学会解题系列讲座07＿几种计算技巧.doc

学会解题系列讲座几种计算技巧 准确是数值计算的基本要求，迅速是数值计算的较高追求。一些数值计算题，常因数字大、项数多、次数高而使问题表面复杂，通常都是计算与推理两兼的技巧题。进行复杂数值计算的常用技巧是：巧用运算律；凑整组合；裂项相消；反序相加；错项相减；分解相约等。裂项相消1. 模型计算：观察：下列等式：， ，将以上三等式两边相加得：1.猜想：写出：_；应用：直接写出下列各式的计算结果：_；_；拓展：试在1，2，3，100这一百个自然数中，挑选10个数，使这10个数的倒数和等于1.（提示：利用的结论）。变式：lll提炼：原式2. 应用llll3. 创新观察下列各式：计算：3(12+23+34+101102)=（）A101102103 B100101102 C99100101 D9899100lln注：解：原式=反序相加1. 模型计算：1+2+3+4+100设s= 1+ 2+ 3 +4+100则s=100+99+98+96+ 1 两边相加得： 2s=101+101+101+101+101 2s=101100 s=1011002=5050变式：l 12+15+18+21+24+27+30+33+36l 1+2+3+4+提炼： 其几何解释：对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头加），问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对n的奇偶性进行讨论我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观现利用图形的性质来求1234n 的值，方案如下：如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，n个小圆圈排列组成的而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1234n的值为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形此时，组成平行四边形的小圆圈共有n行，每行有（n1）个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为n（n1）个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为，即1234n（1）仿照上述数形结合的思想方法，设计相关图形，求1357（2n1）的值，其中 n 是正整数（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）（2）试设计另外一种图形，求1357（2n1）的值，其中n是正整数（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）2. 应用ll 15+17+19+2013lll +l l解：设S= 则有S=2S1234592S5958571 4S60606060（59个60）6059S885+222错项相减1. 模型计算：1+2+22+23+24+22013（2013张家界）阅读材料：求1+2+22+23+24+22013的值解：设S=1+2+22+23+24+22012+22013，将等式两边同时乘以2得： 2S=2+22+23+24+25+22012+22013+22014 将下式减去上式得2SS=220141 即S=220141 即1+2+22+23+24+22013=220141请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+210（2）1+3+32+33+34+3n（其中n为正整数）变式：l提炼： 除了用上述方法，还可用以下数形结合的方法来解。几何解释：构造面积为1的三角形或正方形，利用图形间的面积关系可得结果为。2. 应用lll注：根据题目特点，灵活选择计算方法。如12345678200920102011201220132014已知，。则_.分解相约计算：1.2.3.4. 提示：5.6. 其他u 取倒数：1. 阅读下列材料：计算：解法一：原式；解法二：原式；解法三：10故原式.上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法_是错误的，在正确的解法中，你认为解法_最简捷。计算：。2. 解方程组： 3. 已知，则_。4. 已知、为实数，且，那么的值是_.u 平方5. 化简：的结果是（）A. 1 B. C. 2 D. u 用定义6. 如果是方程的一个根，那么代数式的值是（）A6B8C6 D87. 如果是一元二次方程的两个根，那么的值是_.8. 若，则方程必有一解是_.9. 若是方程的一个根，则的值等于_.10. 已知方程的两个根的和为，两根的平方和为，求的值。11. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程. 已知 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A B C D u 配方12. 阅读：；。应用：请你利用上述方法化简：；对于的化简，若存在两个数、满足，请你利用上述