线性代数复习提纲.doc

1什么叫排列的逆序数？什么叫奇排列？什么叫偶排列？2行列式的定义3行列式的性质4行列式按行（列）展开5计算行列式的思想6克拉默法则7对矩阵定义了哪些运算、每种运算都有哪些运算法则？8什么叫矩阵可逆？可逆矩阵有哪些运算性质？你有哪些方法判别一个矩阵是否可逆？如何求逆矩阵？9什么叫初等行变换、什么叫初等列变换？什么叫初等矩阵？如何用初等矩阵表示初等变换？10什么叫矩阵的K阶子式？什么叫矩阵的秩？矩阵的秩有哪些性质？你有哪些方法可以计算矩阵的秩？为什么可以用初等行变换把矩阵化成行阶梯形来计算矩阵的秩？11你有哪些方法可以判别一个齐次线性方程组是否有非零解？12你有哪些方法可以判别一个非齐次线性方程组是否有解？有唯一解、有无穷多解？13什么叫向量组的线性组合？14什么叫向量能由向量组线性表示？你有哪些方法判别向量能否由向量组线性表示？15什么叫两个向量组等价？你有哪些方法判别两个向量组是否等价？16什么叫向量组线性相关？你有哪些方法判别向量组是否线性相关？17什么叫向量组线性无关？你有哪些方法判别向量组是否线性无关？18什么叫向量组的极大无关组？你有哪些方法判别一个向量组的线性无关部分组是否为该向量组的极大无关组？19什么叫向量组的秩？如何求一个向量组的秩？如何求向量组的一个极大无关组？如何把不在极大无关组中的向量用极大无关组线性表示？20齐次线性方程组的解有哪些性质？21什么叫齐次线性方程组的基础解系？齐次线性方程组的基础解系包含的向量个数与系数矩阵的秩有什么关系？如何求出齐次线性方程组的基础解系及通解？22非齐次线性方程组的解有哪些性质？23非齐次线性方程组的解与其对应的齐次线性方程组的解有什么关系？24什么叫向量的内积？向量的内积有哪些运算性质？25什么叫正交向量组？如何把一组线性无关的向量组化为正交向量组？26什么叫正交矩阵？正交矩阵有哪些性质？27什么叫矩阵的特征值？什么叫矩阵的特征向量？矩阵的特征值与特征向量有哪些性质？28如何求矩阵的特征值及特征向量？29什么叫两个矩阵相似？相似矩阵有哪些性质？30矩阵与对角矩阵相似的条件是什么（或者说，什么样的矩阵能相似对角化）？如何将一个矩阵相似对角化？31实对称矩阵有什么重要的性质？如何将一个实对称矩阵对角化？32什么叫二次型？二次型的矩阵有什么特点？什么叫二次型的秩？33什么叫二次型的标准形？如何将一个二次型化为标准形（有哪几种方法）？34什么叫矩阵合同？35什么叫二次型的规范形？什么叫正惯性指数？什么叫负惯性指数？36什么叫正定二次型？什么叫正定矩阵？如何判别一个矩阵是否为正定矩阵？着重申明：以下题目仅供复习自测参考，绝无任何暗示意义判断正误：1逆序数为奇数的排列称为奇排列。（ ）2逆序数为偶数的排列称为偶排列。（ ）3奇数个数码的排列称为奇排列。（ ）4偶数个数码的排列称为偶排列。（ ）5任何阶数的行列式都可以用对角线法则计算其值。（ ）6任一个行列式都与其转置行列式相等。（ ）7对换行列式的两行，行列式的值不变。（ ）8对换行列式的两行，行列式的值变号。（ ）9对换行列式的两列，行列式的值不变。（ ）10对换行列式的两列，行列式的值变号。（ ）11如果行列式的某一行的每个元素都有不为零的公因子，则可以提到行列式外面。（ ）12设是行列式，是不为零的实数，则等于用去乘以行列式的某一行得到的行列式。（ ）13设是行列式，是不为零的实数，则等于用去乘以行列式的某一列得到的行列式。（ ）14如果行列式有两行元素对应相等，则。（ ）15如果行列式有两列元素对应相等，则。（ ）16如果行列式有两列元素对应成比例，则。（ ）17如果行列式有两行元素对应成比例，则。（ ）18如果行列式的某一行元素全部为零，则。（ ）19行列式等于它的任何一行的各元素与其代数余子式的乘积之和。（ ）20行列式等于它的任何一列的各元素与其代数余子式的乘积之和。（ ）21行列式的任何一行的各元素与另一行的对应元素的代数余子式的乘积之和为零。（ ）22行列式的任何一列的各元素与另一列的对应元素的代数余子式的乘积之和为零。（ ）23行列式的某一行加上另外一行的倍，行列式的值不变。（ ）24行列式的某一列加上另外一列的倍，行列式的值不变。（ ）25克拉默法则能求出任何一个线性方程组的解。（ ）26两个矩阵A与B的加法运算要求A与B必须是同型矩阵。（ ）27若A、B、C是三个同型矩阵，则。（ ）28数乘以矩阵A，是指用数乘以矩阵A的每一个元素。（ ）29数乘以矩阵A，是指用数乘以矩阵A的某一行的每个元素。（ ）30数乘以矩阵A，是指用数乘以矩阵A的某一列的每个元素。（ ）31当矩阵A的行数等于矩阵B的列数的时候，可以进行A左乘B的运算。（ ）32当矩阵A的列数等于矩阵B的行数的时候，可以进行A左乘B的运算。（ ）33如果矩阵A与矩阵B的乘积，则一定有或。（ ）34矩阵与矩阵的乘法运算满足交换律。（ ）35矩阵与矩阵的乘法运算不满足交换律。（ ）36如果矩阵A的转置矩阵与A相等，则A是对称矩阵。（ ）37如果矩阵A的转置矩阵等于，则A是反对称矩阵。（ ）38对称矩阵或反对称矩阵一定是方阵。（ ）39反对称矩阵主对角线的元素都为零。（ ）40设E是与方阵A同阶的单位矩阵，则。（ ）41因为矩阵的乘法不满足交换律，所以对于两个同阶方阵A与B，的行列式与的行列式也不相等。（ ）42对于任意两个同阶方阵A与B，总有。（ ）43是阶方阵A的行列式，是一个实数，则。（ ）44是阶方阵A的行列式，是一个实数，则。（ ）45是阶方阵A的行列式，则。（ ）46设E是与方阵A与B同阶的单位矩阵，如果，则A均可逆，且A与B互为逆矩阵。（ ）47同阶可逆矩阵A与B的乘积也可逆，且。（ ）48同阶可逆矩阵A与B的乘积也可逆，且。（ ）49若A可逆，则A的转置矩阵也可逆，并且。（ ）50若A可逆，则。（ ）51方阵A可逆的充分必要条件是A的行列式。（ ）52方阵A可逆的充分必要条件是A为非奇异矩阵。（ ）53方阵A可逆的充分必要条件是A可以表示为若干个初等矩阵的乘积。（ ）54方阵A可逆的充分必要条件是A与同阶的单位矩阵等价。（ ）55方阵A可逆的充分必要条件是A为满秩矩阵。（ ）56方阵A可逆的充分必要条件是齐次线性方程组只有零解。（ ）57方阵A可逆的充分必要条件是非齐次线性方程组有唯一的解。（ ）58方阵A可逆的充分必要条件A的列向量组线性无关。（ ）59方阵A可逆的充分必要条件A的行向量组线性无关。（ ）60方阵A可逆的充分必要条件A的特征值都不为零。（ ）61矩阵的初等行变换不改变矩阵的秩。（ ）62矩阵的初等列变换不改变矩阵的秩。（ ）63矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。（ ）64等价的矩阵有相等的秩。（ ）65一个矩阵A经过初等变换后变成了矩阵B，则A与B等价。（ ）66对于矩阵A，B，C，若A与B等价，B与C等价，则A与C等价。（ ）67若两个矩阵等价，则它们的列向量组也等价。（ ）68若两个矩阵等价，则它们的行向量组也等价。（ ）69对于矩阵，。（ ）70对于矩阵，。（ ）71矩阵的秩是指矩阵的最高阶非零子式的阶数。（ ）72一个行阶梯形矩阵A的秩等于其非零行的行数。（ ）73元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是。（ ）74元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是矩阵的列向量组线性相关。（ ）75元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是矩阵的行向量组线性相关。（ ）76元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是。（ ）77元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是矩阵的列向量组中至少有一个向量组由其余的向量线性表示。（ ）78元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是矩阵的行向量组中至少有一个向量组由其余的向量线性表示。（ ）79如果一个齐次线性方程组的方程个数少于未知量的个数，则该方程组有非零解。（ ）80元非齐次线性方程组有解的充分必要条件是。（ ）81元非齐次线性方程组有解的充分必要条件是向量能由矩阵的列向量组线性表示。（ ）82元非齐次线性方程组有解的充分必要条件是向量能由矩阵的行向量组线性表示。（ ）83元非齐次线性方程组有解的充分必要条件是矩阵的列向量组线性无关。（ ）84设，则元非齐次线性方程组有解的充分必要条件是向量组与向量组等价。（ ）85设，则元非齐次线性方程组有解的充分必要条件是。（ ）86元非齐次线性方程组有唯一解的充分必要条件是。（ ）87元非齐次线性方程组有唯一解的充分必要条件是向量能由矩阵的列向量组线性表示，且表示式唯一。（ ）88元非齐次线性方程组有唯一解的充分必要条件是矩阵的列向量线性无关，且向量能由矩阵的列向量组线性表示。（ ）89如果存在一组数，使得，则称向量组线性相关。（ ）90如果存在一组不全为零的数，使得，则称向量组线性相关。（ ）91向量组线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组有非零解。（ ）92向量组线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组有解。（ ）93向量组线性相关的充分必要条件是该向量组中至少有一个向量能由其余个向量线性表示。（ ）94向量组线性相关的充分必要条件是能由其余线性表示。（ ）95向量组线性相关的充分必要条件是。（ ）96若向量组有一个部分组线性相关，则该向量组线性相关。（ ）97向量组线性相关的充分必要条件是矩阵的秩小于。（ ）98若存在一组数，使得，则称向量组线性无关。（ ）99若只有当时才成立，则称向量组线性无关。（ ）100向量组线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组只有零解。（ ）101向量组线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组无解。（ ）102向量组线性无关的充分必要条件是该向量组中任何向量均不能由其余的向量线性表示。（ ）103向量组线性无关的充分必要条件是。（ ）104若向量组线性无关，则它的任何一个部分组也线性无关。（ ）105向量组线性无关的充分必要条件是矩阵的秩等于。（ ）106向量组的极大线性无关组可能不止一个，但极大无关组中所包含的向量个数是唯一的。（ ）107若是向量组A的一个线性无关的部分组，并且向量组A中任何一个向量都可以该部分组线性表示，则是向量组A的一个极大线性无关组。（ ）108若是向量组A的一个线性无关的部分组，并且向量组A中任何一个向量都可以该部分组线性表示，则向量组A的秩为。（ ）109等价的向量组有相等的秩。（ ）110若向量组A与B的秩相等，则向量组A与B等价。（ ）111矩阵A的秩等于其列向量组的秩。（ ）112矩阵A的秩等于其行向量组的秩。（ ）113矩阵A的列向量组的秩等于其行向量组的秩。（ ）114矩阵的初等行变换不改变其列向量组的线性相关性。（ ）115矩阵的初等列变性不改变其行向量组的线性相关性。（ ）116矩阵的特征向量可以是零向量。（ ）117对于方阵A，它的特征值就是使齐次线性方程组有非零解的数。（ ）118满足方程的数都是方阵A的特征值。（ ）119方阵A与它的转置矩阵有相同的特征值。（ ）120设是阶方阵的个特征值，则有。（ ）121设是阶方阵的个特征值，则有。（ ）122矩阵A的属于不相等的特征值的特征向量线性无关。（ ）123矩阵A的属于不相等的特征值的特征向量线性相关。（ ）124若方阵A与B相似，则。（ ）125若方阵A与B相似，则。（ ）126若两个可逆矩阵A与B相似，则它们的逆矩阵也相似。（ ）127若矩阵A可逆，矩阵B与矩阵A相似，则矩阵B也可逆，并且A的逆与B的逆也相似。（ ）128若阶矩阵A与B相似，则A与B有相同的特征值。（ ）129对角矩阵的特征值就是主对角线上的元素。（ ）130阶矩阵A可对角化的充分必要条件是A有个线性无关的特征向量。（ ）131若阶矩阵A有个互不相同的特征值，则A可对角化。（ ）132正交矩阵的行列式等于1或。（ ）133实对称矩阵的特征值都是实数。（ ）134实对称辞职的特征值不一定都是实数。（ ）135实对称矩阵一定可以对角化。（ ）136函数是一个二次型。（ ）137若二次型，则矩阵是对称矩阵。（ ）138若二次型，则二次型的秩等于其的矩阵的秩。（ ）139任何一个实二次型都可经过正交变换化为标准形。（ ）140任何一个二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形。（ ）141设，为阶矩阵，如果存在可逆矩阵，使得，则称与合同。（ ）142一个二次型的标准形一定是唯一的.（ ）143二次型的惯性指数等于其标准形中非零项的项数。（ ）144二次型的标准形中的正项个数称为的正惯性指数。（ ）145二次型的标准形中的负项个数称为的负惯性指数。（ ）146一个二次型的标准形是不唯一的，但同一个二次型的不同的标准形中包含的正项个数是相同的。（ ）147设有实二次型，若对任意的，都有，则称为正定二次型。（ ）148元实二次型为正定二次型的充要条件是它的标准形中个系数全为正数。（ ）149二次型是正定二次型。（ ）150实对称矩阵为正定矩阵的充要条件是的特征值全为正。（ ）151实对称矩阵为正定矩阵的充要条件是的各阶顺序主子式全大于0。（ ）152正定矩阵是可逆的，且。（ ）单项选择题1下列排列中，逆序数最大的排列是（ ）。（A）54321 （B）12354 （C）23145 （D）453212下列排列中，逆序数最小的排列是（ ）。（A）54321 （B）12354 （C）23145 （D）453213把排列12345称为标准排列，则把排列54123调成标准排列需要进行的对换次数是（ ）。（A）奇数次 （B）偶数次 （C）2次 （D）5次4设分别是行列式的第一行各元素对应的代数余子式，则（ ）。（A）43 （B）0 （C） （D）185设分别是行列式的第二行各元素对应的代数余子式，则（ ）。（A）33 （B）0 （C）45 （D）76设分别是行列式的第二行各元素对应的代数余子式，则（ ）。（A）31 （B）25 （C）0 （D）787对于线性方程组，下列结论正确的是（ ）。（A）可用克拉默法则求解 （B）不能用克拉默法则求解（C）有无穷多个解 （D）是它的解。8对于线性方程组，下列结论正确的是（ ）。（A）可用克拉默法则求解 （B）不能用克拉默法则求解（C）有无穷多个解 （D）是它的解。9对于线性方程组，下列结论正确的是（ ）。（A）可用克拉默法则求解 （B）不能用克拉默法则求解（C）有无穷多个解 （D）是它的解。10关于矩阵的加法，下列说法正确的是（ ）。（A）任何两个矩阵都可以相加 （B）只有同型的矩阵才能进行加法运算（C）矩阵的加法不满足交换律 （C）矩阵的加法不满足结合律11关于矩阵与矩阵乘法运算，下列说法正确的是（ ）。（A）只有同阶方阵才能进行法乘法运算（B）只有当矩阵A的行数等于矩阵B的列数时，才能进行的运算（C）只有当矩阵A的列数等于矩阵B的行数时，才能进行的运算（D）对于任何两个同阶方阵A与B，都有12设，则下列运算能正常进行的是（ ）。（A） （B） （C） （D）13关于矩阵的乘法运算，下列结论错误的是（ ）。 （A），其中是数 （B）（C） （D）14关于矩阵的转置，下列结论错误的是（ ）。（A） （B），其中是常数（C） （D）15设与是阶方阵，关于与的行列式，下列结论错误的是（ ）。（A） （B），其中是数（C） （D）16关于矩阵，下列说法正确的是（ ）。（A）任意两个零矩阵都是相等的（B）反对称矩阵的主对角线上的元素可以不是零（C）一个数与任意一个对角矩阵的乘积得到的矩阵叫做数量矩阵（D）对角矩阵是对称矩阵17关于可逆矩阵，下列结论错误的是（ ）。（A）若可逆，则其逆矩阵也可逆，且（B）若与都是阶可逆矩阵，则乘积也可逆，且（C）若可逆，则其转置也可逆，且（D）若A可逆，则18关于矩阵的秩，下列结论错误的是（ ）。（A）矩阵的秩不超过其行数，也不超过其列数（B）矩阵的秩与其转置矩阵的秩相待等（C）等价的矩阵有相等的秩（D）初等变换要改变矩阵的秩。19矩阵的秩等于（ ）。（A）1 （B）2 （C）3 （D）420矩阵的秩等于（ ）。（A）2 （B）3 （C）4 （D）521一个矩阵A经过初等变换后化为矩阵B，下列说法错误的是（ ）。（A）A与B等价 （B）A与B有相等的秩（C）A的列向量组与B的列向量组等价 （D）A与B相等22关于向量组，下列说法正确的是（ ）。（A）若向量组线性相关，则一定能由线性表示（B）向量组中的任何一个向量都可以由向量组线性表示（C）向量组的秩与矩阵的秩不一定相等（D）若向量组线性相关，则该向量组的任何一个部分组都是线性相关的23关于向量组，有下列个命题：（1）齐次线性方程组只有零解（2）向量组中的任何向量均不能由其余的向量线性表示（3） 则（ ）（A）命题（1）与命题（2）等价 （B）命题（1）与命题（3）等价（C）命题（2）与命题（3）等价 （D）上述三个命题等价24关于向量组，有下列个命题：（1）齐次线