15届高三理科数学11月26日测试题答案.pdf

FJ22NPZGx9buQnE 1 高高 2015 届届第十三周单元考试数学试题 理 第十三周单元考试数学试题 理 班级班级 姓名姓名 一 选择题一 选择题 1 设 k R 则 k 5 是 直线l1 k 3 x 4 k y 1 0 与l2 2 k 3 x 2y 3 0 平行 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 2 已知复数已知复数 z 满足满足 1 2izi 则则z的共轭复数的共轭复数z是 是 B A 1i B 1i C 1i D 1i 3 已知椭圆 x2sin y2cos 1 0 1 sin 0 又 0 2 2 0 a 1 0 解得 a 1 答案 1 5 若程序框图如图所示 则该程序运行后输出k的值是 A 4 B 5 C 6 D 7 5 答案 B 解析 由题意 得 n 5 k 0 n 16 k 1 n 8 k 2 n 4 k 3 n 2 k 4 n 1 k 5 终止 当2n 时 执行最后一次循环 当1n 时 循环终止 这 是关键 输出5k 故选 B 6 设曲线设曲线 1 x yaxe 在点在点 01 Axy处的切线为处的切线为 1 l 曲线 曲线 1 x yx e 在点在点 02 Bxy处的切线为处的切线为 2 l 若存在若存在 0 3 0 2 x 使得 使得 12 ll 则实数则实数a的取值范围是的取值范围是 A 开始 2 n n 否 n 3n 1 n 为偶数 k k 1 结束 n 5 k 0 是 输出 k n 1 否 是 FJ22NPZGx9buQnE 2 A 3 1 2 B 3 3 2 C 2 1 D 1 2 二 填空题二 填空题 7 4 2 13 xx 的展开式中 2 x的系数等于 答案 120 解析 含 2 x的项为 22112 44 2 3 3 120Cxx Cxx 所以 2 x的系数等于 120 8 设圆 x2 y2 2 的切线 l 与 x 轴正半轴 y 轴正半轴分别交于点 A B 当 AB 取最小值时 切线 l 的方 程为 解析 设点 A B 的坐标分别为 A a 0 B 0 b a b 0 则直线 AB 的方程为x a y b 1 即 bx ay ab 0 因为直线 AB 和圆相切 所以圆心到直线 AB 的距离 d ab a2 b2 2 整理得 2 a 2 b2 ab 即 2 a2 b2 ab 2 4ab 所以 ab 4 当且仅当 a b 时取等号 又 AB a2 b2 ab 2 2 2 所以 AB 的最小值为 2 2 此时 a b 即 a b 2 切线 l 的方程为x 2 y 2 1 即 x y 2 0 答案 x y 2 0 9 已知 A B是椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 长轴的两个端点 DC 是椭圆上关于x轴对称的两点 直线 BDAC 的斜率分别为 12 kk 且 1212 0 k kkk 若的最小值为3 则椭圆的离心率为 2 1 10 如图所示 在正方体 1111 ABC DA B C D 中 M是正方形ABCD的中心 N是棱 1 C C 包括端点 上的动点 现 给出以下命题 对于任意的点N 都有 11 M NB D 存在点N 使得M N 平面 1 A B D 存在点N 使得异面直线M N和 11 A B所成角的余弦值是 6 3 对于任意的点N 三棱锥 1 BM N D 的体积为定值 其中正确命题的编号是 写出所有正确命题的编号 三 解答题 11 三棱柱三棱柱 111 CBAABC 的直观图的直观图及三视图 主视图和俯视图是正方形 左侧图是等腰直角三角形 如图 及三视图 主视图和俯视图是正方形 左侧图是等腰直角三角形 如图 D为为AC 的中点的中点 1 求证 求证 1 AB平面平面 1 BDC 2 求证 求证 CA1平面平面 1 BDC 3 求二面角 求二面角 1 ABCD 的正切值的正切值 A B C D 1 A 1 B 1 C 1 A FJ22NPZGx9buQnE 3 B 1 C A B C D 1 A 1 B H E A C D 1 A 1 B 1 C O S 1 S 1 O 11 解解 由三视图由三视图可知 几何体为直三棱柱可知 几何体为直三棱柱ABC 111 CBA 侧面 侧面CBCB 11 为边长为为边长为 2 的正方形 底面的正方形 底面ABC是等腰直角三角形 是等腰直角三角形 2 BCABBCAB 分 分 1 连 连 BC 交交CB1于于 O 连接 连接 OD 在 在 1 CAB 中 中 O D 分别是分别是CB1 AC 的的中点 中点 1 ABOD 而而 1 AB平面平面 1 BDC OD平面平面 1 BDC 1 AB 平面平面 1 BDC 分 分 2 直三棱柱 直三棱柱ABC 111 CBA中 中 1 AA平面平面ABC BD平面平面ABC BDAA 1 2 BCAB D 为为 AC 的中点 的中点 ACBD BD平面平面CCAA 11 CABD 1 5 分分 又又BBBACBBA 1111111 1111111 BCBACBCBBA 平面 在正方形在正方形 7 分分 由由 又 又 111 BDCBCBDBBCBD平面 11 BDCCA平面 8 分分 3 解法一 提示 所求二面角与二面角 解法一 提示 所求二面角与二面角 C 1 B C D 互余互余 取取 BC 中点中点 H 有 有 DH 平面平面 1 B C C 过 过 H 作作 1 B C垂线 垂足为垂线 垂足为 E 1 11 1 11 1 D HBC D HBC CBCED H EHBC BCBC CD EED H D HEHH D EBC 平 面平 面 平 面平 面 所以二面角所以二面角 C 1 B C D 的平面角是的平面角是 DEH 10 分分 2 1tan2 2 D H D HEHD EH EH 因为二面角因为二面角 A 1 B C D 与二面角与二面角 C 1 B C D 互余 互余 所以二面角所以二面角 A 1 B C D 的正切值为的正切值为 2 2 12 分分 解法二 补形 如图补成正方体 易得解法二 补形 如图补成正方体 易得 O1OS 为二面角的平面角 为二面角的平面角 111 2 2 2 tan 2 O OO SO O S 12 分分 解法三 空间向量法 以解法三 空间向量法 以 1 B为原点建系 分别以为原点建系 分别以 B1C1 B1B B1A1 所在直线为所在直线为 x 轴 轴 y 轴 轴 z 轴建立空间直角坐标系 如图 轴建立空间直角坐标系 如图 易得易得 1 2 2 0 1 0 1 C BBD 设平面设平面 1 B CD 的法向量的法向量 1 nx y z 由由 111 nCBnBD 得得 220 0 xy xz 令令1x 得得 1 1 1 1 n 10 分分 又平面又平面 1 B CA 的法向量的法向量 21 2 2 0 nB C 设二面角设二面角 A 1 B C D 的平面的平面角为角为 所以所以 12 62 coscos tan 32 nn 12 分分 12 在平面直角坐标系中 长度为 3 的线段 AB 的端点 A B 分别在yx 轴上滑动 点 M 在线段 AB 上 且MBAM2 A B C D 1 A 1 B 1 C 1 A 111111111 B C C BB CB CB CA BA B C 中中又又平平 面面 111111111 B CA BBB CA B CB CA C 平平 面面 FJ22NPZGx9buQnE 4 1 若点 M 的轨迹为曲线 C 求其方程 2 过点 1 0P的直线l与曲线 C 交于不同两点 E F N 是曲线上不同于 E F 的动点 求NEF 面积的最大值 解 1 由题知MBAM2 设 0 0 00 yxMyBxA 有 yy xx yyy xxx 2 3 3 22 2 0 0 0 0 代入9 2 0 2 0 yx得1 4 2 2 y x 所以曲线 C 的方程是1 4 2 2 y x 4 分 2 当直线的斜率不存在时 即0 xl 此时2 max NEF S 5 分 当直线的斜率存在时 设1 kxyl 2211 yxFyxE 联立 0324 44 1 22 22 kxxk yx kxy 有 2 21 2 21 4 3 4 2 k xx k k xx 22 2 2 2 4 12 4 4 1 k k k kEF 7 分 由题知过 N 的直线 l l 且 l 与椭圆切于 N 点时 NEF S最大 故设 2 bbkxyl 联立 l 与椭圆方程得 0424 222 bkbxxk 此时40 22 bk ll 与的距离 2 1 1 k b d 所以 2 1 NEF S 22 2 2 2 4 12 4 4 1 k k k k 2 1 1 k b 化简 21 12 2 2 bb b b S NEF 10 分 2 1 1 1 14 114114 3 4 3 4 2 2 2 b bbb bb b bb S NEF 设 0 2 11 2 t b tSy NEF 有 3 1 1 4tty 2 1 0 12 18 2 ttty 所以函数y在 0 2 1 上单调递减 当 2 1 t时 函数y取得最大值 4 27 即 2 b时2 2 33 max NEF S 综上所述 2 33 max NEF S 13 分 13 选做题选做题 已知椭圆已知椭圆 2 2 1 4 y x 的左 右两个顶点分别为的左 右两个顶点分别为A B 曲线 曲线C是以是以A B两点为顶点 离心率为两点为顶点 离心率为5的双曲线 设点的双曲线 设点P在在 第一象限且在曲线第一象限且在曲线C上 直线上 直线AP与椭圆相交于与椭圆相交于另一点另一点T 1 求曲线 求曲线 C 的方程 的方程 2 设 设 P T 两点的横坐标分别为两点的横坐标分别为 1 x 2 x 证明 证明 12 1xx 3 设 设TAB 与与POB 其中 其中 O 为坐标原点 的面积分别为为坐标原点 的面积分别为 1 S与与 2 S 且且15P AP B 求求 22 12 SS 的取值范围 的取值范围 1 解 依题意可得 解 依题意可得 1 0 A 1 0 B 1 分分 FJ22NPZGx9buQnE 5 设双曲线设双曲线C的方程为的方程为 2 2 2 1 y x b 0b 因为双曲线的离心率为因为双曲线的离心率为5 所以 所以 2 1 5 1 b 即 即2b 所以双曲线所以双曲线C的方程为的方程为 2 2 1 4 y x 3 分分 2 证法证法 1 设点设点 11 P xy 22 Txy 0 i x 0 i y 1 2i 直线 直线AP的斜率为的斜率为k 0k 则直线则直线AP的方程为的方程为 1 yk x 4 分分 联立方程组联立方程组 2 2 1 1 4 ykx y x 5 分分 整理 得整理 得 2222 4240kxk xk 解得解得1x 或或 2 2 4 4 k x k 所以 所以 2 2 2 4 4 k x k 6 分分 同理可得 同理可得 2 1 2 4 4 k x k 7 分分 所以所以 12 1xx 8 分分 证法证法 2 设点 设点 11 P xy 22 Txy 0 i x 0 i y 1 2i 则 则 1 1 1 A P y k x 2 2 1 A T y k x 4 分分 因为因为 A PA T kk 所以所以 12 12 11 yy xx 即 即 22 12 22 12 11 yy xx 5 分分 因为点因为点P和点和点T分别在双曲线和椭圆上 所以分别在双曲线和椭圆上 所以 2 2 1 1 1 4 y x 2 2 2 2 1 4 y x 即即 22 11 41yx 22 22 4 1yx 6 分分 所以所以 22 12 22 12 414 1 11 xx xx 即 即 12 12 11 11 xx xx 7 分分 所以所以 12 1xx 8 分分 证法证法 3 设点设点 11 P xy 直线 直线AP的方程为的方程为 1 1 1 1 y yx x 4 分分 联立方程组联立方程组 1 1 2 2 1 1 1 4 y yx x y x 5 分分 整理 得整理 得 222222 11111 4 1 24 1 0 xyxyxyx 解得解得1x 或或 22 11 22 11 4 1 4 1 xy x xy 6 分分 将将 22 11 44yx 代入代入 22 11 22 11 4 1 4 1 xy x xy 得 得 1 1 x x 即 即 2 1 1 x x FJ22NPZGx9buQnE 6 所以所以 12 1xx 8 分分 3 解 解 设点设点 11 P xy 22 Txy 0 i x 0 i y 1 2i 则则 11 1 PAxy 11 1 PBxy 因为因为15PAPB 所以 所以 2 111 1115xxy 即 即 22 11 16xy 因为因为点点P在双曲线上 则在双曲线上 则 2 2 1 1 1 4 y x 所以所以 22 11 4416xx 即 即 2 1 4x 因为点因为点P是双曲线在第一象限内的一点 所以是双曲线在第一象限内的一点 所以 1 12x 因为因为 122 1 2 SAByy 211 11 22 SO Byy 所以所以 22222222 12212112 1 44154 4 SSyyxxxx 10 分分 由 由 2 知 知 12 1xx 即 即