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高二暑假南理工夏令营2014年南理工夏令营测试卷(3)姓名：_考试号：_成绩：_一、填空题. (每小题10分，共80分)1、已知实数满足，则的取值范围是_解：由已知，由得，得2、在12000中随机抽取一个整数，抽到的数能被6整除但不能被4整除的概率为 解：能被6整除的数共有333个，能被12整除的数有166个故能被6整除但不能被4整除的数共333166167个所求概率P3、锐角ABC中，若，则_.解析：由可得，tanCtan(AB)(tanAtanC). 故2. 特殊法：考虑锐角ABC中为等边三角形.4设复数z13i，z2i，zsini(cos2)则|zz1|zz2|的最小值是 解：点Z1(3，)，Z2(，1)，动点Z：x2(y2)23易知，点Z1、Z2在圆外直线Z1Z2方程为xy0且直线Z1Z2与圆相切于点T(，)即zi使|zz1|zz2|取得最小值225、数列an满足：对于任意正整数n，都有，则 解：当时，有，两式相减，得，所以故6、设为椭圆的两个焦点，若为椭圆的一条过点的弦，且在中，有，则的值为 解：设，则；又结合椭圆的定义，得，即解得显然，且结合可知，所以7、正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在侧面对角线A1D上取点M，CD1上取点N，使得线段MN平行于对角面A1ACC1则这样的MN长度的最小值为_提示：建立空间直角坐标系，用两点间距离公式.8、已知对每一个实数x和y，函数满足. 若，则满足的正整数对(m, n)共有_个.解：令y=1, 得 =，而，设，又为奇数，所以为一奇一偶，当n为偶数时，取得奇数的个数为(3+1)(1+1)=8个(的约数)，即有8个解；同理，n为奇数时，也有8个解，故共有16个.二、解答题. (每小题20分，共80分)9、已知，若对任意恒有，试求的最小值13解：因为， (也可以求导来做)所以又，所以当时，上述各式的等号成立，所以的最小值为10、已知各项均不为零的数列满足. (1) 求的通项公式； (2) 设，若数列的前项和为，证明：当时，解：（1）由得：，则，则数列是以为首项公比为3的等比数列，从而，故； （2）易得，则数列的前项和，当时，令，则，则.ADCBxOylEF11、如图，椭圆C：x21短轴的左右两个端点分别为，直线与轴、轴分别交于两点，与椭圆交于两点. (1) 若，求直线的方程；(2) 设直线的斜率分别为，若，求的值.解：（）设，由得， ， 由已知，又，所以 所以，即，所以，解得，符合题意， 所以，所求直线的方程为或. （），所以，平方得， 又，所以，同理，代入上式，计算得，即， 所以，解得或， 因为，所以异号，故舍去，所以. 12、质数满足：，求证：是合数.解：实事上我们可将求出. 由题意：为素数，则或，分两种情况讨论：（1），设，由，故，则即，则，但，只能即，由奇偶性得；(2) ，是合数.注：事实上，第种情况，也能解出p，q的值：，设，此时（因为），同样可得，则，有，得
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