2008年上海市普通高等学校春季招生考试---数学试卷.pdf

上海市教育考试院保留版权保留版权数学 2008 春 第 1页 共 16页 2008 年上海市普通高等学校春季招生考试 数学试卷 考生注意 考生注意 1 答卷前 考生务必将姓名 高考座位号 校验码等填写清楚 答卷前 考生务必将姓名 高考座位号 校验码等填写清楚 2 本试卷共有 本试卷共有 22 道试题 满分道试题 满分 150 分 考试时间分 考试时间 120 分钟 一 分钟 一 填空题 本大题满分填空题 本大题满分 48 分 本大题共有分 本大题共有 12 题 只要求直接 填写结果 每题填对得 题 只要求直接 填写结果 每题填对得 4 分 否则一律得零分分 否则一律得零分 1 已知集合 1Ax x 或 23x 24Bxx 则AB 2 计算 1 31 lim 32 n nn n 3 函数 2 6 1 xx f x x 的定义域是 4 方程2cos1 4 x 在区间 0 内的解是 5 已知数列 n a是公差不为零的等差数列 1 1a 若 125 aaa 成等比数列 则 n a 6 化简 cossin 36 7 已知P是双曲线 22 2 1 9 xy a 右支上的一点 双曲线的一条渐近线方程为30 xy 设 12 FF 分别为双曲线的左 右焦点 若 2 3PF 则 1 PF 8 已知一个凸多面体共有 9 个面 所有棱长均为 1 其平面展开图 如右图所示 则该凸多面体的体积V 9 已知无穷数列 n a前n项和 1 1 3 nn Sa 则数列 n a的各项和为 得分评 卷 人 得分评 卷 人 o y x bnbn 1b2b3b1 a3 a2 a1 an 1 an 10 古代 五行 学说认为 物质分金 木 土 水 火五种属性 金克木 木克土 土 克水 水克火 火克金 将五种不同属性的物质任意排成一列 设事件A表示 排列 中属性相克的两种物质不相邻 则事件A出现的概率是 结果用数值表示 11 已知 12 n a aa 12 n b bb n是正整数 令 112n Lbbb 223 Lbb n b nn Lb 某人用右图分析得到恒等式 1 122nn aba ba b 112233 a Lc Lc L kk c L nn c L 则 k c 2 kn 12 已知 1 2 3 4 AB 直线 1 l 2 0 0 xly 和 3 lx 3y10 设 i P是 i l 1 2 3 i 上与A B两点距离平方和最小的点 则 123 PP P的面积是 二 选择题 本大题满分二 选择题 本大题满分 16 分 本大题共有分 本大题共有 4 题 每题都给出 四个结论 其中有且只有一个结论是正确的 必须把正确结论 的代号写在题后的圆括号内 选对得 题 每题都给出 四个结论 其中有且只有一个结论是正确的 必须把正确结论 的代号写在题后的圆括号内 选对得 4 分 否则一律得零分分 否则一律得零分 13 已知向量 2 3 3 ab 若 ab 则 等于 答 A 2 3 B 2 C 9 2 D 2 3 14 已知椭圆 22 1 102 xy mm 长轴在y轴上 若焦距为4 则m等于 答 A 4 B 5 C 7 D 8 15 已知函数 f xg x 定义在R上 h xf xg x 则 f xg x 均为奇函 数 是 h x为偶函数 的 答 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 16 已知Cz 且22i1 iz 为虚数单位 则22iz 的最小值是 答 A 2 B 3 C 4 D 5 三 解答题 本大题满分三 解答题 本大题满分 86 分 本大题共有分 本大题共有 6 题 解答下列各题必须写出必要的步骤题 解答下列各题必须写出必要的步骤 17 本题满分 本题满分 12 分 分 已知 2 cos 32 求 2cos sin2sin 的值 解 得分评 卷 人 18 本题满分 本题满分 12 分 分 在平面直角坐标系xOy中 AB 分别为直线2xy 与xy 轴的交点 C为AB的 中点 若抛物线 2 2 0 ypxp 过点C 求焦点F到直线AB的距离 解 得分评 卷 人 19 本题满分 本题满分 14 分 本题共有分 本题共有 2 个小题 第个小题 第 1 小题满分小题满分 6 分 第 分 第 2 小题满分小题满分 8 分 分 已知函数 2 log21 x f x 1 求证 函数 f x在 内单调递增 2 记 1 fx为函数 f x的反函数 若关于x的方程 1 fxmf x 在 1 2 上有 解 求m的取值范围 证明 1 解 2 得分评 卷 人 20 本题满分 本题满分 14 分 本题共有分 本题共有 2 个小题 第个小题 第 1 小题满分小题满分 6 分 第 分 第 2 小题满分小题满分 8 分 分 某厂根据市场需求开发折叠式小凳 如图所示 凳面为三角形的尼龙布 凳脚为三 根细钢管 考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素 设计小凳应满足 凳子高度为 30cm 三根细钢管相交处的节点O与凳面三角形 ABC重心的连线垂直于凳面和地面 1 若凳面是边长为20cm的正三角形 三只凳脚与地 面所成的角均为45 确定节点O分细钢管上下两段的比 值 精确到0 01 2 若凳面是顶角为120 的等腰三角形 腰长为24cm 节点O分细钢管上下两段之比为2 3 确定三根细钢管 的长度 精确到0 1cm 解 1 2 得分评 卷 人 A B C O 21 本题满分 本题满分 16 分 本题共有分 本题共有 3 个小题 第个小题 第 1 小题满分小题满分 3 分 第 分 第 2 小题满分小题满分 5 分 第分 第 3 小题满分小题满分 8 分 分 在直角坐标平面xOy上的一列点 1122 1 2 AaAa nn A n a 简记为 n A 若由 1nnn bA Aj 构成的数列 n b满足 1 1 2 nn bbn 其中j 为方 向与y轴正方向相同的单位向量 则称 n A为T点列 1 判断 123 11 1 1 2 3 23 AAA 1 n An n 是否为T点 列 并说明理由 2 若 n A为T点列 且点 2 A在点 1 A的右上方 任取其中连续三点 1kk AA 2k A 判断 12kkk A AA 的形状 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 并予以证明 3 若 n A为T点列 正整数1mnpq 满足mqnp 求证 nqmp A AjA Aj 解 1 2 得分评 卷 人 证明 3 22 本题满分 本题满分 18 分 本题共有分 本题共有 3 个小题 第个小题 第 1 小题满分小题满分 4 分 第 分 第 2 小题满分小题满分 6 分 第分 第 3 小题满分小题满分 8 分 分 已知z是实系数方程 2 20 xbxc 的虚根 记它在直角坐标平面上的对应点为 Re Im z Pzz 1 若 b c在直线20 xy 上 求证 z P在圆 1 C 22 1 1xy 上 2 给定圆C 222 xmyr Rmr 0r 则存在唯一的线段s满足 若 z P在圆C上 则 b c在线段s上 若 b c是线段s上一点 非端点 则 z P在 圆C上 写出线段s的表达式 并说明理由 3 由 2 知线段s与圆C之间确定了一种对应关系 通过这种对应关系的研究 填写 表一 表中 1 s是 1 中圆 1 C的对应线段 证明 1 解 2 得分评 卷 人 3 表一 线段线段s与线段与线段 1 s的关系 的关系mr 的取值或表达式的取值或表达式 s所在直线平行于1 s 所在直线 s所在直线平分线段 1 s 线段s与线段 1 s长度相等 2008 年上海市普通高等学校春季招生考试 数 学 试 卷 参考答案及评分标准 说明说明 1 本解答列出试题的一种或几种解法 如果考生的解法与所列解法不同本解答列出试题的一种或几种解法 如果考生的解法与所列解法不同 可参照解答 中评分标准的精神进行评分 可参照解答 中评分标准的精神进行评分 2 评阅试卷 应坚持每题评阅到底 不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的 评阅 评阅试卷 应坚持每题评阅到底 不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的 评阅 当考生的解答在某一步出现错误 影响了后继部分 但该步以后的解答未改变这一 题的内容和难度时 可视影响程度决定后面部分的给分 这时原则上不应超过后面部分应 给分数之半 如果有较严重的概念性错误 就不给分 当考生的解答在某一步出现错误 影响了后继部分 但该步以后的解答未改变这一 题的内容和难度时 可视影响程度决定后面部分的给分 这时原则上不应超过后面部分应 给分数之半 如果有较严重的概念性错误 就不给分 3 第第 17 题至第题至第 22 题中右端所注的分数 表示考生正确做到这一步应得的该题累加分 数 题中右端所注的分数 表示考生正确做到这一步应得的该题累加分 数 4 给分或扣分均以给分或扣分均以 1 分为单位分为单位 答案及评分标准答案及评分标准 一 第一 第 1 至至 12 题 每一题正确的给题 每一题正确的给 4 分 否则一律得零分分 否则一律得零分 1 4x x 2 1 3 3 2 1 1 3 4 7 12 x 5 21 n an 6 cos 7 5 8 2 1 6 9 1 10 1 12 11 1kk aa 12 3 2 二 第二 第 13 至至 16 题 每一题正确的给题 每一题正确的给 4 分 否则一律得零分分 否则一律得零分 题号13141516 代号CDAB 三 第三 第 17 至至 22 题 题 17 解 原式 2cos 2sincossin 2 分 2 1 cossin sincoscos 5 分 又 2 cos 32 27 sin1 93 9 分 2cos14 sin2sin2 12 分 18 解 由已知可得 2 0 0 2 1 1 ABC 3 分 解得抛物线方程为 2 yx 6 分 于是焦点 1 0 4 F 9 分 点F到直线AB的距离为 1 02 7 24 82 12 分 19 证明 1 任取 12 xx 则 1 12 2 12222 21 log21log21log 21 x xx x f xf x 12 12 02121 xx xx 11 22 2 2121 01 log0 2121 xx xx 12 f xf x 即函数 f x在 内单调递增 6 分 解 2 1 2 log21 0 x fxx 9 分 解法一 1 mfxf x 22 log21log21 xx 22 212 loglog1 2121 x xx 11 分 当12x 时 222123 1 52133215 xx m 的取值范围是 22 13 log log 35 14 分 解法二 解方程 22 log21log21 xx m 得 2 21 log 1 2 m m x 11 分 2 21 12 1log2 12 m m x 解得 22 13 loglog 35 m m 的取值范围是 22 13 log log 35 14 分 20 解 1 设 ABC的重心为H 连结OH 由题意可得 20 3 3 BH 设细钢管上下两段之比为 已知凳子高度为30 则 30 1 OH 3 分 节点O与凳面三角形ABC重心的连线与地面垂直 且凳面与地面平行 OBH 就是OB与平面ABC所成的角 亦即 45OBH C B A H O C B A 3020 3 13 BHOH 解得 2 3 0 63 92 3 6 分 即节点O分细钢管上下两段的比值约为0 63 2 设120 24BABBC 24 3AC 设 ABC的重心为H 则8 8 7BHAH 10 分 由节点O分细钢管上下两段之比为2 3 可知12OH 设过点ABC 的细钢管分别为AABBCC 则 22 55 10 3760 8 22 AACCOAOHAH 22 55 10 1336 1 22 BBOBOHBH 对 应于ABC 三 点的 三根 细钢 管 长度 分别 为60 8cm 36 1cm和 60 8cm 14 分 21 解 1 1 n a n 111 1 1 n b nnn n 显然有 1nn bb n A是T点列 3 分 2 在 12kkk A AA 中 111221 1 1 kkkkkkkk AAaaAAaa 112211 1 kkkkkkkk AAAAaaaa 5 分 点 2 A在点 1 A的右上方 121 0baa n A 为T点列 1 0 n bb 2111 0 kkkkkk aaaabb 则 112 0 kkkk AAAA 12kkk A AA 为钝角 12kkk A AA 为钝角三角形 8 分 3 证明 1 mnpqmqnp 0qpnm 1121qpqqqqpp aaaaaaaa 12 qqpp bbbqp b 同理 nm aa 121 nnmn bbbnm b 12 分 由于 n A为T点列 于是 1pn bb 由 可推得 qpnm aaaa 15 分 qnpm aaaa 即 nqmp A AjA Aj 16 分 22 证明 1 由题意可得20bc 解方程 2 220 xbxb 得 2 2izbbb 2 分 点 2 2 z Pbbb 或 2 2 z Pbbb 将点 z P代入圆 1 C的方程 等号成立 z P在圆 1 C 22 1 1xy 上 4 分 2 解法一 当0 即 2 bc 时 解得 2i zbcb 点 2 z Pbcb 或 2 z Pbcb 由题意可得 222 bmcbr 整理后得 22 2cmbrm 6 分 2 40bc 222 bmcbr bmrmr 线段s为 22 2cmbrm bmrmr 若 b c是线段s上一点 非端点 则实系