人教A版选修21 空间向量的正交分解及其坐标表示 课件（34张）.pptx

高中数学人教a版选修2 1第三章 四川省成都市新都一中肖宏 no 1middleschool mylove 长方体abcd a1b1c1d1中 若 3i 2j 5k 思考 能否把空间中其他的向量用i j k表示出来 no 1middleschool mylove 第3课时空间向量的正交分解及其坐标表示 预学1 1 在上述情境中任意画一个向量 然后把起点移到点a处 由平行四边形加法法则可知空间中任一向量都能用i j k表示 如 3i 2j 5k 3i 2j 5k no 1middleschool mylove 第3课时空间向量的正交分解及其坐标表示 2 空间向量基本定理 如果三个向量a b c不共面 那么对于空间中任一向量p 存在唯一的有序实数组 x y z 使p xa yb zc 其中 我们把 a b c 叫作空间的一个基底 a b c叫作基向量 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 议一议 如何从 任意性 唯一性 两个方面理解空间向量基本定理 no 1middleschool mylove 第3课时空间向量的正交分解及其坐标表示 解析 1 任意性 用空间任意三个不共面的向量可以线性表示出空间中任意一个向量 2 唯一性 空间向量基本定理中有序实数组 x y z 是唯一的 设还有实数x y z 使p x a y b z c 因为p xa yb zc 则x a y b z c xa yb zc 所以有 x x a y y b z z c 0 若x x 则a b c 所以a b c共面 与a b c不共面相矛盾 故x x 同理可证y y z z 故空间向量基本定理中有序实数组 x y z 是唯一的 no 1middleschool mylove 第3课时空间向量的正交分解及其坐标表示 预学2 空间向量的坐标表示 1 正交基底与单位正交基底 如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直 那么这个基底叫作正交基底 特别地 设e1 e2 e3为有公共起点o的三个两两互相垂直的单位向量 则称这个基底为单位正交基底 2 空间向量的坐标表示 以单位正交基底的三个基向量e1 e2 e3的公共起点o为原点 分别以e1 e2 e3的方向为x轴 y轴 z轴的正方向建立空间直角坐标系oxyz 对空间任一点a 存在唯一的有序实数组 x y z 使 xe1 ye2 ze3 把x y z叫作向量 在空间直角坐标系oxyz中的坐标 记作 x y z x叫横坐标 y叫纵坐标 z叫竖坐标 no 1middleschool mylove 第3课时空间向量的正交分解及其坐标表示 议一议 与平面向量的坐标对比 空间向量的坐标有什么新特点 解析 记法 空间直角坐标系oxyz 坐标面 经过任意两个轴的平面为坐标面 它们分别为xoy面 xoz面和yoz面 坐标向量 e1 e2 e3 画法 一般使用 xoy 45 或135 yoz 90 点的坐标 p xe1 ye2 ze3 则p x y z x y z分别叫横坐标 纵坐标 竖坐标 no 1middleschool mylove 第3课时空间向量的正交分解及其坐标表示 预学3 空间向量的四则运算 平行 垂直的坐标表示设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 则a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 a a1 a2 a3 r a b a1b1 a2b2 a3b3 a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 r a b a b 0 a1b1 a2b2 a3b3 0 no 1middleschool mylove 第3课时空间向量的正交分解及其坐标表示 议一议 空间向量的平行与垂直和平面向量的平行与垂直的坐标表达式相同吗 解析 类比平面向量平行 垂直 空间两个向量平行 垂直与平面两个向量平行 垂直的表达式不一样 但实质是一致的 no 1middleschool mylove 第3课时空间向量的正交分解及其坐标表示 预学4 空间向量的模长 夹角计算 1 若a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 则 a b cos no 1middleschool mylove 第3课时空间向量的正交分解及其坐标表示 2 在空间直角坐标系中 已知点a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 则 x2 x1 y2 y1 z2 z1 想一想 与向量 3 4 5 共线的单位向量是 no 1middleschool mylove 第3课时空间向量的正交分解及其坐标表示 解析 因为与向量a共线的单位向量是 又向量 3 4 5 的模为 5 所以与向量 3 4 5 共线的单位向量是 3 4 5 3 4 5 答案 3 4 5 no 1middleschool mylove 第3课时空间向量的正交分解及其坐标表示 1 空间向量基本定理例1 在空间四边形abcd中 ac和bd为对角线 g为 abc的重心 e是bd上一点 be 3ed 以 为基底 则 方法指导 g为 abc的重心 即为三角形三条中线的交点 若f为ac的中点 则转化为 然后利用向量的加法表示出三角形的中线 no 1middleschool mylove 第3课时空间向量的正交分解及其坐标表示 解析 设ac的中点为f 则 2 答案 no 1middleschool mylove 第3课时空间向量的正交分解及其坐标表示 变式训练1 已知pa 平面abcd 四边形abcd是正方形 g为 pdc的重心 设 i j k 试用基底 i j k 表示向量 解析 如图所示 g是 pdc的重心 连接pg并延长交dc于n 则n是dc的中点 pg pn no 1middleschool mylove 第3课时空间向量的正交分解及其坐标表示 i j k i k i j k i j k k i j k i j k no 1middleschool mylove 第3课时空间向量的正交分解及其坐标表示 2 利用坐标运算解答空间向量的平行与垂直问题例2 已知空间中三点a 2 0 2 b 1 1 2 c 3 0 4 设a b 1 若 c 3 且c 求向量c 2 若ka b与ka 2b互相垂直 求实数k的值 3 若 a b a b 与z轴垂直 求 所满足的关系式 方法指导 把向量的平行和垂直关系用坐标表示出来 建立对应的方程求解即可 no 1middleschool mylove 第3课时空间向量的正交分解及其坐标表示 解析 1 c c m m 2 1 2 2m m 2m c 3 m 3 m 1 c 2 1 2 或 2 1 2 2 ka b k 1 k 2 ka 2b k 2 k 4 no 1middleschool mylove 第3课时空间向量的正交分解及其坐标表示 k 1 k 2 k 2 k 4 k 1 k 2 k2 8 0 k 2或k 当ka b与ka 2b互相垂直时 实数k的值为2或 3 a b 0 1 2 a b 2 1 2 a b a b 2 2 2 a b a b 与z轴垂直 2 2 2 0 0 1 2 2 0 当 满足 0 即 时 可使 a b a b 与z轴垂直 no 1middleschool mylove 第3课时空间向量的正交分解及其坐标表示 变式训练2 已知向量a 2 2 0 b 2 0 2 求单位向量n 使n a 且n b 解析 设n x y z 由 得 n x x x x 1 1 1 x n为单位向量 x n 或 no 1middleschool mylove 第3课时空间向量的正交分解及其坐标表示 3 利用坐标运算解答空间向量所成角的问题例3 已知向量a 5 3 1 b 2 t 若a与b的夹角为钝角 求实数t的取值范围 方法指导 向量的夹角为钝角 则向量的数量积为负值 利用向量的坐标运算表示得到关于t的不等式 解出t的取值范围即可 no 1middleschool mylove 第3课时空间向量的正交分解及其坐标表示 解析 由已知a b 5 2 3t 1 3t 因为a与b的夹角为钝角 所以a b 0 即3t 0 所以t 若a与b的夹角为180 则存在 0 使a b 即 5 3 1 2 t no 1middleschool mylove 第3课时空间向量的正交分解及其坐标表示 所以 解得t 故实数t的取值范围是 no 1middleschool mylove 第3课时空间向量的正交分解及其坐标表示 变式训练3 已知a 5 3 1 b 2 t 若a与b的夹角为锐角 求实数t的取值范围 解析 由已知得a b 5 2 3t 3t 因为a与b的夹角为锐角 所以a b 0 即3t 0 所以t no 1middleschool mylove 第3课时空间向量的正交分解及其坐标表示 若a与b的夹角为0 则存在 0 使a b 0 即 5 3 1 2 t 所以 解得t 故实数t的取值范围是 no 1middleschool mylove 第3课时空间向量的正交分解及其坐标表示 1 求一个向量由其他向量来表示的时候 通常是利用向量的三角形法则 平行四边形法则和共线向量的特点 把要求的向量逐步分解 向已知向量靠近 进行求解 若要证明两直线平行 只需判定两直线所在的向量满足线性a b关系 即可判定两直线平行 证明e f g h四点共面 只需证明 即可 即证 三个向量共面 这也是证明直线与平面平行的方法 no 1middleschool mylove 第3课时空间向量的正交分解及其坐标表示 2 空间向量的平行与垂直问题主要有两种题型 平行与垂直的判断 利用平行与垂直求参数或其他问题 即平行与垂直的应用 解题时要注意 适当引入参数 比如向量a b平行 可设a b 建立关于参数的方程 最好选择坐标形式 以达到简化运算的目的 no 1middleschool mylove 第3课时空间向量的正交分解及其坐标表示 3 a b的夹角是钝角与a b 180 的情形 180 的情形可利用a b 1求得 同样当已知a与b的夹角为锐角 要求参数取值范围时 a b 0也包含着 0 的情形 解题时应把这种情况剔除 no 1middleschool mylove 第3课时空间向量的正交分解及其坐标表示 2015年浙江卷 已知e1 e2是空间单位向量 e1 e2 若空间向量b满足b e1 2 b e2 且对于任意x y r b xe1 ye2 b x0e1 y0e2 1 x0 y0 r 则x0 y0 b no 1middleschool mylove 第3课时空间向量的正交分解及其坐标表示 解析 对于任意x y r b xe1 ye2 b x0e1 y0e2 1 x0 y0 r 说明当x x0 y y0时 b xe1 ye2 取得最小值1 b xe1 ye2 2 b 2 2b xe1 ye2 b 2 x2 y2 xy 4x 5y 要使 b 2 x2 y2 xy 4x 5y取得最小值 需把x2 y2 xy 4x 5y看成关于x的二次函数 no 1middleschool mylove 第3课时空间向量的正交分解及其坐标表示 即f x x2 y 4 x y2 5y 其图象是开口向上的抛物线 对称轴方程为x 2 所以当x 2 时 f x 取得最小值 代入化简得f x y 2 2 7