金陵中学数学期中试卷.pdf

金陵中学2013 2014学年度第一学期期中试卷 高一数学 命题 翁德强命题 翁德强 审核 张松年审核 张松年 李跃学李跃学 注注 意意 事事 项项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1 本试卷共2页 包含填空题 第1题 第14题 解答题 第15题 第20题 两部分 本试卷 满分100分 考试时间为120分钟 考试结束后 请将答题卡上交 2 答题前 请务必将自己的姓名 班级 学号用书写黑色字迹的0 5毫米签字笔填在答题 卡上 3 作答非选择题必须用书写黑色字迹的0 5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置 在其它 位置作答一律无效 一 填空题 本大题共14小题 每小题3分 共42分 请将答案填在答卷纸上 1 已知集合P x 1 x 6 集合Q x x 3 0 则P Q 2 函数f x lg 3x 1 的定义域是 3 函数f x x2 2x 3 x 0 3 的值域是 4 函数f x log2 x 1 的单调递增区间是 5 计算 6 若方程lgx 4 2x的根x0 k k 1 其中k Z 则k的值为 7 设幂函数y f x 的图象经过点 则当f x 8时 实数x的值为 8 已知函数f x 若f a 2 则a的值为 9 设f x logax 其中a 1 则f 2 f f 由大到小排列为 10 函数y 2的值域为 11 若f x 为定义在R上的奇函数 当x 0时 f x x2 2x 则f 1 12 已知函数f x 对于任意的x R 都满足f x f x 且对任意的a b 0 当a b时 都有 0 若f m 1 f 2 则实数m的取值范围是 13 函数f x 2 x x 6 在区间 a 上取得最小值 4 则实数a的取值范围是 14 定义 如果函数f x 为定义域D上的单调函数 且存在区间 a b D 其中a b 使得 在区间 a b 上 f x 的取值范围恰为区间 a b 那么称函数f x 是D上的 正函数 若函数g x m 0 是 0 上的 正函数 则实数m的取值范围为 第1页 二 解答题 本大题共6小题 共58分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 本题满分8分 1 已知x x 3 求x 的值 2 计算 log43 log83 log32 log98 16 本题满分10分 设全集为R 集合A x x 3 或x 6 B x 2 x 7 1 求A B RA B 2 设C x m 3 x 3m 2 若B C 求实数m的取值范围 17 本题满分8分 设函数f x 其中a为常数 且f 3 1 求a的值 2 若f x 4 求x的取值范围 18 本题满分10分 某房地产公司要在荒地ABCDE 如图 上划出一块 长方形MNDG的地面修建一座公寓楼 问如何设计才 能使公寓楼地面MNDG的面积最大 并求出最大的面 积 19 本题满分12分 探究函数f x 2x 3在区间 0 上的最小 值 并确定取得最小值时x的值 列表如下 x 0 511 51 71 922 12 22 33457 y 1475 335 115 0155 015 045 085 6778 612 14 1 观察表中y值随x值变化趋势的特点 请你直接写出函数f x 2x 3在区间 0 上的单调区间 并指出f x 的最小值及此时x的值 2 用单调性的定义证明函数f x 2x 3在区间 0 2 上的单调性 3 设函数f x 2x 3在区间 0 a 上的最小值为g a 求g a 的表达式 20 本题满分10分 已知函数m x log2 4x 1 n x kx k R 1 当x 0时 F x m x 若F x 为R上的奇函数 求x 0时F x 的表达式 2 若f x m x n x 是偶函数 求k的值 3 对 2 中的函数f x 设函数g x log2 a 2x a 其中a 0 若函数f x 与g x 的图象 有且只有一个公共点 求a的取值范围 第2页 G 100m 60m B A M ED C70m 80m N 金陵中学2013 2014学年度第一学期期中试卷 高一数学参考答案 一 填空题 本大题共14小题 每小题3分 共42分 请将答案填在答卷纸上 1 x 3 x 6 2 1 3 2 6 4 1 5 3 6 1 7 2 8 3 9 f f f 2 10 11 3 12 3 1 13 4 4 2 14 0 二 解答题 本大题共6小题 共58分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 本题满分8分 1 已知x x 3 求x 的值 2 求值 log43 log83 log32 log98 解析 1 因为x x 3 所以 x x 2 32 2分 即x x 2 9 所以x 7 4分 2 log43 log83 log32 log98 log23 log23 log32 log32 6分 log23 log32 8分 16 本题满分10分 设全集为R 集合A x x 3 或x 6 B x 2 x 7 1 求A B RA B 2 设C x m 3 x 3m 2 若B C 求实数m的取值范围 解析 1 A B x x 3 或x 2 2分 RA x 3 x 6 4分 所以 RA B x 2 x 6 5分 2 因为C x m 3 x 3m 2 且B C 所以 7分 所以所求实数a的取值范围是 3 5 10分 17 本题满分8分 设函数f x a为常数 且f 3 1 求a值 2 求使f x 4的x值的取值范围 解析 1 由f 3 即 2分 所以10 3a 1 解得a 3 4分 2 由已知 4 所以10 3x 2 6分 解得x 4 第3页 故f x 4解集为 x x 4 8分 18 本题满分10分 某房地产公司要在荒地ABCDE 如图 上划出一块长方形MNDG的地面修建一座公寓楼 问如何设计才能使公寓楼地面MNDG的面积最 大 并求出最大的面积 解析 设长方形为MNDG的边MG x m 矩形MNDG的面积为S m2 则 MN 70 2分 于是S MG MN x2 190 x 4分 x 2 x 60 80 6分 所以当x 60 80 时 S有最大值 8分 答 只要使与AE平行的边长为m 公寓楼的地面面积达到最大为m2 10分 19 本题满分12分 探究函数f x 2x 3 x 0 上的最小值 并确定取得最小值时x的值 列表 如下 x 0 511 51 71 922 12 22 33457 y 1475 335 115 0155 015 045 085 6778 612 14 1 观察表中y值随x值变化趋势的特点 请你直接写出函数f x 2x 3在区间 0 上的单调区间 并指出f x 的最小值及此时x的值 2 用单调性的定义证明函数f x 2x 3在区间 0 2 上的单调性 3 设函数f x 2x 3在区间 0 a 上的最小值为g a 求g a 的表达式 解析 1 由表中可知f x 在 0 2 为减函数 2 为增函数 2分 并且当x 2时 f x min 5 4分 2 证明 设0 x1 x2 2 因为f x1 f x2 2x1 3 2x2 3 2 x1 x2 7分 因为0 x1 x2 2 所以x1 x2 0 0 x1x2 4 即x1x2 4 0 所以f x1 f x2 0 即f x1 f x2 所以f x 在 0 2 为减函数 9分 3 由 2 可证 函数f x 2x 3在区间 0 2 上单调递减 在区间 2 上单调递 增 则 第4页 G 100m 60m B A M ED C70m 80m N 当0 a 2时 0 a 0 2 所以函数f x 2x 3在区间 0 a 上单调递减 故f x min f a 2a 3 11分 当a 2时 函数f x 2x 3在区间 0 2 上单调递减 2 a 上单调递增 故f x min f 2 5 综上所述 函数f x 2x 3在区间 0 a 上的最小值为 g a 12分 20 本题满分10分 已知函数m x log2 4x 1 n x kx k R 1 当x 0时 F x m x 若F x 为R上的奇函数 求x 0时F x 的表达式 2 若f x m x n x 是偶函数 求k的值 3 对 2 中的函数f x 设函数g x log2 a 2x a 其中a 0 若函数f x 与g x 的图象 有且只有一个公共点 求a的取值范围 解析 1 设x 0 则 x 0 由于F x 为R上的奇函数 所以F x F x log2 4 1 所以x 0时 F x log2 4 1 2分 2 因为f x log2 4x 1 kx k R 是偶函数 所以f x f x 对任意x R恒成立 4分 即log2 4 1 kx log2 4x 1 kx恒成立 所以k 1 6分 3 由于a 0 所以g x log2 a 2x a 定义域为 log2 也就是满足2x 因为函数f x 与g x 的图象有且只有一个交点 所以方程log2 4x 1 x log2 a 2x a 在 log2 上只有一解 即方程 a 2x a在 log2 上只有一解 8分 令2x t 则t 因而等价于关于t的方程 a