高等数学背景下的高考数学命题探析_董裕华.pdf

1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 高等数学背景下的高考数学命题探析 江苏省海安高级中学 226600 董裕华 近年来高等数学的基本思想 基本方 法和基本问题为高考试题的命制提供了新 的背景和新的思路 1这主要源于两个因素 一是高考题要考查学生的能力 尤其是创新 学习的能力 就需要有一个比较公平又有区 分度的知识背景 1高等数学的一些内容可 以通过初等数学的方法和手段解决 是考查 学生进一步学习潜能的良好素材 二是随着 高考命题改革的逐步深入 自主命题的省市 越来越多 命题组成员中大学教师占绝对优 势 他们在命题时不可能不受自身研究背景 的影响 1代数推理 组合不等式 分段函数 的构造 递推数列 极限方法的应用 导数 的应用 不动点问题 折纸术 函数图象的 凸性 求极限的两边夹法则 中值定理 数 列极限的一些特性等具有高等数学倾向的 问题逐步走进高考 虽然它们对解题方法的 逻辑依据要求不高 但通过直观化 却可以 成为命题和解题的基础 1 高考命题中高等数学的背景主要体现 在 1 以高等数学的基本知识为背景 如 2002年北京理科高考题 如图所示 fi x i 1 2 3 4 是定义在 0 1 上的四 个函数 其中满足性质 对 0 1 中任意的 x1和x2 任意 0 1 f x1 1 x 2 f x1 1 f x2 恒成立 的只有 A1f1 x 与f3 x B1f2 x C1f2 x 与f3 x D1f4 x 本题考查的背景就是高等数学中凸函数 的定义 设f为定义在区间I上的函数 若对I 上任意两点x1 x2和任意实数 0 1 总 有 f x1 1 x 2 f x1 1 f x 2 则称f为I上的凸函数 反之 若 f x1 1 x 2 f x1 1 f x2 则称f为I上的凹函数 1当 0 1 时 x1 1 x 2表示的点在 x1 x2之间 高中课 本中也出现过类似的问题 只不过是 1 2 的情形 即x1 x2中点的情况 此时形式为 f x1 x2 2 1 2 f x1 f x2 1学生对本 题的困惑主要是对知识背景不够了解 对试 题的表述比较生疏 1其实 高考中出现的凸 函数问题还有很多 1994年全国高考题 已知函数f x 06中学数学杂志 高中 2007年第4期 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved tanx x 0 2 若x1 x2 0 2 且x1 x2 证明 f x1 f x2 2 f x1 x2 2 1 2005年湖北高考题 在y 2 x y log2x y x 2 y cos2x这四个函数中 当0 x1 x2 f x1 f x2 2 恒成立的函数的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 再看两题 2003年北京高考题 某班试用电子投票 系统选举班干部候选人 全班k名同学都有 选举权和被选举权 他们的编号分别为1 2 3 k1规定同意按 1 不同意 含弃权 按 0 令 aij 1 第i号同学同意第j号同学当选 0 第i号同学不同意第j号同学当选 其中i 1 2 3 k 且j 1 2 3 k1则同时同意第1 2号同学当选的人数 为 A a11 a12 a1k a21 a22 a2k B a11 a21 ak1 a12 a22 ak2 C a11a12 a21a22 ak1ak2 D a11a21 a12a22 a1ka2k 2004年北京市春季高考题 下表给出一 个 等差数阵 47 a1j 712 a2j a3j ai1ai2ai3ai4ai5 aij 其中每行每列都是等差数列 aij表示位 于第i行第j列的数 1 求出a45的值 写出 aij的计算公式 证明 正整数N在该等差数阵中的充 要条件是2N 1可以分解成两个不是1的正 整数之积 1 这两题都以矩阵知识为背景 涉及到行 列式的概念及矩阵的乘法等问题 但学生完 全可以用中学数学知识去求解 1从高等数学 的角度看 上一题中符号ai1 aj2 i 1 2 k j 1 2 k 作为元素可以构成一个2 k矩阵B a11a21 ak1 a12a22 ak2 由矩阵乘法得 a 11a21 ak1 a12 a22 ak2 A 则A为1 1矩阵 其行列式为 A a11a12 a21a22 ak1ak21当然在完成本题人数统计时 无需这 样繁琐 只要看第i个人 只有当他同时同意 第1 2号同学当选才算1票 即ai1ai2 1 其 他情况下ai1ai2 01因此应当选C1解第2题 的基础也是要理清等差数阵的概念 1 表述方法带有高等数学色彩的试题还有 许多 1现在 线性相关 计算机算法语言等知 识已成为高考命题新的抓手 选材 立意时代 感强 体现了与时俱进的精神 1 2 以高等数学的基本思想为主线 2003年上海高考题 方程x 3 lgx 18 的根x 结果精确到0 1 1 显然2 x 31设f x x 3 lgx 18 则 f 2 5 0 故2 5 x 0 所以2 5 x 1时 方程 f x 0 在 e m m e 2m m 内有两个实根 1 第 2 题所用定理就是介值性定理 设 函数f在闭区间 a b 上连续 且 f a f b 1若 为介于 f a 与 f b 之间的任何实 数 f a f b 则至少存在一点x0 a b 使得f x0 1 此定理表明 若f在闭区间 a b 上连 续 且f a f b 则f在 a b 上必能取得 区间 f a f b 中的一切值 即 f a f b f a b 1当 f a f b 时 令 g x f x 则 g x 也是 a b 上 的连续函数 且 g a 01此时结 论转化为至少存在一点x0 a b 使得 g x0 01 该命题即为根的存在性定理 若函数f在 闭区间 a b 上连续 且 f a 与 f b 异号 则 至少存在一点x0 a b 使得f x0 0 即 方程f x 0在 a b 内至少有一根 1这个定 理的证明思路在高考中也常有体现 1 这道高考题 2 的证明如下 由 1 可 知 当整数m 1时 f x x ln x m 在 e m m 1 m 上为连续减函数 且 f 1 m 1 m 0 即当整数m 1 时f e m m 与 f 1 m 异号 1由所给定理 知 存在唯一的x1 e m m 1 m 使 f x1 01下面考察f e 2m m 的符号 因为 f e 2m m e2m 3m 令u m e 2m 3m m 1 则u m 2e 2m 3 因为m 1 所以u m 0 u m e 2m 3m在m 1时单调递增 所以u m e 2m 3m u 1 e 2 3 0 即f e 2m m 0 故 f 1 m 与f e 2m m 异号 1又 f x x ln x m 在 1 m e 2m m 上是连续增函数 由所给 定理知存在唯一的x2 1 m e 2m m 使 26中学数学杂志 高中 2007年第4期 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved f x2 01综上 当整数m 1时 方程 f x 0在 e m m e 2m m 内有两个实根 1 3 以高等数学的基本方法为素材 2005年全国卷 理科 第22题 设 函数f x xlog2 x 1 x log2 1 x 0 x 0 i 1 2 n n i 1 i 1 有 f n i 1 ixi n i 1 if xi 1 证明 应用数学归纳法 1当n 2时 由 凸函数的定义命题显然成立 1假设n k时 命题成立 即对任意xi a b ai 0 i 1 2 k n i 1 ai 1 有 f k i 1 aixi k i 1 aif xi 则当x1 x2 xk xk 1 a b 及 i 0 i 1 2 k k 1 k 1 i 1 ai 1 时 令ai i 1 i 1 i 1 2 k 则 k i 1 ai 11由归纳假设 f 1x1 2x2 kxk k 1xk 1 f 1 k 1 1x1 2x2 kxk 1 k 1 k 1xk 1 1 k 1 f a1x1 a2x2 akxk k 1f xk 1 1 k 1 a 1f x1 a2f x2 akf xk k 1f xk 1 1 k 1 1 1 k 1 f x1 2 1 k 1 f x2 k 1 k 1 f xk k 1f xk 1 k 1 i 1 if xi 1 这就证明了对任何正整数n n 2 Jensen不等式均成立 1 Jensen不等式是高等数学中的一个重要 不等式 其特殊情形 若f为区间 a b 上 的凸函数 则对任意xi a b i 1 2 n 有 1 n f x1 f x2 f xn f 1 n x 1 x2 xn 也是中学数学竞赛 的重点内容 1对于这一高考题的 可以对 函数 f x 求导数 得到当x 1 2 时 f x 1 2 时 f x 0 f x 在区间 1 2 1 上是增函 数 1从而 f x 在x 1 2 时取得最小值 f 1 2 11其结论xlog2x 1 x log2 1 x 1是第 题的基础 1令p1 x p2 1 x 该结论也可以表述成 若p1 p2为正数 则 p1log2p1 p2log2p2 11构造函数 g x xlog2x 则g x 1 xln2 0 x 0 1 g x 为区间 0 1 上的凸函数 1再用Jensen 不等式的证明方法处理 1 2003年北京高考题 设y f x 是定义 在区间 1 1 上的函数 且满足条件 i f 1 f 1 0 ii 对任意的u v 1 1 都有 f u f v u v 1 证明 对任意的x 1 1 都有x 1 f x 1 x 判断函数 g x 1 x x 1 0 1 x x 0 1 是否满足题设条件 在区间 1 1 上是否存在满足题设 条件的函数y f x 且使得对任意的u v 36中学数学杂志 高中 2007年第4期 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 1 1 都有 f u f v u v1若存 在 请举一例 若不存在 请说明理由 1 本题的条件 ii 实际上就是说函数 f x 在 1 1 上一致连续 1函数 f x 在区间I 上一致连续的定义为 设f为定义在区间I上 的函数 若对任给的 0 都存在一个正数 使得对任何x x I 只要 x x 就有 f x f x 恒成立 则称函数 f在区间I上一致连续 均匀连续 1函数 f x 在 1 1 上一致连续 故函数 f x 在 1 1 上连续 1第 题的解答过程 由g 1 0 g 1 对任意的u v 1 1 当u v 0 1 时 有 g u g v 1 u 1 v u v 当u v 1 0 时 同理有 g u g v u v 当u v b a 2 时 不妨设x1 x2 则x1 x2 b a 2 从而 f x1 f x2 f x1 f a f b f x2 f x1 f a f b f x2 x1 a b x2 x1 a b x2 b a b a 2 b a 2 1 综上 对任意的x1 x2 a b 总有 f x1 f x2 b a 2 成立 1 由试题中函数 f x 满足的条件 ii 容 易联 想 到 高 等 数 学 中 的 利 普 希 兹 R Lipschitz 条件 1其定义如下 对于 a b 上 定义的函数 f x 和正数 0 1 若存 在正常数M使不等式 f x1 f x2 M x1 x2 对 x1 x2 a b 都成立 则称函 数 f x 在 a b 上满足 阶的利普希兹条件 1显然 试题中的函数 f x 满足1阶的利普 希兹条件 我们也可以将其推广到 f x 满足 阶的利普希兹条件 命题2 函数 f x 定义在 a b 上 f a f b 且 f x 满足 阶的利普希兹条 件 即存在正常数M 使得对于任意的x1 x2 a b 都有 f x1 f x2 M x1 x2 0 1 则必有 f x1 f x2 2 1 2 M b a 需要说明的是 尽管有些高考试题的设 计来源于