人教A版选修11：3.2.2导数的运算法则 课件（67张）.ppt

第2课时导数的运算法则 主题导数的运算法则1 试根据导数的定义 写出下列函数的导数 1 若f x x x2 则f x 2 若f x x x2 则f x 3 若f x x3 则f x 提示 1 f x 答案 1 2x 2 f x 1 2x x 1 2x 答案 1 2x 3 f x 3x x 3x2 x 2 3x2 答案 3x2 2 问题1中 若令f x x g x x2 则f x 的导数与f x g x 的导数各有什么关系 提示 因为f x 1 g x 2x 故 1 中f x f x g x 2 中f x f x g x 3 中f x f x g x f x g x 结论 1 f x g x 2 f x g x 3 4 cf x f x g x f x g x f x g x cf x 微思考 1 在导数运算法则中 函数f x g x 一定有导函数吗 提示 一定有导函数 否则法则不成立 2 根据两个函数和差的导数运算法则 试着推广到任意有限个可导函数的和差 提示 f1 x f2 x fn x f1 x f2 x fn x af x bg x af x bg x a b为常数 3 根据乘法的导数法则 试着推广 f x g x f x g x f x g x 到有限个函数的积的情形 提示 若y f1 x f2 x fn x 则有y f1 x f2 x fn x f1 x f2 x fn x f1 x f2 x fn x 预习自测 1 函数y x lnx的导数是 a xb c lnx 1d lnx x 解析 选c y x lnx x lnx lnx x lnx 1 2 已知函数f x ax2 c 且f 1 2 则a的值为 a 1b c 1d 0 解析 选a 因为f x ax2 c 所以f x 2ax 又因为f 1 2a 所以2a 2 所以a 1 3 曲线y x3 x在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 解析 选a 对函数y x3 x求导得y x2 1 将x 1代入得曲线y x3 x在点处的切线斜率为k 2 故切线方程是y 2 x 1 该切线与坐标轴的交点是故围成的三角形面积为 4 函数y 的导数是 解析 选a y 5 求函数y 2x2 3 3x 2 的导数y 解析 y 2x2 3 3x 2 2x2 3 3x 2 4x 3x 2 2x2 3 3 18x2 8x 9 答案 18x2 8x 9 一题多解 因为y 2x2 3 3x 2 6x3 4x2 9x 6 所以y 18x2 8x 9 答案 18x2 8x 9 6 求函数y x5 x3 x 5的导数 仿照教材p84例2的解析过程 解析 因为y x5 x3 x 5 5x4 3x2 1 所以函数y x5 x3 x 5的导数是y 5x4 3x2 1 类型一导数的运算法则 典例1 求下列函数的导数 1 y x 1 2 x 1 2 y x2sinx 3 y 解析 1 方法一 y x 1 2 x 1 x 1 2 x 1 2 x 1 x 1 x 1 2 3x2 2x 1 方法二 y x2 2x 1 x 1 x3 x2 x 1 y x3 x2 x 1 3x2 2x 1 2 y x2sinx x2 sinx x2 sinx 2xsinx x2cosx 方法总结 应用导数运算法则求函数的导数的技巧 1 对三角式求导要先进行化简 然后再求导 这样既减少了计算量 又可少出错 2 利用代数恒等变形可以避开对商的形式求导 3 在函数中有两个以上的因式相乘时 要注意多次使用积的求导法则 能展开的先展开成多项式 再求导 巩固训练 求下列函数的导数 1 y 2xcosx 2 y 2x lnx 解析 1 y 2x cosx 2x cosx 2cosx 2xsinx 2 y 2x lnx 2 3 方法一 方法二 因为所以 4 补偿训练 求下列函数的导数 1 y excosx 2 y x2 tanx 3 y 2x3 cosx 解析 1 y excosx 所以y ex cosx ex cosx excosx exsinx 2 因为y x2 所以y x2 3 y 2x3 cosx 6x2 sinx 类型二导数运算法则的应用 典例2 1 已知函数y f x 的图象在点 1 f 1 处的切线方程是x 2y 1 0 若g x 则g 1 2 2017 烟台高二检测 已知函数f x x3 x 16 求曲线y f x 在点 2 6 处的切线方程 直线l为曲线y f x 的切线 且经过原点 求直线l的方程及切点坐标 解题指南 1 由g x 联想商的导数运算法则 利用条件 在点 1 f 1 处的切线方程为x 2y 1 0 求出f 1 f 1 2 先求出函数f x 的导数 由于点在曲线上 可将点的坐标代入求切线的斜率 进而得出切线方程 由于原点不在曲线上 可先设切点坐标 列方程解出切点坐标 再求切线方程 解析 1 选a 由切线方程得1 2f 1 1 0 所以f 1 1 由导数的几何意义得f 1 2 因为f x x3 x 16 所以f x 3x2 1 由已知f x x3 x 16 且f 2 23 2 16 6 所以点 2 6 在曲线y f x 上 所以在点 2 6 处的切线的斜率为k f 2 3 22 1 13 所以切线方程为 y 6 13 x 2 即13x y 32 0 方法一 设切点为 x0 y0 则直线l的斜率为f x0 3x02 1 所以直线l的方程为 y y0 3x02 1 x x0 即 y x03 x0 16 3x02 1 x x0 又因为切线l过原点 所以0 x03 x0 16 3x02 1 x0 整理得 x03 8 所以x0 2 所以y0 2 3 2 16 26 斜率k 3 2 2 1 13 所以切线的方程为y 26 13 x 2 化简得 13x y 0 切点坐标为 2 26 方法二 设直线l的方程为y kx 切点为 x0 y0 则又因为k f x0 3x02 1 所以 3x02 1 解得x0 2 所以y0 2 3 2 16 26 斜率k 3 2 2 1 13 所以切线的方程为y 26 13 x 2 化简得 13x y 0 切点坐标为 2 26 延伸探究 1 若本例 2 条件不变 试判定函数图象上哪一点处的切线斜率最小 解析 因为f x x3 x 16 所以f x 3x2 1 1 即当x 0时 切线的斜率最小 此时点的纵坐标y 16 因此 当切线的斜率最小时 切点的坐标为 0 16 2 若过本例 2 曲线上某点处的切线平行于直线4x y 1 0 求切点的坐标 解析 因为f x x3 x 16 所以f x 3x2 1 设切点为 x0 y0 则过切点处的切线的斜率为k 3x02 1 又此切线平行于直线4x y 1 0 所以3x02 1 4 所以x0 1 当x0 1时 y0 14 当x0 1时 y0 18 所以切点坐标为 1 14 或 1 18 方法总结 求曲线在某一点处切线方程的一般步骤 1 先判断给出的点 x0 y0 是否在曲线上 如果在曲线上 则它是切点 否则不是 此时设切点坐标为 x1 y1 2 求切线的斜率 如果点 x0 y0 是切点 则切线斜率为f x0 若 x0 y0 不是切点 则切线斜率k f x1 3 利用点斜式方程 求出切线方程 补偿训练 若曲线y xlnx上点p处的切线平行于直线2x y 1 0 则点p的坐标是 解析 由题意得y lnx x 1 lnx 直线2x y 1 0的斜率为2 设p m n 则1 lnm 2 解得m e 所以n elne e 即点p的坐标为 e e 答案 e e 类型三导数公式及运算法则的综合应用 典例3 1 如图是函数y f x 的图象 直线l y kx 2是图象在x 3处的切线 令g x xf x 则g 3 a 1b 0c 2d 4 2 2016 天津高考 已知函数f x 2x 1 ex f x 为f x 的导函数 则f 0 的值为 解题指南 1 先利用导数的几何意义求出y f x 在x 3处的导数 再利用导数公式求出g 3 2 求出f x 代入x 0即可 解析 1 选b 由题意直线l y kx 2是曲线y f x 在x 3处的切线 由图象可知其切点为 3 1 代入直线方程得k 所以f 3 故g x xf x x f x xf x f x xf x 所以g 3 f 3 3f 3 1 3 0 2 因为f x 2x 3 ex 所以f 0 3 答案 3 延伸探究 若本例 2 中的条件不变 则f 2 的值是多少 解析 由 2 的解析可知f 2 4 3 e2 7e2 方法总结 利用导数几何意义及运算法则解决综合问题的策略 1 求某点处的导数值 分清该点是否为切点 若为切点利用导数的几何意义求值 2 求范围 注意导数就是切线斜率 切线斜率与倾斜角的关系 求倾斜角的范围可先求导数的范围 巩固训练 已知曲线方程f x sin2x 2ax x r 若对任意实数m 直线l x y m 0都不是曲线y f x 的切线 则a的取值范围是 a 1 1 0 b 1 0 c 1 0 0 d a r且a 0 a 1 解析 选b f x 2sinxcosx 2a sin2x 2a 直线l的斜率为 1 由题知关于x的方程sin2x 2a 1无解 所以 2a 1 1 所以a0 补偿训练 已知点p在曲线y 上 为曲线在点p处的切线的倾斜角 则 的取值范围是 解析 选d 函数导数y 因为ex 2 所以y 1 0 所以 拓展类型 曲线的公切线 典例 已知定义在正实数集上的函数f x x2 2ax g x 3a2lnx b a 0 设两曲线f x g x 有公共点 且在公共点处的切线相同 1 若a 1 求b的值 2 试写出b关于a的函数关系式 解题指南 注意转化先设公共点的坐标 利用切点处的导数相等建立关系式 解析 1 因为y f x 与y g x x 0 在公共点 x0 y0 处的切线相同 且f x x 2 g x 由题意知f x0 g x0 f x0 g x0 所以由x0 2 得x0 1或x0 3 舍去 即有b 2 因为y f x 与y g x x 0 在公共点 x0 y0 处的切线相同 且f x x 2a g x 由题意知f x0 g x0 f x0 g x0 即 解得x0 a或x0 3a 舍去 所以b a2 3a2lna a 0 方法总结 曲线公切线问题解决思路1 切点处的导数值 公切点处的导数值相等 2 切点处的函数值 公切点处对应函数值相等 巩固训练 若曲线f x x2与曲线g x alnx在它们的公共点p s t 处具有公共切线 则实数a a 2b c 1d 2 解析 选c