由苏教版高中数学教材“本章回顾”引发的思考.pdf

本章回顾 江苏省新海高级 中学 张学兵 普通高 中数学课程标准 实验 指出 学生 的 数 学学 习活 动不应 该 只限于 接受 记 忆 模仿 和 练 习 高 中数学课程还应该 倡导 自主探究 动手实践 合作 交流 阅读 自学等学习数学 的方式 这些方式有 助于 发挥学生学习的主动性 使学生的学习过程成为在教 师引导下的 再创造 过程 而作为课程改革重要载 体 的新教材如何 承载新课程学习方式的多样化 如 何展现新 课标 的 主动性 和 再创造 过程 本文 拟 以江苏教育出版社在 2 0 O 5年开始推出的普通高 中 课程标准实验教科 书 数学 下文简称 教材 I 中 本章 回顾 栏 目为 思 考 的切 入 点 从 教 学 实 践 的 层 面 就新教材的阅读理解 课 堂教学对上述问题做一 些 初 步探讨 1 对 本章回顾 的一个比较 教材 I明确指 出回顾反思为内容组织 的主要形 式之一 回顾反思包括 回顾 总结 联系 整合 拓广 创新 凝缩 由过程到对象 等 编写意图是理解数学 教材 I中的 本章回顾 是回顾反思 的具体表现 翻开 教材 I的必修模块及选修系列 1 2每章中的 本章 回 顾 不难发现它们都是 以精练的语 言高度概括 了本 章的主要内容和其中蕴涵的数学思想方法 并指出了 学 习 中的一 些 注 意 点 与 2 0 0 2年 通 过 审查 的人 教 版 高中数学教科书 下文简称 教材 中的 小结与复 习 相比 教材 I中的 本章回顾 整体表述篇幅小 变 知识方法简单的线性罗列为凸显知识间联系 提炼学 科思想方法的语言描述 给教材使用者留有较大的补 白空间 其突出特色是都配有一幅本 章知识结构 图 图文并茂 一 目了然 给人一种 由厚到薄的轻灵之感 从中让学习者体会到用框 图思路表述的简洁性和结 构图在揭示知识间联系的作用 例如 数列 这一章 内容的知识点 公式 结论很多 综合性强 但在 本章 回顾 中给 出的 数列 知 识 结 构 图 却 给 人 线索 结 构 清 晰 内容重点突出的感觉 让人也感受到需要运用类 一番 比的方法 认识等 差数列 和等 比数列 之问 的区别 和 联 系 图 1 一 图 l 教材 中的 小结 与复习 则细腻地 向教材使用 者呈现了本章的内容提要 学习要求和需要注意的问 题 参考例题三部分内容 学习者只需简单地 拿来 似乎无需对所学 内容进行整合编码 发散思考 如此 不利 于让 学 习者获得 做 数学 的过程 一 定 程度 上 失 去了一个让学生体验 主动性 和 再创造 的数学活 动平台 考虑到进一步落实 自主探究 动手实践 合作 交流 阅读 自学等学习数学的方式的需要 以及选科 学生的不同教学要求 在教材 I的选修系列 3 4的各 专题 中无 本章 回顾 栏 目 取而代之的是要求学生撰 写 学习总结报告 撰写学习总结报告是专题学习过 程的重要组成部分 通过分析与总结 可 以对专题的 内容和结构加 深理解和认识 并在此 基础上得 到升 华 有利 于学 习能力 的 提高 学 习 总结 报 告包 括 三 个 方面的内容 1 知识的总结 2 内容的拓展 3 学 习的感受 所以 寻求主动建构和被动拿来之间的平 衡是我们在回顾反思过程中值得关注的问题 从上文我们还看到教材 I和教材 都一致注重 数学学习的知识梳理环节 因此 我们也找到了一些 应对新课程实施 中课 时紧 容量大 遗忘快等问题的 措施 对学生要及时进行学法指导 向学生指明初高 中在知识 内容 课时进度 练 习时间等方面 的巨大差 别 不要急于讲题 做题 要适时对每一小节或重点节 所 学知识 进 行梳 理 梳 理 的方 式 有 很 多种 可 以 先 让 学生模仿学 习教材 中一些做法 用结构图 学习总 结报告进行梳理 优化 重组所学 内容 然后再 要求学 生结合教师讲解 同学交 流将 已完成 的结构 图 学习 总结报告补充 调整和完善 这是把数学知识结构 内 化为数学认知结构的有效办法 但是在实际教学 中很 多学生的知识梳理只是概念和公式 的堆砌 而不少教 师常常以讲 题时 间不 够为 由 让编织章 节知识 网络 甚至是 简单 的基 础 知 识 线 性 罗列 处 于 欲 言 又 止 的状态 或是一味地用基础训练题 的形式来代替 由 于不 同章节知 识 间存在 的横 向 纵 向 的有 机联 系常 因 模块划分 重视程度不够等原 因被忽视 加之 编织 关 联 性 内容 的知 识 网络 也 有 一 定 的难 度 需 要 学 习 者从学科 的整体高度和思维价值的高度考虑 问题 即 便如此 为了提高数学学 习效益 我们 也要努 力做 到 适 时 有效 地 编织 知识 网络 图 进 一 步加 强基 本 知识 基本概念的学 习 笔者 有意考察 了我校 2 0 0 7级高一 教学 班 的多次 阶段 性考试 情 况 发现 注 重 知识 梳理 和 练习与学情匹配的教学班级成绩能保持较高水平 这 些教学班的明显特点 在概念 性质 定理等基础 知 识 的学 习和复 习 中不 走 过 场 不 赶 进 度 不 把 知 识 炒 成 夹生 饭 而 在 准 确 系 统 灵 活 上 下 功 夫 对 知识 不断 深 化 新 知 识 能 够 及 时 纳 入 已 有 的 知 识 体 系 逐步形 成 和扩 充 数 学 知 识 结 构 体 系 形 成 一 个 条 理化 网络 化 熟 练 化 的有 机 体 系 善 于 为 回顾 反 思环节增添新鲜感 例如 把大家熟悉 的直线 的点斜 式 两 点式 截距式 斜 截式 一 般式 甚 至 还 包括 两 点 式 的另外 两 种 不 等 价 转 化 形 式 Y Y z 一 z 一 一 z z 一丝 等 内容 引入 结构 2 1 5 X l 2 7 2 J5 1 图 直观地体现了直线方程形式之间的有机联系 2 给 本章 回顾 的一个 建议 知识结构图是每个 本章回顾 的有机组成部分 是新教材编写的一个亮点 在教材 I的必修模块 1的 第 章就 已出现 但对 结构图 的内涵及功能界定其 实在教材 I选修 1 2 框 图 中方才提到 为此 我们 建议在教材 I的必修模块 1第一章 本章 回顾 的空 白处增设一个旁 白 以此引导学习者逐步学会看结构 图 画结构图 体悟结构图的实用价值 这个旁 白可 以 是 此 图简 洁 直 观 地 表 达 了本 章层 次结 构 和 各 部分 之 间 的关 系 它 是 一 种 特 殊 的 框 图 框 图 是 表示 一 个 系统各部分和各环节之间关系的图示 它能够清晰地 表达比较复杂的系统各部 分之 间的关系 称为结构 图 我们可以运用结构图梳理 已学过的知识 整理收 集 到 的资料 信息 在 以后 的各 章 本章 回顾 中我们 还 会见到 结构图 并且将在本 套教材 的选修 1 2 框 图 中较 系统 地 学 习 结 构 图 我 们 要 注 意培 养 用 结 构图总结整理所学知识并结合绘制 的结 构图与他人 进行交流的习惯 体悟结构图表达系统结构 的简洁与 直观 选取某一小节内容 你能尝试用 结 构图 来进 行 总结 梳理 吗 作为教师也有必要优先对 结构 图 的有关 内容 进行学习 增强应用结 构图解决 问题 的 自觉性 学会 读图和画图 通过利用结构图可以帮助我们理解新教 材的编写体例 提升对新教材的阅读理解水平 案 例 教 材 工总体 设计 的思 想 和原则 教材 I的整体设计主要从基础性 兴趣性 层次 性 三个方 面考 虑 设计 为一 个核 心 多 个层 次 多种选 择 以基本教学要求为核心 通过这个载体 学生可以 获得全方位的发展 学生学好核心 内容后 根据需要 有多种选择 每个人都能获得必备的数学素养与最佳 发展 具 体设 计如 下 图 2 回囵 I 壁 量l I 童 皇 l 图 2 3 让 本章回顾 与概念图链接 看到 本章回顾 中的 结构图 不禁使我们联想 到 概念 图 由节点 连线 连 接词 三 部分 构 成 的概 念 图是用来组织与表征知识的工具 是表示概念和概念 间相互关系的空间网络知识结构图 它最早 由美 国康 奈尔大学的 J o s e p h D n o v a k教授等人于 2 O世纪 6 O 年代提出 但这一 概念的确定 却是 在 2 O世 纪 8 O年 代 概念图的灵活 有效和恰当运 用将对促进有意义 学 习 形成 良好 的认 知 结 构 增 强 主 动 思考 与反 思 的 意识等方面都有其现实意义 使用概念图更多 的是鼓 励学习者以数学式 图形 命题等作为节点来表征知 识 做 到 图形 符 号 抽象 知识 的相 互 诠 释 以及揭 示 知 识之间的联系 我 国现在对数学教育中概念图的专题 研究还处于介绍引进阶段 1 笔者主要是通过阅读期 刊和 网上学 习获 得对概 念 图的 了解 通过 学 习认 识 到 本章回顾 中的 结构 图 实质上是一幅未完成的章 节概念图 欠缺的是概念 图的连接词和实例 我们可 借用概念 图的相关理论 提升结构 图的应 用水平 譬 如 封闭性构图 教师给出随机排列的概念一学生 用这些全部或部分概念建构概念图 开放性构图 教师给出一个核心概念一学生联系相关 内容开放性 地建构概念图 基于此 在教学实践 中可借助 P P T变 结构图或概念 图的一次性呈现为节点或连接词 的多 次有序呈现 变被动构图为主动构图 这样将有利于 提高教学效果 促进师生主动思考与反思 值得注意的是构成概念图的节点也可 以是一些 反映某一主题的命题 以此形象化的方式表征学习者 对某一主题的理解 例如 我们可通过对典型课本题 高考模拟题 高考题的研究 体现教材的基础作用 说 明高考题来 自于教材而又高于教材 教材和资料的有 机结合是掌握知识 方法的关键 我们要在对例题 习 题的引申 推广 拓展中学方法学技巧 突出针对性和 层次性 下面提供 5道题并给出相应概念图 图 6 作 为例 证 例 1 教 材 I课 本题 已知 点 M x 与 两个 定 1 点 0 0 o A 3 O 的距离之 比为寺 那么点 M 的坐 厶 标应满足什么关系 画出满足条件的点 M 所形成 的 曲线 例 2 已知在平面上给定相异两点 A B 设 P点 1 3 A 在同一平面上且满足 一 求证 当 0且 1 J上J 时 P点的轨迹是 以定 比 I 内分和外分定线段的两个 分点的连线为直径的圆 这个 圆称为阿波罗尼斯 圆 简称 阿氏圆 例 3 2 0 0 8年高考数学江苏卷理科第 1 3题 如 图 3 若在 ABC中 AB一2 AC一 2 BC 贝 AB C 面 积的最 大值 是 简析 本题 解法 比较 多 但 利用阿波罗尼 斯 圆可以使 问题 得到简化 在 图 3中 以点 A 为 原点 AB所在的直线为 z轴 过 点 A作直线 AB 的垂线为 Y轴 建立平面直角坐标系 则点 C的 C 0 B D 图 3 轨迹是以点 D 4 0 为圆心 以 2 g 为半径的圆 除 去与 z轴的交点 所 以当点 C到 轴距离最 大时 S 舳 取最大值 2 厄 例4 如 图 4 四 棱 锥 P ABC D 中 AD上 平 面 P AB BC 上平面 P AB 底 面 AB C D 为 梯 形 AD一4 B C一 8 AB 一6 AP D C P B 满足上述条件 P 的 四棱 锥 的顶点 P 的轨迹 为 图 4 A 圆 B 不是 完整 的圆 C 抛物线 D 抛物线 的一部分 简析 空 间问题 转化 为平面问题 由直角三角形 中的边角关系得 2 P A PB 又 AB 6 由阿波罗尼 斯 圆定义知 点 P 的轨迹是 圆 但点 P不 能在底面 AB C D 上 所 以点 P的轨 迹 不是完 整 的圆 选择 B 例 5 若 P为正方形 ABC D 内一 点 线 段 P A PB P C 的 比为 1 2 3 求证 AP B一1 3 5 筒析 因为点 P必在 以内 外 分线段 AB成 1 2的两分点的连 线为直径的阿波罗尼斯圆上 又在 图5 以内 外分线段 A B成 2 3的两分点的连线为直径的 阿波罗尼斯圆上 所 以点 P的位置为两 圆在正方形 内 的交点 可唯一确定 基于此 尝试采用同一法来证 从图 6我们看到 囤 了复习课 中关于回归 l 杀 课本的若干思路 首先 I 攀 要注意在 复 习的各 个医 团 葛 匡 环节 既要以课本为出 I 幂 发点 又要不断丰富课 I 霉 本的内涵 揭示课本 内l t4 1 涵与高考 命题 之 间的 图6 联系 即要弄懂课本提供的知识 和方法 通过揭示例 题 习题之间的联系及其变换 尽可能把问题化归为 课本中的例题和习题 以此简缩思维 提高解题效益 其次 无论是对某个板块构建知识网络 还是从整体 角度 数学思想或方法角度构建知识网络 此时 我们 就不再重视知识结构的先后次序 我们都要主动地 将有关知识进行必要的拆分 加工 重组 找 出某个或 某些 知识 点会 在哪 些系列 题 目中 出现 哪种 方法 可 以 解决哪一类题 目 分析时 力求 由原来的知识点 渐渐 向探寻思路 方法转变 目的明确地对外来的和内在的 信息进行提取与转化 加工与传输 为了实现这样的过 程 必须掌握和运用好信息的提取 转化 加工与传输 的原理及方法 概念 图或结 构图教学是 一种有效 尝试 4 为 本章回顾 主动补 自 由于 本章 回顾 的叙述严谨 用语简练 以及结 构图反映的知识容量的局 限性 往 往使初学者对 本 章 回顾 理 解起来 有 一定 困难 例 如 图 1中对 用 函数 观点 认识 数列 缺乏 反映 只在 本 章 回顾 简 短 的文 字 描述中有所提及 如何在新教材新课教学中弥补这样 的不足呢 又如 在教材 I的必修模块 5的 不等式 一 章中突出的是数形结合的思想 在此章的本章回顾 中 几何意义 一词多次出现 那么与不等式相关 的数 学对象的几何意义有哪些呢 另外 由厚到薄 的轻 灵之感 应 该 来 自于 对 每 章 中 每 小 节 内容 的 熟 练 把 握 节 为教学的基本单元 每节有 自己的小系统 每 节 开头在 章 的背 景 下 给 出分 支 背景 围绕 章 的 问题 这些问题就是本节的起点 核心内容的出发点 在此 认识的基础上 我们需要在每一小节的回顾总结中制 作好每一小节或重点节的结构图或概念 图 才能实现 由 小图 到 大图 由低维图 知识简单罗列 缺乏反 映知识间联系 到高维图 关注不同知识之间 不同章 节之间的联系 的转化 这些都需要我们在课堂运行中 为 本章 回顾 主动 补 白 补 白的行文方 式可 以多样 化 笔者这里推荐的主要是用结构图或概念图补白 7 例如 我 们可 以通 过 图 7从 直线 的视 角认 识 等差 数列 并把直线 与等差数列 的内在联系提炼 出来 使 新旧知识在建构过程中达到浑然一体 以弥补图 1中 的一些不 足 再如 我们 通 过 小 图 图 8反映 三个 二次 的相 互作用 从 中感受 到连结三个 二次 的纽带是坐标思 想 三个 二次 关 系的实质是数形结合思想 再 以 几 何 意 义 为 主 题 概 念 将 一 元 二 次 方 程 的 几 何 意 义 二次函数 的零 点 一元二次 不等式 的几 何意 义 二次函数图象上的点在 z轴上方或下方 时的 的取值范围 二元一次不等式的几何意义 平 面 区域 二元一次不等式组的几何意义 平面区域的 公 共 部分 二元 目标 函数 的几 何 意义 截 距 距 离 斜率等 及重要不等式 的几何 意义 半 弦不大于半径等相关知识引入概念 图 共 同构成不等 式章节中几何意义主题概念 图 我们还可 以通过对不 等式章节中的重要不等式 的条件 结论的 强化与弱化绘制结构图 增强应用相关不等式的 自觉 性 关注不等式应用 的条件 所有这些将有助于完成 对