2013年数学高考模拟卷(一).pdf

2013 年 数 学 高 考 模 拟 卷 一 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的 4 个选项中 只有一项是符合题目要求的 图 1 1 设全集 U R 集合 A x x2 x 2 0 B x 槡x 2 则图 1 中阴影部分表示的集合为 A 1 4 B 1 0 C 0 2 D 2 4 2 已知 i 是虚数单位 则 7 i 3 4i A 1 iB 1 iC 1 iD 1 i 3 图 2 所示的程序框图表示求式子 23 53 113 233 473 953的值 则判断框内可以填的条件为 图 2 A i 90 B i 100 C i 200D i 300 4 已知 m n 是 2 条不重合的直线 是 3 个两两不重合的平面 给出下列 4 个命题 若 m m 则 若 m n m n 则 若 则 若 m n 是异面直线 m m n n 则 其中真命题是 A 和 B 和 C 和 D 和 5 已知 Sn是等差数列 an 的前 n 项和 且 S2 S7 S6 Sk 则 k 的值为 A 2B 3C 4D 5 6 已知函数 f x Asin x A 0 0 0 为偶函数 该函数的部分图像如图 3 所示 ABC 是斜边为 2 的等腰直角三角形 则 f 2 013 的值为 A 1B 0C 1D 1 2 7 甲 乙 丙各写一张贺卡随意送给丁 戊 2 个人中的一人 则丁 戊 2 个人中恰有一人收到一张贺卡的概率是 图 3 A 1 2 B 2 3 C 3 4 D 5 8 8 如图 4 F1 F2是双曲线 C x2 a2 y2 b2 1 a 0 b 0 的左 右焦点 过 F1的直线 l 与 C 的左 右 2 个支分别交于点 A B 若 ABF2为等边三角形 则双曲线的离心率为 图 4 槡 A 4B 7C 槡 2 3 3 槡 D 3 9 已知定义在 R 上的函数 y f x 其图像为连续不断的曲线 且满足 f 4 x f x x 2 f x 0 则 f x f x 2 是 x 1 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 10 理 设函数 f x 2x 1 2x 1 2 2 x 1 2 x 1 2 其中 x 表示不超过 x 的最大整数 则 f x 的 值域是 A 0 1 B 0 C 0 1 D 1 1 图 5 文 已知定义在 R 上的偶函数 f x 满足 f x 4 f x 且在区间 0 2 上 f x x 若关于 x 的方程 f x logmx 有 3 个不同的根 则 m 的范围为 A 2 4 B 2 槡2 2 C 槡 6 槡2 2 D 槡 6 槡10 二 填空题 本大题共 7 小题 每小题 4 分 共 28 分 11 已知正三棱椎的三视图为如图 5 所示 其中正视图是边长为 2 的正三角形 则该正三棱锥的侧 面积为 12 设变量 x y 满足约束条件 x 1 0 x y 1 0 x y 2 0 则 z 4x y 的最大值为 13 理 若 1 2x 2 013 a0 a1x a2x2 a2 013x2 013 则 a1 2 a2 22 a2 013 22 013 24 中学教研 数学 2013 年 图 6 文 学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况 抽出了一个容量为 n 的样本 其频率分布 直方图如图 6 所示 其中支出在 50 60 元的同学有 30 人 则 n 的值为 14 理 已知 x y z 是正实数 且 x 4y z 2 则 1 x y 2 x y 3y z 的最小值为 文 已知 x y 是正实数 且 x 4y 1 则 1 x x y 的最小值为 15 底面边长为 4 的正四棱柱 高 h 6 形的容器 先放入一个半径为 2 的球 然后再放入一个半径 为 1 的小球 则小球的最高点距棱柱底面的距离为 图 7 图 8 16 理 如图 7 在 ABC 和 ADE 中 B 是 DE 的中点 AB DE 2 CA 2 CB 3 若 AB AD AC AE 2 则 DE与 BC夹角大小为 文 如图 8 在等腰梯形 ABCD 中 AD BC 且 AB BC CD 1 2 DA 2 若点 P 在 ABC 内 包括边界 则向量 AC与向量 DP数量积 的范围为 17 理 已知 A B C D E 和 F 这 6 个人都有互联网账户 他们中的一些人 但并非所有的人 彼此之间是网友 并且他们都没有以上名单之外的网 友 若他们每个人都有一样数量的朋友 则以上情况发生的可能性有 种 文 已知 2 个圆相交于点 A 1 3 B m 1 2 个圆的圆心都在直线 x y c 0 上 则 m c 的值是 三 解答题 本大题共 5 小题 共 72 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 18 14 分 已知函数 f x cos 2x 3 sin2x 1 求函数 f x 的单调递增区间 2 在 ABC 中 角 C 为钝角 若 f C 2 1 4 a 2 c 槡 2 3 求 ABC 的面积 19 14 分 理 一盒中装有分别标记着 1 2 3 4 的 4 个小球 每次从袋中取出一个球 设每个小球被取出的可能性相同 1 若每次取出的球不放回盒中 现连续取 3 次球 求恰好第 3 次取出的球的标号为最大数字的球的概率 2 若每次取出的球放回盒中 然后再取出一个球 现连续取 3 次球 这 3 次取出的球中标号最大数字为 求 的分布 列与数学期望 文 设各项为正的数列 an 的前 n 项和为 Sn且满足 2Sn an an 1 图 9 1 求 an 2 设 Tn为数列 1 anan 1 的前 n 项和 若 Tn an 1对一切 n N 恒成立 求实数 的最小值 20 15 分 如图 9 已知斜三棱柱 ABC A1B1C1的各棱长均为 2 点 B1在平面 ABC 上的射影 O 为 AB 的中点 1 求证 B1C 平面 ABC1 2 求二面角 C AB1 B 的余弦值 21 15 分 如图 10 已知抛物线 C x2 2py p 0 的焦点为 F 0 p 2 准线为 l 点 p x0 y0 y0 p 图 10 为抛物线 C 上的一点 且 FOP 的外接圆圆心到准线的距离为 3 2 1 求抛物线 C 的方程 2 若圆 F 的方程为 x2 y 1 2 1 过点 P 作圆 F 的 2 条切线分别交 x 轴于点 M N 求 PMN 面积的最小值及此时 y0的值 22 14 分 理 设函数 f x xlnx 1 2 x2 1 判断函数 f x 的单调性 2 已知 a 为正实数 若 f x b 1 2 x2 ax 有解 求 a b 1 的最大值 文 已知函数 f x 1 3 x3 a 1 x2 4ax b 1 讨论 f x 的单调区间 2 设 f x 有 2 个极值点 x1 x2 若过点 A x1 f x1 和点 B x2 f x2 的直线与直线 x 2 的交点也在曲线 y f x 上 求 a 的值 34 第 2 期2013年数学高考模拟卷 一 参考答案 1 C2 A3 B4 D5 B 6 B7 C8 C9 B10 理 C 文 D 11 槡30 12 413 理 1 文 100 14 理 5 2 文 515 槡 3 7 16 理 120 文 12 0 17 理 170 文 3 18 解 1 f x cos 2x 3 sin2x cos2xcos 3 sin2xsin 3 1 cos2x 2 1 2 槡 3 2 sin2x 由 2k 2 2x 2k 3 2 得 k 4 x k 3 4 故 f x 的单调递增区间为 k 4 k 3 4 k Z 2 因为 f C 2 1 2 槡 3 2 sinC 1 4 所以 sinC 槡 3 2 又角 C 为钝角 从而 C 2 3 由正弦定理可得 2 sinA 槡 2 3 sinC 即sinA 1 2 而 0 A 3 于是 A 6 B 6 故 S ABC 1 2 acsinB 槡 3 19 理 解 1 当恰好第 3 次取出的球的标号为最 大数字时 则第 3 次取出的球可能是 3 或 4 得 P 2 1 3 2 4 3 2 1 3 2 的可能取值为 1 2 3 4 P 1 1 4 3 P 2 1 4 3 C2 3 1 4 2 1 4 C1 3 1 4 1 4 2 7 64 P 3 1 4 3 C2 3 1 4 2 2 4 C1 3 1 4 2 4 2 19 64 P 4 1 4 3 C2 3 1 4 2 3 4 C1 3 1 4 3 4 2 37 64 因此其分布列如表 1 所示 表 1 的分布列 1234 P 1 64 7 64 19 64 37 64 从而E 1 1 64 2 7 64 3 19 64 4 37 64 55 16 文 解 1 令 n 1 则 2S1 2a1 a1 a1 1 得a1 1 又2Sn a2n an n 1 2Sn 1 a2n 1 an 1 n 2 两式相减 得2an a2n a2n 1 an an 1 从而 an an 1 an an 1 1 0 由 an 0 得 an an 1 1 故 an 为等差数列 通项 an 1 n 1 1 n 2 因 1 anan 1 1 n 1 n 2 1 n 1 1 n 2 故 Tn 1 1 2 1 2 1 3 1 n 1 n 1 n n 1 又 Tn an 1 因此 n n 1 n 1 从而 n n 1 2 即 n n 1 2 1 2 n 1 n 1 2 2 1 4 因此 的最小值为 1 4 20 1 证明如图 11 联结 OC 和 B1C 因为点 B1在 平面 ABC 上的射影 O 为 AB 的中点 所以 B1O 平面 ABC 而 AB 平面 ABC 因此 B1O AB 由 AB BC CA 2 且 O 为 AB 的中点 得 OC AB 而 B1O AB O B1O AB 平面 B 1CO 于是 AB 平面 B1CO 因为 B1C 平面 B1CO 所以 AB B1C 又因为斜三棱柱 ABC A1B1C1的各棱长均为 2 所以四边形 BB1C1C 为菱形 即 B1C BC1 而 BC1 AB B BC1 AB 平面 ABC1 故 B 1C 平面 ABC1 图 11 图 12 2 解如图 12 联结 AB1 在平面 AB1O 内 过点 O 作 OP AB1 垂足为 P 联结 CP 则 B1O 平面 ABC 而 CO 44 中学教研 数学 2013 年 平面 ABC 因此 B1O CO 又 CO AB 且 B1O AB O 从而 CO 平面 ABB1 由 AB1 平面 ABB1 得 CO AB1 因为 OP AB1 且 OP OC O 所以 AB1 平面 COP 从而CP AB1 故 CPO 即为二面角 C AB1 B 的平面角 在 Rt CPO 中 CO 2OP CP 槡 5OP 故 cos CPO 槡 5 5 即二面角 C AB1 B 的余弦值为槡 5 5 21 解 1 FOP 的外接圆的圆心在直线 OF FP 的 交点上 且直线 OF 的中垂线为直线 y p 2 则圆心的纵坐 标为 p 2 故到准线的距离为 p 2 p 4 3 2 从而p 2 即 C 的方程为 x2 4y 2 设过点 P 斜率存在的直线为 y y0 k x x0 则点 F 0 1 到直线的距离 d y0 kx 1 k2 槡 1 令 d 1 则 y0 kx0 1 k2 槡 1 1 从而 x20 1 k2 2x0 y0 1 k y20 2y0 0 设 2 条切线 PM PN 的斜率分别为 k1 k2 则 k1 k2 2x0 y0 1 x2 0 1 k1k2 y2 0 2y0 x2 0 1 且直线 PM y y0 k1 x x0 直线 PN y y0 k2 x x0 故 M x 0 y0 k1 0 N x0 y0 k2 0 因此 MN y0 k2 y0 k1 y0 k1 k2 k1k2 y0 k1 k2 2 4k1k2 k1k 槡 2 8y0 4y2 0 y0 2 槡 2 从而S PMN 1 2 MN y0 y2 0 2y0 y 2 0 y0 2 槡 2 设 f t t2 2t t2 t 2 2 则 f t 2t 2 t2 3t 6 t 2 3 t 0 令 t 2 3t 6 0 则 t 槡 3 33 2 舍 或 t 槡 3 33 2 f t 在 2 槡 3 33 2 上单调递减 在 槡 3 33 2 上单调 递增 因此 fmin t f 槡 3 33 2 从而 S PMN min f 槡 3 33 槡 2 槡 9 33 16 槡槡54 10 33 此时y0 槡 3 33 2 22 理 解 1 由题意 f x lnx 1 x 设 g x lnx 1 x 则 g 1 0 g x 1 x 1 1 x x 故 g x 在 0 1 上单调递增 在 1 上单调递减 因此 g x max g 1 0 从而g x 0 即f x 0 故函数 f x 在 0 上为单调减函数 2 由题设 xlnx 1 2 x2 b 1 2 x2 ax 其中 x 0 等价于 lnx b 1 x a 1 有解 设 h x lnx b 1 x 则式 1 即为 h x max a 2 h x 1 x b 1 1 b 1 x x 若 b 1 0 则 h x 0 在 0 上恒成立 即 h x 为单调增函数 式 2 显然成立 此时 a b 1 0 若 b 1 0 则 x 1 b 1 0 故 h x 在区间 0 1 b 1 上单调递增 在 1 b 1 上单 调递减 于是 hmax x h 1 b 1 ln b 1 1 从而 ln b 1 1 a 故 a b 1 b 1 ln b 1 b 1 恒成立 设 t b 1 t tlnt t t lnt 2 因此 t 在0 1 e 2 上单调递增 在 1 e2 上单调递减 故 max t 1 e 2 1 e2 因此 a b 1 的最大值为 1 e2 当且仅当 b 1 e2 1 a 1 时 等号成立 文 解 1 由题意得 f x x2 2 a 1 x 4a x 2 x 2a 当 a 1 时 2a 2 f x 0 恒成立 故 f x 在 上单调递增 当 a 1 时 2a 2 故 f x 在 2 和 2a 上单调递增 在 2 2a 上单调递减 当 a 1 时 2a 2 故 f x 在 2a 和 2 54 第 2 期2013年数学高考模拟卷 一 上单调递增 在 2a 2 上单调递减 2 由题设 x1 x2为方程 f x 的 2 个根 则 x2 1 2 a 1 x1 4a x2 2 2 a 1 x2 4a 因此 f x1 1 3 x1 2 a 1 x1 4a a 1 2 a 1 x1 4a 4ax1 b 2a 3 2 3 x2 1 2a 2 4 3 a 2 x1 4a2 4a b 2 3 a2 4 3 a 2 3 x1 4a 2 3 4a 3 b 同理f x2 2 3 a2 4 3 a 2 3 x2 4a 2 3 4a 3 b 因此直线 l 的方程为 y 2 3 a2 4 3 a 2 3 x 4a 2 3 4a 3 b 令 x 1 则 y 2 3 a2 8 3 a b 2 3 而 f 1 3a b 2 3 由题设知 2 3 a2 8 3 a b 2 3 3a b 2 3 解得a 0 或 a 1 2 供稿人 叶望川 2013 年 数 学 高 考 模 拟 卷 二 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的 4 个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 已知 U 为全集 A B I 都是 U 的子集 且 A I B I 则 CI A B A x U x A 且 x B B x U x A 或 x B C x I x A 且 x B D x I x A 或 x B 图 1 2 执行如图 1 所示的程序框图 输出的 T 的值为 A 12B 20C 30D 42 3 等比数列 an 中 a1 0 则 a1 a3 是 a3 a6 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 4 已知点 A cos10 sin10 B sin40 cos40 则直线 AB 的倾斜角等于 A 135 B 120 C 105 D 95 5 已知 m 是平