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浅谈数学教材中例习题再设计的若干类型浙江省龙游县模环初中(324407) 徐伟建摘要：教材中的例习题为师生教与学活动提供了大量有趣、生动的问题，是教师传授知识、学生习得技能的重要载体。其中有些例习题具有一定的弹性和探索性,有开发、挖掘和拓展的空间。本文以浙教版课标教材为例,谈数学教材中例习题再设计的若干类型,以期提高课堂教学的实效性。关键词：教材例习题；设计类型叶圣陶先生说过：“教材只能作为教课的依据，要教得好，使学生受益，还得靠老师的善于运用。”由此可见，教师作为学生学习的指导者，应该在深入钻研课程标准、教材和学生的过程中，正确理解教材编写的意图，从实际出发，对教材进行适度的开发，以提高课堂教学的实效性。教材中的例习题为师生教与学活动提供了大量有趣、生动的问题，它们是教师传授知识、学生习得技能的重要载体。教材中有些例习题具有一定的弹性和探索性，若将它们进行适当的再设计，既能起到完善知识结构，梳理知识网络的作用；又能增强学生的学习兴致，提高探究能力；还能启迪学生思维，开阔知识视野。笔者结合教学实践，以浙教版课标教材为例，介绍教材中例习题再设计的若干类型。一设计陷阱类问题，增强学生的思辨能力我们常用“吃一堑，长一智”来比喻：一个人经受一次挫折，就会增长一份智慧。学习也是如此，当学生在学习中有过“上当受骗”的经历后，他对知识的记忆会特别深刻，掌握也更加牢固。因此，教师若能在学生易错之处设计一些“陷阱”问题，诱使学生出错，再利用学生的“错误”资源进行教学，既生动有趣，又能较好地培养学生的思辨能力。案例1.浙教版课标教材七(上)“1.2有理数”(课内练习第1题)题目：(1)汽车在一条南北走向的高速公路上行驶，规定向北行驶的路程为正。汽车向北行驶75Km，记作 Km，汽车向南行驶100Km，记作 Km。(2)若从银行取出50元记为-50元，那么30.50元表示 。学生在学习“相反数”的概念时，经常将“不同意义的量”当作“相反意义的量”。为此，笔者在讲解该习题时，当学生顺利回答完上述问题后，紧接着补充下列问题。问题1.若玲玲爸爸上周炒股盈利2000元记为+2000元，那么他本周支出800元记为 元。众生:-800元。（老师笑而不答，此时有学生举手）生1：不对，不能记为-800元。(众生惊讶!)问题2：谁来说说为什么不能?生2：因为盈利2000元和支出800元不是具有相反意义的量。(众生此时恍然大悟，原来如此!)问题3：谁能改一改，使它们能用“+”“-”号来表示呢？生3：把“支出800元”改为“亏损800元”或把“盈利2000元”改为“收入2000元”。【说明】教师针对学生对“相反意义”与“不同意义”两个量的认知“盲点”，设置“陷阱”问题1。学生由于刚刚学了用正、负数表示具有相反意义的两个量，同时受原问题的诱惑，很自然地答出-800元，诱使学生误入歧途，这样可充分暴露学生的认知缺陷。然后，教师通过问题2、3的追问，使学生深刻地认识到错误的关键所在，学生因误入“陷阱”而大大增强思辨能力。案例2浙教版课标教材七(上)“2.4有理数的除法”(作业题第3题)题目：计算（- + - ）（- ）计算该题时，先将除法转化为乘法，再运用分配率计算很方便。在复习课中，笔者将题目略作改动，设计了陷阱问题。问题：计算（- ）（ - + - ），结果好多学生纷纷“中计”，仍旧按照分配律计算。过程如下：原式=(- )6+(- )(- )+(- )()(- )(- )=算完之后，学生自鸣得意，却不知自己已经误入歧途。【说明】分配律在有理数的运算中可起到简便计算的作用，但学生在运用分配律时，往往跟着“感觉走”，只看形式不辨实质。教学中设置“陷阱”问题，学生经历了“上当受骗”的过程，再通过比较辨析，对分配律的认识要深刻的多，就会更加谨慎地运用分配律。二设计替代类问题，突破教学的疑难困惑教材中有些例题的设置需要学生通过动手操作完成，或需要运用多媒体、几何画板等辅助教学手段。但由于受到诸多条件的制约，教学中有时会遭遇一些困惑。此时，教师若能根据教材的设置意图，结合学生的实际学习能力，将教材例习题进行适当地整合改编，设计一些替代类问题，这种“因生制宜”的问题，可很大程度地帮助学生掌握新知，达到突破教学困惑的成效。案例3.浙教版课标教材九（上）“2.4二次函数的应用（第3课时）”(例5)题目：利用二次函数的图像求方程x2+x-1=0的近似解。 该例题教学要求是：利用二次函数图像求一元二次方程的近似解，进一步体验数形结合的数学思想。在此，通常把方程的解看作是函数y=x2+x-1图像与x轴交点的横坐标，而要得到方程的近似解，首先要画出二次函数y=x2+x-1的图像，要较准确地画出该函数的图像，采用的往往是“五点法”(其中的“两点”就是图像与x轴的交点)。如此看来，该问题的解决就陷入了“求方程解画出图像根据图像得方程解”的怪圈，这是笔者与同事教学该例题时的困惑。为此，在教学中，我们设计以下问题替代该例题，较好地达成了教学目标。问题1：已知函数y=ax2+bx+c（a0）的图像如图(1)所示，则方程ax2+bx+c=0的解是 。问题2：已知，如图(2)函数y1=kx+b(k0)与函数y2=ax2+bx+c（a0）的图像相交于A，B两点，则方程组的解是 。y-11x图(3)-1y-13x图(1)B(5,4)yxA(-2,1)图(2)问题3：已知函数y1=kx+b(k0)与函数y2=ax2+bx+c（a0）的图像如图(2)所示，则由图像可得：当x ， y1y2；当x ， y1y2。问题4：已知方程x2-1= ，请你判断该方程解的个数（ ）（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个分析：问题4若采用解分式方程的方法求解方程x2-1= ，就会使问题的解决陷入困境。此时，可将方程x2-1= 的解看作抛物线y= x2-1与双曲线y=交点的横坐标，通过画出函数的草图(3)，问题即可轻松解决。【说明】教参指出：该例题的教学功能主要是，学生通过观察函数图像发现一元二次方程的近似解，渗透数形结合这一重要的数学思想。然而，该例题由于受到诸多条件的制约，教学中，有的教师就蜻蜓点水，有的就让学生自学，有的干脆就一跳而过不能很好地达成教学目标。通过设置替代的系列问题13，让学生学会了观察图像找到方程(组)的解以及不等式的解集。再通过问题4，让学生经历画图像的过程，就更为深刻地体会到数形结合思想在解题中的重要作用。这不仅有效达成了教学目标，扩展了例题的教学功能，也较好地解决了教学中的困惑。三设计开放类问题，培养学生的发散思维教材中有些例题，由于受到课时教学目标的制约，问题设置的针对性强，但开放性相对不足，学生的思维会受到一定限制。教学时，教师若能根据教材与学生的实际，对例题中的问题进行再设计，将单一问题多样化，封闭问题开放化，这有助于调动学生的学习积极性，培养学生的发散思维和创新思维能力。案例4.浙教版课标教材八(下)“5.5平行四边形的判定”(例2)图(1)CBADEFCBAD图(2)题目：已知，如图(1)在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BAE=DCF。求证：四边形AECF是平行四边形。题目由于受条件“BAE=DCF”的限制，解决问题的方式比较单一，若将问题条件“BAE=DCF”删去，可设计如下问题。问题：已知，如图(2)在平行四边形ABCD中，请你在对角线BD上依次取两点E、F，连结AE、EC、CF、FA，使得四边形AECF为平行四边形，并说明你的理由。ADBCEFCBADEFBCADEFCBADEFCBADEFQP取BE=DF图(3)作AEBD，CFBD图(4)作APBC交BD于点E，CQAD交BD于点F 图(5)作BAD，BCD的角平分线分别交BD于E、F图(6)在对角线BD的延长线上取BE=DF图(7)（连接AC交BD于点O，取OE=OF）图(8)OCBADFE此问题设计较为开放，学生思维异常活跃，问题答案也是精彩纷呈。学生除了回答出教材中例题的图形外，还得出了多种结果，列举如下，如图(3)(8)。【说明】学生的解答几乎囊括了平行四边形性质与判定的各种基本方法，系统地梳理了所学知识，大大提高了学生灵活运用知识的能力。由此可见，从学生实际出发将例题的内容、结构、呈现方式等进行再加工，设计开放类问题，引导学生多角度地去分析问题、解决问题，不仅有利于学生掌握所学知识，也有助于培养学生良好的思维品质。四设计递进类问题，激发学生的探究热情学生个体的发展存在着一定的差异，认知水平也不是整齐划一的。因此，课堂教学中应充分考虑到学生的个体差异，问题设计应体现一定的层次与坡度，以满足不同思维层次学生的需要，激发学生的探究欲望，让每一位学生都能获得成功的体验。案例5.浙教版课标教材七(下)“6.4因式分解的简单运用”(作业第6题，C组题)题目：如图，现有正方形纸片3张，长方形纸片3张，请你将它们拼成一个长方形，并运用面积之间的关系，将多项式2a2+3ab+b2因式分解。aabbababaaab该问题要求学生运用数形结合思想来解决，对于七年级学生来说，数形结合思想是个的难点，教材中又删去了“十字相乘法”分解因式的内容。因此，好多学生对此问题的解决感到束手无策，缺乏探究热情。教学时，笔者将问题重新设计如下：问题1：如图(1)，将三个小长方形拼成一个大长方形，你能验证的因式分解等式是 。mmmmabcabc图(1)aabaABCD图(2)问题2：如图(2)，由1个长、宽分别是a、b的长方形，2个边长为a的正方形拼接成一个大长方形ABCD，根据题中所提供的数据，请你写出其中任意三个因式分解的等式。问题3：如图(3)，现有正方形纸片2张，长方形纸片2张，请你将它们拼成一个正方形，并运用面积之间的关系，将多项式a2+2ab+b2因式分解。abbaba图(3)ab问题4：如图(4)，现有正方形纸片3张，长方形纸片3张，请你将它们拼成一个长方形，并运用面积之间的关系，将多项式2a2+3ab+b2因式分解。图(4)aabbababaaab【说明】案例5中的题目体现的是数形结合思想，该思想对学生来说既是重点也是难点。在对比教学中，笔者发现直接解决案例5中的问题，班上绝大多数学生无从下手；而教师通过设置问题13，既为解决问题4（案例中的题目）做了铺垫，也让学生更深刻地领悟数形结合思想，实践表明学生的参与层度要高得多。这样的递进设计使问题由浅入深、步步深入，激发学生的探究热情，满足不同层次学生的需要。五设计拓展类问题，开阔学生的知识视野著名数学教育家波利亚曾形象地指出：“好问题同种蘑菇类似，它们都成堆地生长，找到一个后，你应当在周围找一找，很可能附近就有好几个。”因此，我们在教学中，有时不能仅仅就题论题，孤立解题，应该将问题进行适当的变化，将一个静态的问题从不同角度、不同层次、不同侧面考虑，使问题得以拓展，从而开阔学生的视野。AFEDCB案例6.浙教版课标教材八(上)“2.3等腰三角形判定”(配套同步练习第2题)题目：如图，在ABC中，AB=AC，ABC， ACB的平分线交于点F，过F作DEBC，交直线AB，AC于点D、E。若ADE的周长为10cm，则AB的长为（ ）(A)15cm (B)10cm (C)5cm (D)4cm该题将“三角形内角平分线与平行线”这一“黄金搭档”置于等腰ABC中，容易发现BDF和CEF是等腰三角形，从而使问题得到解决。那么将“三角形内角平分线与平行线”这一组合置于一般的三角形中，或将内角平分线改为外角平分线，是否具有同样的结论呢？因此，可以将该问题进行拓展，设计出下列问题，引导学生深入探究。问题1：如图(1)，ABC两条内角的平分线交于点F，过F作DEBC，交直线AB于点D，交直线AC于点E。问：图中线段BD、CE、DE之间有何关系？BEDFCBAFGEDCBAEFDCBAGAFEDC图(1)图(2)图(3)图(4)问题2：如图(2)，ABC两条外角的平分线交于点F，过F作DEBC，交直线AB于点D，交直线AC于点E，上述结论DE=DB+CE是否成立？问题3：如图(3)，ABC内角的平分线与外角的平分线交于点F，过F作DEBC，交直线AB于点D，交直线AC于点E。请问DE、DB、CE有何关系？（结论BD=DE+CE）问题4：如图(4)，ABC内角的平分线与外角平分线交于点F，且BFAC，过F作DEBC，交直线AB于点D，交直线AC于点E。请问AD、DB、CE有何关系？(结论BD=AD+CE)【说明】原问题的拓展设计，从不同的角度揭示知识的本质属性，这种既有“形变”又有“质变”的变式，让学生在变化的问题中，寻找其规律，既培养学生思维的发散性、深刻性，也培养学生分析问题和解决问题的能力，使学生的视野更宽广，思维更活跃。六设计操作类问题，亲历知识的发现过程数学课程标准中指出有效的数学学习过程不能单纯地依赖模仿和记忆，应鼓励学生大胆实践，把动手实验和操作作为数学学习的一种重要方式，强调主体感知。动手操作类问题通常把学生熟悉的、感兴趣的图形提供给他们作为观察、操作、实验的背景材料，让他们在“做数学中学数学”，注重动手实践与自主探究能力的培养。DE2F1BmAC案例7.浙教版课标教材八(下)“6.3正方形”(例6)题目：已知，如图在RtABC中，ACB=90，CD是ACB的平分线，DEBC， DFAC，垂足分别是E，F。 求证:四边形CFDE是正方形。该例题要求判定四边形CFDE是正方形，可根据条件先判定它是矩形，再根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”，结论很快得到求证。BmAC教参对该例题教学有如下建议：“正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，这条性质可以把一些正方形的问题转化为等腰直角三角形来解，