 55 C 1 4 D 1 3 答案 B 解析 因为将 12 个组分成 4 个组的分法有 444 1284 3 3 C C C A 种 而 3 个强队恰好被分在同一组 分 法 有 3144 3984 2 2 C C C C A 故 各 强 队 恰 好 被 分 在 同 一 组 的 概 率 为 314424443 9984212843 3 C C C C A C C C A 55 9 在正四棱柱 1111 ABCDABC D 中 顶点 1 B到对角线 1 BD和到平面 11 ABCD的距离分别 为h和d 则下列命题中正确的是 A 若侧棱的长小于底面的变长 则 h d 的取值范围为 0 1 B 若侧棱的长小于底面的变长 则 h d 的取值范围为 2 2 3 23 C 若侧棱的长大于底面的变长 则 h d 的取值范围为 2 3 2 3 D 若侧棱的长大于底面的变长 则 h d 的取值范围为 2 3 3 答案 C 解析 设底面边长为 1 侧棱长为 0 过 1 B作 1111 B HBD BGAB 在 11 Rt BB D 中 2 111 2 2B DB D 由 三 角 形 面 积 关 系 得 111 1 2 1 2 2 B D BB hB H B D 设在正四棱柱中 由于 1 BCAB BCBB 所以BC 平面 11 AAB B 于是 1 BCBG 所以 1 BG 平面 11 ABCD 故 1 BG 为点到平面 11 ABCD 的距离 在 11 Rt AB B 中 又由三角形面积关系得 111 1 2 11 AB BB dBG AB 于是 2 2 2 211 21 2 2 h d 于 是当1 所以 2 2 21 23 11 32 所以 2 3 1 3 h d 10 把函数 3 3f xxx 的图像 1 C向右平移u个单位长度 再向下平移v个单位长度后得 到图像 2 C 若对任意的0u 曲线 1 C与 2 C至多只有一个交点 则v的最小值为 A 2 B 4 C 6 D 8 答案 B 解 析 根 据 题 意 曲 线C的 解 析 式 为 3 3 yxuxuv 则 方 程 33 3 3xuxuvxx 即 23 3 3 0ux uuv 即 3 1 3 4 vuu 对任意0u 恒成立 于是 3 1 3 4 vuu 的最大值 令 3 1 3 0 4 g uuu u 则 2 33 3 2 2 44 g uuuu 由此知 函数 g u在 0 2 上为增函数 在 2 上为减函数 所以当2u 时 函数 g u取最大值 即为 4 于是4v 二 填空题 本大题共 5 小题 每小题 5 分 共 25 分 把答案写在答题卡相应位置上 二 填空题 本大题共 5 小题 每小题 5 分 共 25 分 把答案写在答题卡相应位置上 11 若 Un n 是小于 9 的正整数 AnU n 是奇数 BnU n 是 3 的倍数 则 U AB 答案 2 4 8 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 U 则 1 3 5 7 3 6 AB 所以 1 3 5 6 7 AB 所以 2 4 8 U AB 12 记 3 log 1 f xx 的 反 函 数 为 1 yfx 则 方 程 1 8fx 的 解 x 答案 2 解法 1 由 3 log 1 yf xx 得 1 3yx 即 1 31fxx 于是由318x 解得2x 解法 2 因为1 8fx 所以 3 8 log 8 1 2xf 13 5 个人站成一排 其中甲 乙两人不相邻的排法有 种 用数字作答 答案 72 解析 可分两个步骤完成 第一步骤先排除甲乙外的其他三人 有 3 3 A种 第二步将甲 乙二人插入前人形成的四个空隙中 有 2 4 A种 则甲 乙两不相邻的排法有 32 34 A A72 种 14 从一堆苹果中任取 5 只 称得它们的质量如下 单位 克 125 124 121 123 127 则该样本标准差s 克 用数字作答 答案 2 解析 因为 样 本 平均 数 1 125 124 121 123 127 124 5 x 则 样 本 方 差 222222 1 10313 4 5 s 所以2s 15 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的左 右焦点分别为 12 0 0 FcF c 若椭圆上存 在一点P使 1221 sinsin ac PFFPF F 则该椭圆的离心率的取值范围为 答案 21 1 解法 1 因为在 12 PFF 中 由正弦定理得 21 1221 sinsin PFPF PFFPF F 则由已知 得 1211 ac PFPF 即 12 aPFcPF 设点 00 xy由焦点半径公式 得 1020 PFaex PFaex 则 00 a aexc aex 记得 0 1 1 a caa e x e cae e 由椭圆的几何性质知 0 1 1 a e xaa e e 则 整理得 2 210 ee 解得2121 0 1 eee 或 又 故椭圆的离心率 21 1 e 解法 2 由解析 1 知 12 c PFPF a 由椭圆的定义知 2 12222 2 22 ca PFPFaPFPFaPF aca 则即 由椭圆的几何性质知 2 22 2 2 20 a PFacaccca ca 则既 所以 2 210 ee 以下同解析 1 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本小题满分 13 分 小问 7 分 小问 6 分 设函数 22 sincos 2cos 0 f xxxx 的最小正周期为 2 3 求 的最小正周期 若函数 yg x 的图像是由 yf x 的图像向右平移 2 个单位长度得到 求 yg x 的单调增区间 解 22 sincos 2cosf xxxx 22 sincossin212cos2xxxx sin2cos222sin 2 2 4 xxx 依题意得 22 23 故 的最小正周期为 3 2 依题意得 5 2sin 3 22sin 3 2 244 g xxx 由 5 232 242 kxkkZ 解得 227 34312 kxkkZ 故 yg x 的单调增区间为 227 34 312 kkkZ 17 本小题满分 13 分 问 7 分 问 6 分 某单位为绿化环境 移栽了甲 乙两种大树各 2 株 设甲 乙两种大树移栽的成活率分 别为 5 6 和 4 5 且各株大树是否成活互不影响 求移栽的 4 株大树中 至少有 1 株成活的概率 两种大树各成活 1 株的概率 解 设 k A表示第k株甲种大树成活 1 2k 设 l B表示第l株乙种大树成活 1 2l 则 1212 A A B B独立 且 1212 54 65 P AP AP BP B 至少有 1 株成活的概率为 22 12121212 11899 1 1 1 65900 P A AB BP AP AP BP B 由独立重复试验中事件发生的概率公式知 两种大树各成活 1 株的概率为 11 22 5 14 11084 6 65 5362545 PCC 18 本小题满分 13 分 问 7 分 问 6 分 如题 18 图 在五面体ABCDEF中 AB DC 2 BAD 2CDAD 四边形ABFE为平行四边形 FA 平面ABCD 3 7FCED 求 直线AB到平面EFCD的距离 二面角FADE 的平面角的正切值 解法一 ABDC DC 平面EFCD AB 到面EFCD的距离 等于点 A 到面EFCD的距离 过点 A 作AGFD 于 G 因 2 BAD AB DC 故 CDAD 又 FA 平面ABCD 由三垂线定理可知 CDFD 故CDFAD 面 知CDAG 所以 AG 为所求直线 AB 到面EFCD的距离 在RtABC 中 22 945FDFCCD 由FA 平面ABCD 得FA AD 从而在Rt FAD中 22 541FAFDAD 22 5 55 FA AD AG FD 即直线AB到平面EFCD的距离为 2 5 5 由己知 FA 平面ABCD 得FA AD 又由 2 BAD 知ADAB 故AD 平面 ABFE DAAE 所以 FAE 为二面角FADE 的平面角 记为 在RtAED 中 22 743AEEDAD 由ABCD 得 FEBA 从 而 2 AFE 在RtAEF 中 22 3 12FEAEAF 故tan2 FE FA 所以二面角FADE 的平面角的正切值为2 解法二 如图以 A 点为坐标原点 AB AD AF 的 方向为 x y z的正方向建立空间直角坐标系数 则 A 0 0 0 C 2 2 0 D 0 2 0 设 00 0 0 0 Fzz 可得 0 2 2 FCz 由 3FC 即 222 0 223z 解得 0 0 1 F AB DC DC 面EFCD 所以直线 AB 到面EFCD的 距离等于点 A 到面EFCD的距离 设 A 点在平面EFCD上的射影点为 111 G xy z 则 111 AGxy z 因0AG DF 且0AG CD 而 0 2 1 DF 2 0 0 CD 此即 11 1 20 20 yz x 解得 1 0 x 知 G 点在yoz面上 故 G 点在 FD 上 GFDF 111 1 GFxyz 故有 1 1 1 2 y z 联立 解得 2 4 0 5 5 G AG 为直线 AB 到面EFCD的距离 而 2 4 0 5 5 AG 所以 2 5 5 AG 因四边形ABFE为平行四边形 则可设 00 0 1 0 E xx 0 2 1 EDx A B C D E F x y z G 由 7ED 得 22 0 217x 解 得 0 2x 即 2 0 1 E 故 2 0 1 AE 由 0 2 0 AD 0 0 1 AF 因0AD AE 0AD AF 故FAE 为二面角 FADE 的 平 面 角 又 2 0 0 EF 2EF 1AF 所 以 tan2 EF FAE FA 19 本小题满分 12 分 问 7 分 问 5 分 已知 2 f xxbxc 为偶函数 曲线 yf x 过点 2 5 g xxa f x 求曲线 yg x 有斜率为 0 的切线 求实数a的取值范围 若当1x 时函数 yg x 取得极值 确定 yg x 的单调区间 解 2 f xxbxc 为偶函数 故 fxf x 即有 22 xbxcxbxc 解得0b 又曲线 yf x 过点 2 5 得 2 25 c 有1c 32 g xxa f xxaxxa 从而 2 321g xxax 曲线 yg x 有斜率为 0 的切线 故有 0g x 有实数解 即 2 3210 xax 有实数解 此时有 2 4120a 解得 33 a 所以实数a的取值范围 33 a 因1x 时函数 yg x 取得极值 故有 1 0g 即3210a 解得 2a 又 2 341 31 1 g xxxxx 令 0g x 得 12 1 1 3 xx 当 1 x 时 0g x 故 g x在 1 上为增函数 当 1 1 3 x 时 0g x 故 g x在 1 1 3 上为减函数 当 1 3 x 时 0g x 故 g x在 1 3 上为增函数 20 本小题满分 12 分 问 5 分 问 7 分 已知以原点O为中心的双曲线的一条准线方程为 5 5 x 离心 率5e 求该双曲线的方程 如题 20 图 点A的坐标为 5 0 B是圆 22 5 1xy 上的点 点M在双曲线右支上 求MAMB 的 最小值 并求此时M点的坐标 解 由题意 可 知 双曲 线的焦 点 在x轴上 故可设 双 曲线的 方 程为 22 22 1 0 0 xy ab ab 设 22 cab 由准线方程为 5 5 x 得 2 5 5 a c 由 5e 得5 c a 解得1 5ac 从而2b 该双曲线的