人教A版选修21 第2课时 空间向量与垂直关系 课件（42张）.ppt

第2课时空间向量与垂直关系 在上一节中 我们研究了空间中直线与直线 直线与平面以及平面与平面的平行关系与直线的方向向量和平面的法向量的关系 那么 直线的方向向量和平面的法向量与空间中直线与直线 直线与平面 平面与平面的垂直关系间又有什么联系呢 换句话说 直线上的非零向量叫做直线的方向向量 l 平面 的向量式方程 换句话说 与平面垂直的非零向量叫做平面的法向量 2 平面的法向量 1 求直线的方向向量和平面的法向量 重点 2 利用方向向量和法向量处理线线 线面 面面间的垂直问题 重点 难点 探究点1垂直关系 l m l a b c b 即时训练 如何求平面的法向量 即时训练 解得 例1 如图 pa 平面abcd 四边形abcd为正方形 点e是cd的中点 点f是ad上一点 当bf pe时 af fd的值为 a 1 2b 1 1c 3 1d 2 1 解题关键 关键是建立恰当的坐标系求出点f的坐标 b 变式练习 例2 如图所示 正三棱柱abc a1b1c1的所有棱长都为2 d为cc1的中点 求证 ab1 平面a1bd 解题关键 本例中 如何建立空间直角坐标系 证明ab1 平面a1bd有哪几种方法 提示 取bc的中点o作为坐标原点 为z轴正方向 为x轴正方向建立空间直角坐标系 方法一 证明方法二 证明与平面a1bd的法向量平行 证明 如图所示 取bc的中点o 连接ao 因为 abc为正三角形 所以ao bc 因为在正三棱柱abc a1b1c1中 平面abc 平面bcc1b1 所以ao 平面bcc1b1 取b1c1的中点o1 以o为原点 以分别为x轴 y轴 z轴的正方向建立空间直角坐标系 则b 1 0 0 d 1 1 0 a1 0 2 a 0 0 b1 1 2 0 所以 方法一 因为 1 1 2 2 0 1 2 2 1 0 0 所以即ab1 ba1 ab1 bd 又因为ba1 bd b 所以ab1 平面a1bd 方法二 设平面a1bd的法向量为n x y z 则有令x 1 则y 2 z 故n 1 2 为平面a1bd的一个法向量 而 1 2 所以 n 所以 n 故ab1 平面a1bd 变式练习 b b 2 设分别是直线l1 l2的方向向量 根据下列条件 判断l1 l2的位置关系 平行 垂直 平行 3 设分别是平面 的法向量 根据下列条件 判断 的位置关系 垂直 平行 相交 4 如图所示 正方体的棱长为1 1 直线oa的一个方向向量坐标为 2 平面oabc的一个法向量坐标为 3 平面ab1c的一个法向量坐标为 1 1 1 0 0 1 1 0 0 平面c1bd的一个法向量是 设平面ebd的一个法向量是 空间中的垂直关系及其向量证明方法 1 线线垂直 证明两直线的方向向量垂直 先证明线面垂直 利用线面垂直的性质 2 线面垂直 证明直线的方向向量与平面的法向量平行 证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量垂直 先证明面面垂直 利用面面垂直的性质 3 面面垂直 证明两平面的法向量相互垂直 转化为线线垂直或线面垂直 提醒 根据题目条件 要灵活选择基向量法或坐标法 例2 求平面的法向量如图 四棱锥p abcd中 底面abcd为矩形 pa 平面abcd e为pd的中点 ab ap 1 ad 试建立恰当的空间直角坐标系 求平面ace的一个法向量 解题关键 本例中为建立恰当的空间直角坐标系要依据哪个条件确定z轴的位置 平面ace的法向量应满足什么条件 解析 因为pa 平面abcd 底面abcd为矩形 所以ab ad ap两两垂直 如图 以a为坐标原点 的方向为x轴的正方向 建立空间直角坐标系a xyz 则d 0 0 e 0 b 1 0 0 c 1 0 于是 1 0 设n x y z 为平面ace的法向量 令y 1 则x z 所以平面ace的一个法向量为n 1 方法技巧 1 利用待定系数法求平面法向量的步骤 1 设向量 设平面的法向量为n x y z 2 选向量 在平面内选取两不共线向量 3 列方程组 由列出方程组 4 解方程组 5 赋非零值 取其中一个为非零值 常取 1 6 得结论 得到平面的一个法向量 互动探究 1 改变问法 本例条件不变 试求直线pc的一个方向向量和平面pcd的一个法向量 解析 如图所示 建立空间直角坐标系 则p 0 0 1 c 1 0 所以 1 1 即直线pc的一个方向向量 设平面pcd的法向量为n x y z 因为d 0 3 0 所以 0 1 所以平面pcd的一个法向量为 0 1 2 变换条件 改变问法 若把本例的条件改为 平面pab 平面abcd pab是边长为1的正三角形 abcd是菱形 abc 60 e是pc的中点 f是ab的中点 试建立恰当的空间直角坐标系 求平面def的法向量 互动探究 解题指南 解答本题的关键是依据平面pab 平面abcd 寻找并证明平面abcd的垂线 建立恰当的空间直角坐标系 z x y 解析 因为pa pb f为ab的中点 所以pf ab 又因为平面pab 平面abcd 平面pab 平面abcd ab pf 平面pab 所以pf 平面abcd 因为ab bc abc 60 所以 abc是等边三角形 所以cf ab 以f为坐标原点 建立空间直角坐标系 如图所示 由题意得f 0 0 0 设平面def的法向量为m x y z 所以平面def的一个法向量为 2 2 2 求平面法向量的三个注意点 1 选向量 在选取平面内的向量时 要选取不共线