2026年黑龙江省哈尔滨市第三中学高一期中数学试题（含答案解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页哈三中2025—2026学年度下学期高一学年期中考试数学试卷第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设复数，是的共轭复数，则复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．向量，的夹角为，并且，是单位向量，向量满足，那么向量与的夹角为（

）A． B． C． D．3．已知，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．4．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，那么下列结论正确的是（

）A．若，，且，则与为异面直线B．若，，且，则C．若，，且，则与为异面直线D．若，，且，则5．如图，是底部不可到达的一座建筑，是建筑的最高点.测量建筑高度时选择了一条水平基线，使，，在同一条直线上，在，两点用测角仪器测得的仰角分别是，，，测角仪器的高是.那么测得建筑的高度为（

）A． B． C． D．6．在中，，，，点为的中点，为上的点，并且，则的值为（

）A． B． C． D．7．正三棱柱的底面边长为，高为，为上的点，，平面将该棱柱截成两个几何体，那么小的几何体与大的几何体的体积比值为（

）A． B． C． D．8．在中，三个内角分别为，，，所对的三边长分别为，，，若，并且，则（

）A． B． C． D．二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知复数，，，是的共轭复数，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．若，则的最大值为610．已知一个圆锥的底面半径为1，高为2，则下列对该圆锥的表述正确的是（

）A．侧面积为B．过两条母线的截面面积的最大值为2C．圆锥的内切球半径为D．设是圆锥的底面圆直径，是底面圆周上一点，若，则与所成角的余弦值为11．已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（

）A．设，若是的重心，则B．若，则的面积与的面积之比为C．若是的内心，满足，则的值为D．若且，则第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.12．已知是关于的方程的一个根，其中，为实数，则________.13．若底面边长为，高为的正三棱柱所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为________.14．的内角，，所对的边分别为，，，其面积为，若点满足，且，则的最大值为________．四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．如图，在正方体中，是底面的中心，点是的中点.(1)求证：平面；(2)求异面直线与所成角的余弦值.16．已知向量，，.(1)若，求；(2)设，，求函数的值域.17．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，，为的中点.(1)求证：平面；(2)求四棱锥的体积.18．在中，内角，，所对的边分别为，，，且.(1)求的大小；(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围；(3)若为边上一点（不包含端点），且满足，求的取值范围.19．若点是直线外一点，点，在线段上（，异于，），我们则称以下操作：为“由点对施以张角运算”；并且，记.如图，四个有序点，，，，由点对施以张角运算，得.(1)在，上分别取点，（异于端点），连交于点，证明：为的中点，且；(2)已知，.①若，求的最大值；②若，，求的值.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．A【分析】直接由共轭复数的定义及复数的几何意义可得.【详解】因为复数，是的共轭复数，所以，所以复平面内对应的点为，位于第一象限.2．B【分析】先由数量积的定义可得，进而可得，再由数量积直接计算夹角可得.【详解】因为向量，的夹角为，并且，是单位向量，所以，所以，且，所以，且，所以.所以向量与的夹角为.3．C【分析】直接由数量积的几何意义求投影向量可得.【详解】因为，，所以，且，所以向量在向量上的投影向量为.4．B【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系依次判断即可．【详解】对于A，若，，且，则与为异面直线或平行直线或相交直线，故A错误；对于B，若，，且，则，，故B正确；对于C，若，，且，则与可能为相交直线，如下图所示：

所以若，，且，则与为异面直线为假命题，故C错误；对于D，若，，且，则与可能相交，如下图所示：

也可能为异面直线，所以若，，且，则为假命题，故D错误.5．A【分析】在中，利用正弦定理求出，再解求出，即可得解.【详解】在中，，由正弦定理得，所以，，在中，，所以，即此建筑物的高度是.6．D【分析】由共线可得，再由数量积的定义可得.【详解】因为点为的中点，所以，

由，且共线，所以，，.7．C【分析】先确定平面截棱柱的截面位置及截成的几何体的形状，一个三棱台和一个五面体，再分别计算三棱台的体积和三棱柱的体积，进而可得体积比值.【详解】如图：设平面与棱交于点，由棱柱的性质知，平面，平面，所以平面，且平面，平面平面，所以，因此，所以几何体是三棱台，，，，，所以，小的几何体与大的几何体的体积比值为.8．D【分析】题目考查解三角形的综合应用，重点考查余弦定理，正弦定理，三角恒等变换与三角形内角和定理.解题关键是通过余弦定理的代入运算，利用正弦定理将边的关系转化为角的三角函数关系，再利用三角恒等式化简，得到内角之间的数量关系，进而求出未知角.【详解】中，因为，由，，所以，；又因为，(为的外接圆的半径)，，，，得，又，，，所以，两角和的正弦公式，得，，，中，，当时，所以，.当时，矛盾，不存在，故选项D正确.9．AD【分析】设，，，则，根据复数的运算依次判断ABC，根据复数的几何意义判断D.【详解】设，，，则对于A，，，所以，故A正确；对于B，当时，，，此时，故B错误；对于C，，，故不一定成立，故C错误；对于D，表示点在复平面内以为圆心，为半径的圆，表示点到点的距离，所以的最大值为，故D正确；10．BCD【分析】由扇形的面积公式计算判断A；根据圆锥的性质计算判断B；设内切球球心为，半径为，过作，根据相似三角形计算判断C；根据异面直线所成角的求法计算判断D.【详解】对于A，设圆锥的母线长为，由题意可知，所以圆锥的侧面积为，故A错误；对于B，因为过两条母线的截面为等腰三角形，且，所以顶角为锐角，故过两条母线的截面面积的最大值为轴截面面积，其面积为，故B正确；对于C，设内切球球心为，半径为，过作，则，，则与相似，则，即，故C正确；对于D，过点作交底面圆于，如图所示：则即为与所成角或其补角，因为，所以为等腰直角三角形，所以为弧的中点，为弧的中点，故，所以，所以则与所成角的余弦值为，故D正确.11．AC【分析】对于A根据重心定理及三点共线定理可得；对于B，由条件可得与到的距离比，进而可得三角形面积比；对C，先由内心可知，结合条件可得，再由正弦定理可得；对D，由条件可得及，再可得，故D错误.【详解】对于A，设是的中点，所以，因为，所以，，故A正确；对于B，设是的中点，由，得，所以，所以到的距离与到的距离的比为，所以，故B错误；对于C，因为是的内心，所以是的三个内角的角平分线的交点，设延长交于点，记内切圆半径为.因为是的平分线，所以，所以，同理在，，又因为，所以，所以，因此，所以，所以，即，所以，由条件，得，再由正弦定理可得，故C正确；对于D，由，得，，即，，，，，即，得.同理，，，，，，，，，所以.又因为，所以，，因为，所以，故D错误.12．【分析】直接由实系数一元二次方程在复数集内的根与系数的关系解得.【详解】因为是关于的方程的一个根，且，为实数，所以也是关于的方程的一个根，由根与系数的关系可得：，解得，所以.13．【分析】先确定球心在上下底面中心的连线的中点处，再由垂径定理可得球半径，进而可得球的表面积.【详解】如图：因为是边长为的正三角形，所以外接圆的直径，因为正三棱柱所有顶点都在球的表面上，所以球心在上下底面中心连线的中点处，.所以，球的表面积为.14．【分析】化简，根据余弦定理，，化简，使用基本不等式求最值，再检验最值可以取到．【详解】，．设，，则．，即得，由得，即，平方得，即，解得．由余弦定理，而，代入所求式：当且仅当时取等号，此时，可以构成三角形．15．(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，，由中位线的定义可得，由线面平行的判定定理即可得证；（2）结合（1）可知或其补角即为所求，在中，设值求解即可.【详解】（1）连接，，在中，，分别为，的中点，

又平面，平面，平面.（2）由（1）知，或其补角即为所求，在中，设，则，，所以.16．(1)(2)【分析】(1)利用向量平行的坐标条件求出，代入求解即可(2)将转化为关于的二次根式，再配方求解最值即可【详解】（1），且，所以，，解得，，，；（2）

的值域为.17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明即可；（2）由线面垂直的判定定理证得四棱锥的高后，再利用四棱锥体积公式计算求解.【详解】（1）因为底面为菱形，，所以是等边三角形，又因为是的中点，所以，又因为，所以.因为，为中点，所以，又因为，所以，又因为，平面，所以平面.（2）经计算，，又，所以，所以，又因为，，平面，所以平面，所以是四棱锥的高，所以.18．(1)(2)(3)【分析】（1）利用三角恒等变换及三角形内角和定理求解即可；（2）求得，利用正弦定理求得，最后利用面积公式求解即可；（3）设，则，，，在、中，利用正弦定理可得出，利用换元法、三角恒等变换及三角函数的性质求解即可.【详解】（1）因为，所以，又因为所以，所以，所以（2）因为，所以，因为为锐角三角形，所以，解得，所以，所以，

，所以.（3）设，则，，，所以，在中，在中，，作商得，设，因为，所以，所以，因为，所以，所以所以.19．(1)证明见解析(2)①；②.【分析】（1）利用定理及三角形的面积公式