第一节、第二节教材.doc

第一节 初中函数再探 在初中，我们学习了函数的概念,还学习了正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数.这些函数的图象与性质在以后的高中数学的学习中经常用到.下面我们先回顾这些函数的定义、图象、性质，再进一步探讨它们的应用.【知识回顾】1.函数的概念:(1)常量与变量:在某一变化过程中,可以取不同数值的量叫做 ,数值保持不变的量叫做 ;(2)函数的定义:一般地,在某一变化过程中有两个变量与,如果对于的每一个值,都有 的值与它对应,那么就说是自变量,是的函数.(3)函数的表示法有 , , .2.一次函数:我们把形如这样的函数叫做 ，当时它就是 .它的图象是经过点（0，b）的一条 .当时，随的增大而 ；当时，随的增大而 . 3.反比例函数:形如这样的函数叫做 ，它的图象是 .当时，图象位于第 象限，在每个象限内随的增大而 ；当时，图象位于第 象限，在每个象限内随的增大而 .4.二次函数:形如这样的函数叫做 ，它的图象是 ，其对称轴是直线 ，顶点坐标是 .（1）二次函数解析式的三种形式： 一般式 ； 顶点式 （其中是抛物线顶点坐标）； 零点式 （其中是抛物线与轴交点的横坐标）.(注:通常我们把函数的图象与轴交点的横坐标叫做函数的零点)（2）二次函数的性质：当时，其图象的开口 ，在对称轴的左侧，随的增大而 ；在对称轴的右侧，随的增大而 ；当的取值越靠近对称轴，函数的值越 ；当 时，函数有最小值为 .当时，其图象的开口 ，在对称轴的左侧，随的增大而 ；在对称轴的右侧，随的增大而 ；当的取值越靠近对称轴，函数的值越 ；当 时，函数有最大值为 . 【预备知识】为了我们后面的学习探讨的行文叙述的方便，我们先来了解集合与区间这两个概念. 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）.一个集合一旦给定，它的元素必须是确定的.也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.一个给定集合中的元素是互不相同的.也就是说，集合中的元素是不重复出现的.集合中的元素是没有顺序的，只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，表示，集合中的元素通常用小写的拉丁字母，表示.如果是集合A中的元素，就说属于集合A,记作；如果不是集合A中的元素，就说不属于集合A,记作.全体实数组成的集合称为实数集，记作.研究函数时常会用到区间的概念。 【整合提升】【例1】（1）若一次函数的图象经过二、三、四象限，则 0， 0（填“”或“”或“bc且abc0，则它的图象可能是()【例2】已知是关于的一次函数，其图象过坐标原点；是关于的反比例函数，且.当；当.求关于的函数解析式.【点拨】本题是考查一次函数、反比例函数的解析式，只需设出解析式，利用待定系数法求解即可.解： 【变式2】已知二次函数的图象经过点（2，-1）和（-1，-1），且二次函数的最大值为8，试确定此二次函数的解析式.【例3】已知函数.（1）求函数的最小值；（2）若，求函数的最小值.【变式3】已知函数，求函数的最值. 在例3和变式3中，函数和自变量的取值范围都是确定的，如果函数不确定或自变量的取值区间不确定，又该怎样来求函数在区间上的最值呢？学习了下面的例4和例5，这个问题你就能解决了.【例4】已知函数且，求此函数的最小值.【点拨】由题意易知函数图象的开口向上，对称轴为直线，但由于无法确定与1的大小关系，所以需要对与1的大小关系进行讨论.当时，由二次函数的图象和性质可知，当时函数有最小值；当时，由二次函数的图象和性质可知，当时函数有最小值.解：，函数的图象的开口向上，且对称轴为直线.（1）当时，函数的对称轴在区间内，由二次函数的图象和性质可知，当时，（如图1-1）；（2）当时，函数的对称轴在区间的右侧，由二次函数的图象和性质可知，当时，（如图1-2）.综上所述，当时，；当时，.图1-1 图1-2（注：“”表示函数的最大值；“”表示函数的最小值）【评注】本题用到了两种非常重要的数学思想：“数形结合”与“分类讨论”.这两种数学思想在高中的数学学习中经常用到，也是高考考查的重点之一.所谓“数形结合”就是把函数与其图象有机结合起来考虑和解决相关问题；而“分类讨论”就是当参数（本题中的通常我们称它为参数）的取值不确定而出现几种情况时，就要分几种情况加以讨论.在应用“分类讨论”的数学思想解题时，首先要确定分类标准，前后标准必须一致，同时分类时要做到不重复、不遗漏.本题的分类标准就是“与1的大小关系”.【变式4】（1）在例4中，若去掉“”这个条件，又怎么解呢？（2）在例3中，条件不变，问题改为“求此函数的最大值”又该怎样解呢？（3）已知在区间内有最大值，求的值.【例5】设函数，求函数的最小值.【点拨】（1）根据区间的定义，本题有个隐含条件“”；（2）函数的对称轴是直线，由于无法确定对称轴与区间的位置关系即与1的大小关系，所以应该利用“分类讨论”的数学思想解题.解： 函数图象的对称轴为直线；由题意易知；当时,函数的值在上随的增大而减小,则当时,；当时, 函数的值在上随的增大而减小, 在上随的增大而增大,则当时,；综上，当时, ；当时, .【变式5】在例5中，求函数的最大值.【自我小结】1.求函数解析式最常用的一种方法是 ，这种方法通常适用于 的情况；2.本节我们学习了两种非常重要的数学思想，它们分别是 ， ；3.在给定区间上求含有参数的二次函数的最值(动轴定区间问题)或给定二次函数求它在不定区间上的最值(定轴动区间问题)时，常用 的思想方法是 .【学后反思】你的收获是 .你还存在的问题是 .【能力训练】见能力同步训练(一)第二节 因式分解及一元二次方程在高中数学的学习中，经常会用到因式分解和一元二次方程根的分布等知识.本节首先回顾我们在初中学过的因式分解的一些常用方法,然后再来探讨一元二次方程根的分布问题.【知识回顾】一.因式分解： 1.提取公因式法：= ；2.公式法： （1）平方差公式： ； （2）完全平方公式： 和的完全平方公式：= ； 差的完全平方公式：= ；（3）立方和公式：；（4）立方差公式：；3.十字相乘法： （1）= （如图2-1）； （2）（如图2-2）； 图2-1 图2-24.分组分解法： （1）分组后提公因式：= ； （2）分组后用公式：= .（注意：因式分解必须分解到每一个因式不能再分解为止）二.一元二次方程1.一元二次方程的一般形式是 ；2.一元二次方程根的判别：设一元二次方程的判别式，则（1）当时，方程有两个 的实数根，且 ；（2）当时，方程有两个 的实数根，且 ；（3）当时，方程 实数根.3.一元二次方程根与系数的关系：设是方程的两个根，则 ， .4.求根公式法分解因式：设一元二次方程的两个实数根为，则 .【整合提升】【例1】把下列各式分解因式： 【变式1】把下列各式分解因式： 【例2】已知关于的方程有实数根,求实数的取值范围. 【变式2】判别关于的方程的根的情况.下面我们来探讨一元二次方程根的分布问题.【预备知识】我们先来看下面这个例子。求下列三个二次函数的图象与轴的交点的坐标：，.对于，令得，因为，所以解得，抛物线与轴交于点（-2,0），（3,0）（如图2-3）.对于，令得，因为，所以解得，抛物线与轴交于点（-2,0）（如图2-4）.对于，令得，因为，所以方程无实数根，抛物线与轴没有交点（如图2-5）.图2-3 图2-4 图2-5 由此我们可以看到，二次函数的图象与轴的交点情况和对应的一元二次方程的根的情况有密切的关系。一般地，对二次函数与一元二次方程，我们有如下结论：（1）当时，二次函数的图象即抛物线与轴有两个不同的交点，这两个不同的交点的横坐标就是对应方程的两个实数根；（2）当时，抛物线与轴只有一个交点，这个交点的横坐标就是对应方程的两个相等实数根；（3）当时，抛物线与轴没有交点，对应方程没有实数根.上面三个结论，反过来也是成立的.为了行文叙述的方便，我们再引进一个符号“”来表示函数. 例如，在函数中，与一样，都表示是关于的二次函数，当时函数的函数值我们把它记作，即. 要注意的是，是一个整体符号，它不表示与的乘积.对于函数，我们把使成立的实数叫做函数的零点.即函数的图象与轴的交点的横坐标叫做函数的零点.需要注意的是，函数的零点是一个实数，而不是一个点.【例3】已知函数至少有一个零点，求的取值范围.【变式3】如图所示，二次函数y=ax2+bx+c的图象，则|OA|OB|等于（）A. B.- C. D.无法确定【例4】方程的两根均大于1，求实数a的取值范围.【点拨】方法1：在方程有根的条件下，设两根为，只需，即，利用刻画两数为正数的条件和根与系数的关系即可求解.方法2：根据一元二次方程与二次函数的关系，要使方程的两根均大于1，只需使二次函数的图象与轴的两个交点位于1的右侧， 如图2-6所示，从而只需同时满足下面三个条件： 图象与轴有交点即； 对称轴位于直线的右侧； 图象上横坐标为1的点位于轴的上方即. 图2-6解：解法1 设方程的两根为，则要使方程的两根均大于1，则只需满足即也即解得.解法2 令，要使方程的两根均大于1，根据一元二次方程与二次函数的关系则只需满足，解得. 【评注】1.在两种解法中都容易丢掉这个条件.实际上，两根都大于1的前提是方程必须有实数根； 2.解法1中不能用来刻画两根都大于1.比如0.5+32，0.53=1.5，但0.5却不大于1. 3.解法二充分利用了数形结合的数学思想. 对于一元二次方程根的分布常结合二次函数的图象从判别式的