2006年全国各地高考与模拟数学试卷评析——平面向量.pdf

2 0 0 7年第 l期 数 学 通 讯 4 1 2 0 0 6年全 国各地高考与模拟数学试卷评析 华中 科技 大学 附 属中 学 试 题研究 小组 组 长 彭 树 德 执 笔 沈国 新 华中科技大学附属中学 湖北 武汉4 3 0 0 7 4 中图分类号 O1 2 4 4 文献标识码 A 文章编号 0 4 8 8 7 3 9 5 2 0 0 7 0 1 0 0 4 1 0 5 平面向量是高中数学的重要组成部分 平面 向量具有几何 代数等多种形式 渗透于高中数学 的各个领域 中 构成中学数学知识 的一个交汇 同 时它在物理及其他 自然科学领域里有着广泛的应 用 成为联系多 门学科 的媒 介 具有较强 的工具 性 因此 平面向量是高考数学的必考的重点 内容 之一 1 平面向量考点评析 纵观 2 0 0 6年全国各地高考数学试卷 平面向 量的考查 每套试卷以两种类型的题 目出现 一道 选择或填空题 直接考查向量基础知识 一道或多 道向量与几何 三角等其它知识结合的综合题 考 查学生灵活运用向量知识 解决综合问题的能力 试题情景新颖 形态鲜活 陈述 简明流畅 绝对难 度不是很大 强调思维 逻辑推理能力和数学思想 方法的考查 1 1 与向量有关的选 择题 和填空题特点是 重 在考查向量的基础知识 基本运算性质 以及逻辑 推理 准确计算 思维判断能力 1 1 1 考查 向量基本概念 基本运算性质 设计 直接进行计算 真假命题及其充分必要条件判定 的命题 例 1 北京理科卷 2 若 n与 b c 是非 零向量 则 n b n c 是 n 上 b c 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 即不充分也不必要条件 评析选 C 本题考查向量数量积的性质和 收稿 日期 2 0 0 6 1 0 2 0 向量间的垂直关系及其充要条件 的判定 这种根 据基本运算性质 判定命题真假考题还有上海理 科卷 1 3 等 例2 湖北理科卷 1 已知向量 n 3 1 b 是不平行于z轴 的单位向量 且 n b 4 3 则 b A B c 3 4 3 D 1 0 评析选 B 本题考查向量的数量积的坐标 运算 共线向量 单位 向量的概念 与此考题类似 地如重庆理科卷 7 等 1 1 2 考查 向量的四种基本运算及其三种 几 何 基底 坐标 不同表示形式 设计图形判定或直 接计算等问题 的命题 例3 陕西理科卷 9 已知非零向量 与 蔫问 蔫 磊 去 则 A B c为 A 三边均不相等的三角形 B 直角三角形 C 等腰非等边三角形 D 等边三角形 评析选 D 本题 条件 中的前一等式说明 Z A B C中角 A 的平分线垂直对边B C 后一等式 说明 A 为 6 0 因此 Z A B C是等边三角形 此 题主要考查 向量数量积的几何表示形式 的应用 维普资讯 4 2 数 学 通 讯 2 0 0 7年第 l 期 突现了向量在平面几何 解三角形中的地位和作 用 例 4 山东理科卷 5 设 向量 a 1 一 3 b 一2 4 C 一1 一2 若表示 向量 4 口 4 6 2 c 2 C a c d的有向线段首尾相连能构成 四边形 则向量 d为 A 2 6 B 一2 6 C 2 一6 D 一2 一6 评析选 D 此题主要考查多个 向量构成多 边形的条件和向量加 减法的坐标运算 I 1 3 考查向量 的基本关系 共线 垂直 夹角 或给定特殊关系 设计判定相关 向量 间的关系或 已知其关系确定参数的值 或范围的命题 例 5 湖南理科卷 5 已知 I a I 2 I b I 0 且关于 的方程 z l a l x a b 0 有实数 根 则 a与b的夹角的取值范围是 A 0 詈 B 詈 7 r U J c 号 等 D 詈 丌 评析选 B 此题给定了两个向量的模之间 的关系 考查一元二次方程有实数根的条件 向量 数量积的代数形式 简单三角不等式的解 例 6 全国理科卷 I 9 平面向量 a I a 2 口 3的和 a I 口 2 a 3 0 如果向量 b 1 b 2 b 3 满 足 I I 2 I a f I 且 a 顺时针旋转 3 0 后与 同 向 其中 i 1 2 3 则 A 一b t b 2 b 3 0 B b I b 2 b 3 0 C b I b 2 一b 3 0 D b I b 2 b 3 0 评析选 D 本题可将前三个向量视为不共 线 那么前三个 向量与后三个 向量分别构成相似 比为 2的三角形 本题主要考查 给定 向量间的特 殊关系 判定相关向量间的关系 I 1 4 考查平面向量基本定理 设计用基底向量 表示某个向量 或确定待定 向量 基底表示式 中 系数间应满足的关系的命题 例 7 安徽 理科卷 1 4 在口A B C D 中 一 A B 口 6 3 M 为B c的中点 则 用 a b表示 评 析 填一 口 b 本 题利 用向 量 几 何形 式的运算 求向量 的基底表示式 考查平面向量基 本定理 这类问题的考查还有广东理科卷 4 等 例 8 福 建理科卷 1 1 已知 I I 1 I魂 I 4 3 0 点 C在 A o B内 且 A 0 c 3 0 设 研 研 z R 则 等于 r A B 3 c D 评析选 B 本题 考查平面 向量的基本定 理 讨论向量的基底表示式中 系数满足的条件 这类问题的考查还有湖南理科卷 1 5 等 1 1 5 考查定比分点公式 设计 比值 向量的起 点 分点 终点坐标这 四个 基本量 中 知三求 一 或比值范围的命题 例 9 辽宁理科卷 1 2 设 o o 0 A 1 0 B 0 1 点 P是线段A B上的一个动点 若 蕊 商 则实数 的 取值范围 是 1 A 1 B 1 一 1 二 c 1 D 卜 1 评析选 B 本题考查 向量 的坐标运算 定 比分点中定比的范围等 I 1 6 考查移 图公式 设计曲线 图形 平移前 后的方程 平移向量 这三个基本量中 知二求一 的命题 例 1 0 安徽理科卷 6 将 函数 Y s m o x z 0 的图象按向量 口 一 丌g 0 平移 平称后 的图象如图 1 所示 则平移后 的图象所对应函数 的解析式是 A y s m 詈 B y s in x 一 詈 c y s in 2 x J I 1 2 一 1 D s in 2 x 一 号 图 1例 1 o 图 评析选 C 本题考查移 图公式 由三角函 数的图象确定其解析式 这种式 数 形结合 历来 是高考的重点 1 1 7 考查综合能力 以向量知识为媒介 设计 向量与数列综合的选择 填空题 例 l l 江西理科 卷 7 已知 等差数列 n 的前 z 项和为s 若 n b n 2 0 o 且 A B C三点共线 该直线不过原点 0 则 S 2 0 o 维普资讯 2 0 o 7年第 l 期 数 学 通 讯 4 3 A 1 0 0 C 2 0 0 B 1 0 1 D 2 0 1 4 是 P 口 一 1 所以 一 1 又 P Q 的中点 评析选 A 此题是以点共线的向量形式为 媒介 考查等差数列的性质 求和公式 例 1 2 天津 理 科卷 1 6 设 函数 1 A0 点 A0表示 坐 标 原 点 点 A f N 若 向量 A0 l 一A l A 0 是 与 i 的夹角 其中 i 1 0 设 S t a n 0 l t a n 0 2 t a n 0 贝 4 ri ms 一 评析填 1 此题是以向量加法为媒介 利用 解析几何 中的夹角公式 数列 求和方法 极 限运 算 将向量和数列融为一体 考查综合能力 是一 个值得关注的高考命题方向 1 2 与向量有关的解答题的考查特点是 突出主 干知识 思维模式 思 维层次 思维 容量 立足基 础 强调运用 区分层次 利于选拔 要求考生具有 很强的推理能力 运算能 力 创新能力 重点考查 向量的核心内容 三种 几何 基底 坐标 表示形 式 四种基本运算 加 减 数乘 数量积 三个基 本关系 共线 垂直 夹角 灵活应用 往往 以向量 为背景或载体 诱导 出函数 三角等综 合问题 突 出了向量的媒介作用 常常在其它知识为主体的 综合题中 直接给出含有向量知识的条件 或是解 题过程中 需要使用向量的思想和方法 体现了向 量渗透作用和工具性 设计考题的基本方向是 1 2 1 以向量为工具 通过四种基本运算 设计 考查代数函数的综合题 例 1 3 广东理科卷 1 8 设 函数f x 一 3 3 x 2分别在 l 2处取得极小值 极 大 值 O 平面点A B的坐标分别为 l f x 1 2 f x 2 该平面上动点 P满足 商 4 点 Q 是点P关于直线y 2 x一4 的对称点 求 I 点 A B的坐标 动点 Q 的轨迹方程 解 I 令 厂 一 3 2 一 3 x 3 0 解得 1 或 一1 当 一1 时 厂 0 当一1 0 当 1时 0 过A B两点分别作抛物线 的切线 两切线的交点为 M I 证明 前 为定值 维普资讯 数 学 通 讯 2 0 0 7 年第 1 期 U 设 AAB M 的面积为 S 写出 S f 的表达式 并求 S的最小值 解 I 由已知条件 得 F O 1 设 A x l 1 B z 2 2 由 壹 得 一Xl 1 一Y X2 Y 2 1 1 Y l Y 2 l 1 一 一 1 将 1 式两 边平 方并把Y l 寺z l Y 2 1 z 22 代入 得 Y l A 2 Y 2 3 解 2 3 式 得 l 2 1 且有 Xl X2 一 2 一4 2 一4 抛 物 线 方 程 为 z 2 求 导 得 号 z 所 以过抛物线上 A B两点的切线方程分别是 y z X X1 z X X 2 即 1 1 2 1 1 2 Y XlX 一 X l Y X2z X2 解 出两条切线的交点 M 的坐标为 字 字 1 所 以 葡 半 一 2 z 2 一 2 一 1 z 2 2一 z 一 2 z 2 2 一 1 z 2 0为定值 U 由 I 知在AA B M 中 F M上A B 因而 s 丢 lA B l IF U 1 I F U l 半 2 1 z l 2 z 2 1 zl z2 4 l 2 1 一 4 4 一 去 因为 l A Fl l B F1 分别等于 A B到抛物线准 线 一1 的距离 所 以 l A B l l A Fl l B Fl z 2 2 于 是 s lA B l l l 3 由 2知 s 4 且 当 1 时 s取 得最小值 4 评析本题考查共线向量的关 系 曲线的切 线方程 直线的交 点 向量 的数量积 均值不 等式 等 要求考生具 有很 强的综合能力 值得注意的 是 高考试卷中的解析几何题 多以这种形式来考 查 2 模拟试题荟萃 1 北京 市 东城 区高三 年级综合练 习 一 4 已知直线 Y 2 z上一点 P的横坐标为n 设点A 一1 1 B 3 3 那么使向量赢 与商 夹 角为钝角的一个充分但不必要的条件是 A 一1 n 2 B 0 n 1 c 一 v n v一 D 0 n c d 的解集 维普资讯 2 0 0 7年第 1 期 数 学 通 讯 4 5 7 江 苏省 南通 市 高三 第一 次调 研 考 试 2 1 在平面直角坐标系中 已知 A 7 a B F b F 一1 0 F N 满 足 向量 与百 共线 且 点 B b N 都在斜率为 6的同一条直线上 1 试用 a I b l 与 F 表示 a 2 设 口l 口 b l 一口 且 1 2 0 b 0 上 已知 P FI J P F 2 l PF l l 2 l P F 2 l 0为坐标原点 工 求双 曲线的离心率 e 过点 P作直线分别 与双曲线 两渐近线 相交于PI P2两点 且 一 2 一 2 7 2 0 求双 曲线 E 的方程 若过点 Q m 0 m 为非零 常数 的直 线 z 与 中双曲线 E相交于不同于双曲线顶点 的两点M N向 为非零常数 问 在 轴上是否存在定点G 使瓦 l 一 若存在 求出所有这种定点 G的坐标 若 不存在 请说明理 由 模拟试题答案与提示 1 B 2 A 3 C 4一 7 5 8 6 1 口 b 2 s i n X l l 和 c d o 0 X 1 1 2 由 1 一X f 1 X 知f x 的图象关于 直线 X l 对称 当 n O 时 在 1 o o 内单 调递增 由 f n b f c d 得 口 b c d 即 s i n 2 X l c 0 X 1又 xE O 不等式的解集为 罟 同 理 当 12时 a a l a 2 一a I a 3 一 a 2 a 一a 一 1 a 1 b I b 2 b 一 I a b 一1 3 一1 一2 当 1时 上式 仍然成立 2 把 a 1 a b I 一a 代人上式 得 a 3 n 一 9 a 6 2 1 2 a l 5 4 所以当 4时 a 取最小值 最小值为 a 墙 一 2 口 8 I l P F 1 2 1 P F 2 l 且 l P F l l P F 2 l 2 a 1 P F l 4 a l P F 2 l 2 a P F l P F 2 h a 2 a 2 c 于是 e 2 由 I 可设所求双曲线 E的方程为 一 寿 l 渐 近 线 方 程 为Y 2 x 设P t 2 x t P 2 X 2 一2 P X Y 0 0 一3 x l X 2 2 7 9 一 一 l 2 2 e p 1 7 0 且 代 人 E 的 方 程 中 化 简 得 X l X 2 警 从而 口 2 双曲线 E的方程为X Z