数学课件研究生.doc

绪 论1.学习本课程的必要性数值分析：研究在计算机上解决数学问题的理论和数值方法 数值方法的构造:计算公式和算法步骤 数值方法的理论分析：误差分析、收敛性、稳定性等重要性：科学计算是工程实践的重要工具，与实验、理论三足鼎立，成为人类科学活动的三大方法之一.科学计算过程：实际问题数学建模数值分析程序设计上机计算求出结果注：数值分析是科学计算过程中必不可少的环节.例如输入一些问题或运算 特点：实用性、理论性、实践性1 面向计算机，根据计算机的特点提供可行的有效算法； 只提供加减乘除和逻辑运算 串行机和并行机2 有可靠的理论分析:算法的收敛性、稳定性和误差分析；3 有好的计算复杂性:时间和空间复杂性；4 有充分的数值实验证明算法的有效性.例如Gramer法则解 阶线性代数方程组需要计算 个 阶行列式. 总共需要 次乘除法.如 n=20 阶方程组，大约 次乘除法.这样的方法毫无意义！如用Gauss消去法，乘除法次数不超过3000次，既使在微型计算机上，也只须几秒种时间就能很容易地完成.内容：包括函数的数值逼近、数值积分、非线性方程数值解、数值线性代数、常微数值解等.著名流行软件如Maple、Matlab、Mathematica等已将其绝大多数内容设计成函数，简单调用之后便可以得到运行结果.但由于实际问题的具体特征、复杂性, 以及算法自身的适用范围决定了应用中必须选择、设计适合于自己特定问题的算法，因而掌握数值方法的思想和内容是至关重要的.2.误差来源与误差概念2.1误差来源误差来源 固有误差-数学模型本身有限过程逼近无限过程产生的（截断误差或方法误差）计算误差 （研究误差某一估计值或某一个界）算术运算在计算机上不能完全精确产生的（舍入误差）（研究误差传播和积累-数值稳定性问题）例如 截断误差 例如用近似代替，产生的舍入误差2.2 绝对误差与相对误差 -近似值， -精确值 - 绝对误差（误差） -绝对误差界（误差界）注：绝对误差的大小，不能完全刻画近似值的精确程度.两个数注：的绝对误差是 的 倍，但近似值 比 精度高.原因：要考虑精准值本身，在 内差 比在 内差 更精确.说明：近似值的精确度，不仅与绝对误差有关，还与精确值本身有关.（）-相对误差 -相对误差界由于 与 的差是 的平方量级，可以忽略.2.3 有效数字（反映精确程度）数 经四舍五入后，得近似值 是 这10个数之一，是正整数，是整数.如果满足 称 为 具有 位有效数字的近似值.其中都是有效数字.有效数：如果表示一个数的数字全是有效数字.有效数字与绝对误差关系：-绝对误差不超过末位有效数字的半个单位，即有效数字越多，绝对误差越小.有效数字与相对误差关系：所以 即：有效数字越多，相对误差越小.结论：有效数字越多，数字越准确.在计算过程中，要尽量保留多的有效数字！例：要使的近似值的相对误差限小于，要取几位有效数字？解：设取位有效数字，根据有效数字与相对误差的关系知，由于，知.故只要取，就有，即只要对的近似值取4位有效数字，其相对误差限就小于（由开方表知）.3.数值计算中应注意的若干问题3.1防止有效数字的损失1、要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法 用绝对值小的数作除数舍入误差会增大，如计算x/y，若0|y|x|，则可能对计算结果带来严重影响，应尽量避免。2. 相近两数相减有效数字会严重损失【例】用公式 求 在 的导数近似值.【解】根据所给公式 用5位字长的数字计算，取 得与精确值比较，计算结果可接受.若取 则由算出的结果完全失真！原因：计算机上数的表示受机器字长的限制. 当 很小时，发生两个值相近的数相减，损失了有效数字，甚至在计算机字长范围内，有效数字损失殆尽！改进：改写 为用这个公式，仍取 计算结果为.有4位有效数字.注：表达式 与 从数学角度完全等价.造成计算效果不同，完全是由于近似计算中的舍入误差影响.3.大数可能“吃掉”小数而使有效数字损失【例】在计算机上求二次方程 的根.【解】由求根公式，得如果 , 则 ，若用上面公式计算 和 ，其中之一将会损失有效数字.原因：在 中，大数 “吃掉了”小数 ，并且出现两个值相近的数相减.改进：改用公式即可. 注：安排计算次序，使计算始终在数量级相差不大的数之间进行.3.2 减少计算次数，计算 的值直接计算次数： 次乘法和 次加法若改写成计算只需 次乘法和 次加法.这就是计算多项式著名的秦九韶算法.3.3避免使用不稳定的数值方法方法不稳定或病态：在计算过程中由于舍入误差的传播与积累，造成计算结果与真值相差甚远.方法稳定或良态：在计算过程中舍入误差能够得到控制，不增长.无条件稳定：对任何输入数据都是稳定的数值方法条件稳定：对某些数据稳定，而对另一些数据不稳定的数值方法.不稳定的数值方法是不能使用的！【例】计算 并估计误差. 其中.【解】 是无限不循环小数，计算机只能截取其前有限位数.记 为 经机器舍入后的近似值，为利用初值 按所给公式计算的值，记 ， 则结论：此数值计算是不稳定的（当初始值存在误差 时，经过 次递推计算后，误差被扩大 倍）.【例】对 计算积分 .【解】 由可得递推公式 初值 用 近似，实际计算公式是 其中 -舍入误差（微小）计算结果取到小数后3位.若用其他算法求 精确到小数后6位.计算结果见下表.积分值 与近似值 及 比较0123456780.1823220.0883920.0580390.0431390.0343060.0284680.0243250.0212310.0188460.1820.0900.0500.083-0.1651.025-4.95824.933-124.5400.1820.0880.0580.0430.0340.0280.0250