2007年上海市普通高等学校春季招生考试-数学试卷.pdf

上海市教育考试院保留版权保留版权数学2007春 第1页 共10页 2007 年上海市普通高等学校春季招生考试 数学试卷 考生注意 考生注意 1 答卷前 考生务必将姓名 高考座位号 校验码等填写清 楚 答卷前 考生务必将姓名 高考座位号 校验码等填写清 楚 2 本试卷共有 本试卷共有 21 道试题 满分道试题 满分 150 分 考试时间分 考试时间 120 分钟 一 分钟 一 填空题填空题 本大题满分本大题满分 44 分 本大题共有分 本大题共有 11 题 只要求直接 填写结果 每题填对得 题 只要求直接 填写结果 每题填对得 4 分 否则一律得零分分 否则一律得零分 1 计算 1 3 12 lim 2 nn n n 2 若关于 x 的一元二次实系数方程0 2 qpxx有一个根为i1 i是虚数单位 则 q 3 若关于 x 的不等式0 1 x ax 的解集为 4 1 则实数 a 4 函数 2 cossin xxy 的最小正周期为 5 设函数 xfy 是奇函数 若3 2 1 3 1 2 ffff 则 2 1 ff 6 在平面直角坐标系xOy中 若抛物线xy4 2 上的点P到该抛物线的焦点的距离为 6 则点 P 的横坐标 x 7 在平面直角坐标系xOy中 若曲线 2 4yx 与直线mx 有且只有一个公共点 则 实数 m 8 若向量a b 满足2 a 1 b 1 baa 则向量a b 的夹角的大小为 9 若 21 xx 为方程 1 1 2 1 2 x x 的两个实数解 则 21 xx 10 在一次教师联欢会上 到会的女教师比男教师多 12 人 从这些教师中随机挑选一人表 得分评 卷 人 数学2007春 第2页 共10页 得分评 卷 人 演节目 若选到男教师的概率为 20 9 则参加联欢会的教师共有人 11 函数 0 2 0 1 2 x x xx y的反函数是 二 选择题二 选择题 本大题满分本大题满分 16 分 本大题共有分 本大题共有 4 题 每题都给出 四个结论 其中有且只有一个结论是正确的 必须把正确结论 的 代号写在题后的圆括号内 选对得 题 每题都给出 四个结论 其中有且只有一个结论是正确的 必须把正确结论 的 代号写在题后的圆括号内 选对得 4 分 否则一律得零分分 否则一律得零分 12 若集合 2 1mA 4 2 B 则 2 m 是 4 BA 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答 13 如图 平面内的两条相交直线 1 OP和 2 OP将该平面分割成四个部分 不 包括边界 若 21 OPbOPaOP 且点P落在第 部分 则实数ba 满足 A 0 0 ba B 0 0 ba C 0 0 ba D 0 0 ba 答 14 下列四个函数中 图像如图所示的只能是 A xxylg B xxylg C xxylg D xxylg 答 15 设ba 是正实数 以下不等式 ba ab ab 2 bbaa 222 34babba 2 2 ab ab 数学2007春 第3页 共10页 恒成立的序号为 A B C D 答 三 解答题三 解答题 本大题满分本大题满分 90 分分 本大题共有本大题共有 6 题 解答下列各题必须写出必要的步骤题 解答下列各题必须写出必要的步骤 16 本题满分 本题满分 12 分 分 如图 在棱长为 2 的正方体DCBAABCD 中 FE 分别是BA 和AB的中点 求 异面直线F A 与CE所成角的大小 结果用反三角函数值表示 解 得分评 卷 人 数学2007春 第4页 共10页 17 本题满分 本题满分 14 分 分 求出一个数学问题的正确结论后 将其作为条件之一 提出与原来问题有关的新问题 我们把它称为原来问题的一个 逆向 问题 例如 原来问题是 若正四棱锥底面边长为 4 侧棱长为 3 求该正四棱锥的体积 求出体积 3 16 后 它的一个 逆向 问题可以是 若正四棱锥底面边长为 4 体积为 3 16 求侧棱长 也可以是 若正四棱锥的体积为 3 16 求所有侧面面积之和的最小值 试给出问题 在平面直角坐标系xOy中 求点 1 2 P到直线043 yx的距离 的一个有意义的 逆向 问题 并解答你所给出的 逆向 问题 解 得分评 卷 人 数学2007春 第5页 共10页 x y 18 本题满分 本题满分 14 分 本题共有分 本题共有 2 个小题 第个小题 第 1 小题满分小题满分 6 分 第 分 第 2 小题满分小题满分 8 分 分 如图 在直角坐标系xOy中 设椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x C的左右两个焦点 分别为 21 FF 过右焦点 2 F且与x轴垂直的直线 l与椭圆C相交 其中一个交点为 1 2M 1 求椭圆C的方程 2 设椭圆C的一个顶点为 0 bB 直线 2 BF交椭圆C于另一点N 求 BNF1的面 积 解 1 2 得分评 卷 人 数学2007春 第6页 共10页 图 1 图 2 19 本题满分 本题满分 14 分 本题共有分 本题共有 2 个小题 第个小题 第 1 小题满分小题满分 4 分 第 分 第 2 小题满分小题满分 10 分 分 某人定制了一批地砖 每块地砖 如图 1 所示 是边长为4 0米 的正方形ABCD 点 E F 分别在边 BC 和 CD 上 CFE ABE 和四边形AEFD均由单一材料制成 制成 CFE ABE和四边形 AEFD的三种材料的每平方米价格之比依次为 3 2 1 若将此种地砖 按图 2 所示的形式铺设 能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH 1 求证 四边形EFGH是正方形 2 FE 在什么位置时 定制这批地砖所需的材料费用最 省 解 1 2 得分评 卷 人 数学2007春 第7页 共10页 O C B A 20 本题满分 本题满分 18 分 本题共有分 本题共有 3 个小题 第个小题 第 1 小题满分小题满分 6 分 第 分 第 2 小题满分小题满分 4 分 第分 第 3 小题满分小题满分 8 分 分 通常用cba 分别表示 ABC的三个内角CBA 所对边的边长 R表示 ABC 的外接圆半径 1 如图 在以O为圆心 半径为 2 的 O中 BC和 BA是 O的弦 其中2 BC 45 ABC 求弦AB的长 2 在 ABC中 若C 是钝角 求证 222 4Rba 3 给定三个正实数Rba 其中ab 问 Rba 满足怎样的关系时 以ba 为边长 R为外接圆半径的 ABC不存在 存在一个或存在 两个 全等的三角形算作同一个 在 ABC存在的情况下 用Rba 表示c 解 1 2 得分评 卷 人 数学2007春 第8页 共10页 3 数学2007春 第9页 共10页 21 本题满分 本题满分 18 分 本题共有分 本题共有 3 个小题 第个小题 第 1 小题满分小题满分 4 分 第 分 第 2 小题满分小题满分 6 分 第分 第 3 小题满分小题满分 8 分 分 我们在下面的表格内填写数值 先将第 1 行的所有空格填上 1 再把一个首项为 1 公 比为q的数列 n a依次填入第一列的空格内 然后按照 任意一格的数是它上面一格的数 与它左边一格的数之和 的规则填写其它空格 第 1 列第 2 列第 3 列 第n列 第 1 行111 1 第 2 行 q 第 3 行 2 q 第n行 1 n q 1 设第 2 行的数依次为 n BBB 21 试用qn 表示 n BBB 21 的值 2 设第 3 列的数依次为 n cccc 321 求证 对于任意非零实数q 231 2ccc 3 请在以下两个问题中选择一个进行研究 只能选择一个问题 如果都选 被认为选 择了第一问 能否找到q的值 使得 2 中的数列 n cccc 321 的前m项 m ccc 21 3 m 成为等比数列 若能找到 m 的值有多少个 若不能找到 说明理由 能否找到q的值 使得填完表格后 除第 1 列外 还有不同的两列数的前三项各自 依次成等比数列 并说明理由 解 1 2 得分评 卷 人 数学 2007 春 第 10页 共 10 页 3 选择第 问 数学 2007 春 第 11页 共 10 页 2007 年上海市普通高等学校春季招生考试 数 学 试 卷 参考答案及评分标准 说明说明 1 本解答列出试题的一种或几种解法本解答列出试题的一种或几种解法 如果考生的解法与所列解法不同如果考生的解法与所列解法不同 可参照解答中 评分标准的精神进行评分 可参照解答中 评分标准的精神进行评分 2 评阅试卷评阅试卷 应坚持每题评阅到底应坚持每题评阅到底 不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评 阅 不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评 阅 当考生的解答在某一步出现错误当考生的解答在某一步出现错误 影响了后继部分影响了后继部分 但该步以后的解答未改变这一题的内 容和难度时 但该步以后的解答未改变这一题的内 容和难度时 可视影响程度决定后面部分的给分可视影响程度决定后面部分的给分 这时原则上不应超过后面部分应给分数之 半 这时原则上不应超过后面部分应给分数之 半 如果有较严重的概念性错误如果有较严重的概念性错误 就不给分就不给分 3 第第16题至第题至第21题中右端所注的分数题中右端所注的分数 表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数 4 给分或扣分均以给分或扣分均以 1 分为单位分为单位 答案及评分标准答案及评分标准 一 一 第第 1 至至 11 题 每一题正确的给题 每一题正确的给 4 分 否则一律得零分分 否则一律得零分 1 3 2 2 2 3 4 4 5 3 6 5 7 2 8 4 3 9 1 10 120 11 0 2 1 1 x x xx y 二 二 第第 12 至至 15 题 每一题正确的给题 每一题正确的给 4 分 否则一律得零分分 否则一律得零分 题号12131415 代号ABBD 三 三 第第 16 至至 21 题 题 数学 2007 春 第 12页 共 10 页 16 解法一 如图建立空间直角坐标系 2 分 由题意可知 0 1 2 2 1 2 0 2 0 2 0 2 FEC A 2 1 2 2 1 0 CEFA 6 分 设直线F A 与CE所成角为 则 3 5 35 5 cos CEFA CEFA 10 分 3 5 arccos 即异面直线F A 与CE所成角的大小为 3 5 arccos 12 分 解法二 连接EB 2 分 BFEA 且BFEA FBE A 是平行四边形 则EBFA 异面直线F A 与CE所成的角就是CE与EB所成的角 6 分 由 CB平面ABAB 得BECB 在Rt CEB中 5 2 BECB 则 5 52 tan CEB 10 分 5 52 arctan CEB 异面直线F A 与CE所成角的大小为 5 52 arctan 12 分 17 评分说明 在本题的解答过程中 如果考生所给问题的意义不大 那么在评分标准的第二阶段所 列 6 分中 应只给 2 分 但第三阶段所列 4 分由考生对自己所给问题的解答正确与否而定 当考生所给出的 逆向 问题与所列解答不同 可参照所列评分标准的精神进行评分 解 点 1 2 到直线043 yx的距离为2 43 1423 22 4 分 逆向 问题可以是 数学 2007 春 第 13页 共 10 页 x y 1 求到直线043 yx的距离为2的点的轨迹方程 10分 解 设所求轨迹上任意一点为 yxP 则2 5 43 yx 所求轨迹为01043 yx或01043 yx 14 分 2 若点 1 2 P到直线0 byaxl的距离为 2 求直线l的方程 10 分 解 2 2 22 ba ba 化简得034 2 bab 0 b或ba34 所以 直线l的方程为0 x或043 yx 14 分 意义不大的 逆向 问题可能是 3 点 1 2 P是不是到直线043 yx的距离为2的一个点 6分 解 因为2 43 1423 22 所以点 1 2 P是到直线043 yx的距离为2的一个点 10分 4 点 1 1 Q是不是到直线043 yx的距离为 2 的一个点 6 分 解 因为2 5 7 43 1413 22 所以点 1 1 Q不是到直线043 yx的距离为 2 的一个点 10 分 5 点 1 2 P是不是到直线0125 yx的距离为 2 的一个点 6 分 解 因为2 13 22 125 11225 22 所以点 1 2 P不是到直线0125 yx的距离为 2 的一个点 10 分 18 1 解法一 xl 轴 2 F 的坐标为 0 2 2 分 数学 2007 春 第 14页 共 10 页 图 2 由题意可知 2 1 12 22 22 ba ba 得 2 4 2 2 b a 所求椭圆方程为1 24 22 yx 6 分 解法二 由椭圆定义可知 aMFMF2 21 由题意1 2 MF 12 1 aMF 2 分 又由Rt 21F MF可知 122 12 2 2 a 0 a 2 a 又2 22 ba 得2 2 b 椭圆C的方程为1 24 22 yx 6 分 解 2 直线 2 BF的方程为2 xy 8 分 由 1 24 2 22 yx xy 得点N的纵坐标为 3 2 10 分 又22 21 FF 3 8 22 3 2 2 2 1 1 BNF S 14 分 19 证明 1 图 2 是由四块图 1 所示地砖绕点C按顺时针旋转 90后得到 CFE为等腰 直角三角形 四边形EFGH是正方形 4 分 解 2 设xCE 则xBE 4 0 每块地砖的费用 为W 制成 CFE ABE和四边形AEFD三种材料的 数学 2007 春 第 15页 共 10 页 O C B A 每平方米价格依次为 3a 2a a 元 6 分 axxaxaxW 4 0 4 0 2 1 2 1 16 02 4 0 4 0 2 1 3 2 1 22 24 02 0 2 xxa 10 分 4 00 23 0 1 0 2 xxa 由0 a 当1 0 x时 W有最小值 即总费用为最省 答 当1 0 CFCE米时 总费用最省 14 分 20 解 1 ABC的外接圆半径为 2 在 ABC中 22sin2 BRAC 30 2 1 2 sin A R BC A 3 分 CACBCACBCABcos2 222 cos 2884BA 2 132234 26 AB 6 分 证明 2 R b B R a A 2 sin 2 sin 由于C 是钝角 BA 都是锐角 得 2222 4 2 1 cos 4 2 1 cosbR R BaR R A cos cosBAC 044 4 1 2222 2 bRaRab R 222222 44bRaRba 0416 2224 baRR 即 222 4Rba 10 分 解 3 当Ra2 或Rba2 时 所求的 ABC不存在 数学 2007 春 第 16页 共 10 页 当Ra2 且ab 时 90 A 所求的 ABC只存在一个 且 22 bac 当Ra2 且ab 时 BA 且BA 都是锐角 由B R b R a Asin 22 sin BA 唯一确定 因此 所求的 ABC只存在一个 且 22 4cos2aR R a Aac 14 分 当Rab2 时 B 总是锐角 A 可以是钝角也可以是锐角 因此 所求的 ABC存在两个 由 R a A 2 sin R b B 2 sin 得 当 90 A时 22 4 2 1 cosaR R A cos 2 22 BAabbac abbRaR R ab ba 2222 2 22 44 2 当 90 A时 22 4 2 1 cosaR R A abbRaR R ab bac 2222 2 22 44 2 18 分 21 解 1 qnBqqBqBqB n 1