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高等代数 上 学习提纲 第一章 第四章节1 任课老师 周毅 一 基本概念 1 预备知识数域 含两数且对四则运算封闭 映射 变换及其运算 单射 满射 双射 乘积映射 可逆映射 逆映射 2 矩阵及其相关概念矩阵的初等变换与等价关系矩阵的秩矩阵的运算 初等变换 加 减法 数乘 乘法 方幂 转置 共轭 求逆 行列式初等矩阵一些特殊矩阵 对称阵 反对称矩阵 三角阵 幂零阵方阵的迹分块矩阵行列式及它的余子式与代数余子式 3 向量空间向量及其线性运算 8条运算公理 向量组的表示 等价与相关性向量组的极大无关组与秩4 线性空间线性空间及线性运算公理线性空间的表示 等价 相关性 极大无关组及秩线性空间的基与维数线性空间中的元素在基下的坐标5 线性方程组理论线性方程组 齐次 非齐次 系数矩阵 增广矩阵 齐次线性方程组的基础解系非齐次线性方程组的特解 二 基本性质 预备知识 矩阵及其相关概念 向量空间 线性空间 线性方程组理论 预备知识 1 单射 使得 满射 使得 可逆 使得 记为2 代数学基本定理 矩阵及其相关概念 1 矩阵秩的性质 矩阵的行 列秩在行 列初等变换下保持不变 矩阵的行 列秩在列 行初等变换下保持不变即 初等变换不改变矩阵的秩2 矩阵运算的性质交换律 结合律 分配律 不同运算次序的交换3 矩阵秩的相关性质 当 满秩时取等号4 的性质 且 矩阵及其相关概念 5 左行右列 法则6 满秩为初等阵的乘积均为满秩 可逆矩阵 使得 可逆满秩为初等阵的乘积 使得 或者7 初等矩阵均可逆且其逆矩阵仍为初等阵8 求逆运算与其它运算的关系9 分块矩阵的运算10 行列式的基本性质11 行列式按行 按列 展开法12 向量空间 1 向量组的相 无关性 相关中至少有一个可以由其余个表示 无关 相关可以由表示且表示唯一相关 相关或者 部分相关整体相关 部分分量无关该向量组无关 个维向量相关 相关 相关或者2 无关且可以由表示 由此导出向量组 秩 的概念 线性空间 1 设 若可以由表示 则 若 则2 设为的基 其中 则无关无关3 设为的基 则为的基可逆4 坐标变换公式线性方程组解理论1 其中为阶矩阵 当时 有非零解2 解的结构 当时 方程组只有零解 当时 方程组由个解构成基础解系3 解的结构 三 基本方法 由初等变换法解线性方程组由初等变换法求矩阵的秩 向量组的秩 判别相关
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